1、选修44 坐标系与参数方程第1节 坐标系选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂考纲了然于胸1了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化3能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂【考点自主回扣】要点梳理1平面直角坐标系中的伸缩变换设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：xx0，yy0的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂2极坐标系
2、(1)设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的_，记为.以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的_，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，)极径极角选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，则它们之间的关系为 x_，y_，由此得 2_，tan yx(x0)cos sin x2y2选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂3常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r
3、的圆r圆心为(r,0)，半径为 r的圆2rcos 圆心为(r，2)，半径为r 的圆2rsin(0)选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂曲线图形极坐标方程过极点，倾斜角为 的直线(R)或(R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos a过点a，2，与极轴平行的直线sin a选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂小题查验1直线 3x2y10 经过x3xy2y 变换后的直线方程为_选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂解析 由变换x3x，y2y得xx3，yy2，代入直线方程，得 3x3 2y2 10，得 xy10，即变换后的直线方程为 xy10.答案 xy10选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂2
4、(2016皖南八校联考)在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是_解析 该圆的直角坐标方程为 x2y22y，即 x2(y1)21，故圆心的直角坐标为(0，1)，化为极坐标为1，2.答案 1，2选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂3(2015北京高考)在极坐标系中，点2，3 到直线(cos 3sin)6 的距离为_解析 2，3 对应的直角坐标为(1，3)，(cos 3sin)6 对应的直线方程为 x 3y60，由点到直线的距离公式的 d|1 3 36|1 321.答案 1选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂4(2015湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极
5、轴建立极坐标系已知直线 l 的极坐标方程为(sin 3cos)0.曲线 C 的参数方程为xt1t，yt1t(t 为参数)，l 与 C 相交于 A，B 两点，则|AB|_.选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂解析 直线 l 和曲线 C 在直角坐标系中的方程分别为 y3x 和 y2x24，联立y3x，y2x24，得x 22，y3 22，或x 22，y3 22.故|AB|22 2223 22 3 2222 5.答案 2 5选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂5给出下列命题：点(3,2)经过伸缩变换：3xx，2yy后的所得点的坐标为(1,1)将函数 ysin 2x 的图像的横坐标伸长到原来的 2
6、倍，得到函数 ysin x 的图像在极坐标系中，点2，3 与2，53 为同一点选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂在极坐标系中，方程 cos 1 表示圆其中正确命题的序号是_(写出将所有正确命题的序号)解析 正确在平面直角坐标系中，已知伸缩变换为：x13x，y12y，则点(3,2)经过变换 后的点的坐标为(1,1)选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂正确将函数 ysin 2x 的图像的横坐标伸长到原来的 2倍，得到函数 ysin 212x sin x 的图像正确极坐标系中，点2，3 与2，32k kZ 为同一点错误极坐标系中，方程 cos 1 表示垂直于极轴的直线答案 选修44 坐标系与参
7、数方程 创新大课堂【考向互动探究】考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换【例 1】在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆 x2y21 变换为椭圆x29y241.思路点拨 设出伸缩变换，然后求出圆变换后的曲线方程，利用对应系数相等列出方程，求出变换选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂解 设伸缩变换为xx0，yy0，由题知2x29 2y24 1，即32x222y21.与 x2y21 比较系数，得321，221，选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂故3，2，所以伸缩变换为x3x，y2y，即先使圆 x2y21 上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的 3 倍，得到椭圆x29y21，再
8、将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到椭圆x29y241.选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂【名师说“法”】平面上的曲线 yf(x)在变换：xx0，yy0的作用下的变换方程的求法是将xx，yy代入 yf(x)，得y fx，整理之后得到 yh(x)，即为所求变换之后的方程选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂跟踪训练1.若函数 yf(x)的图象在伸缩变换：x2x，y3y的作用下得到曲线的方程为 y3sinx6，求函数 yf(x)的最小正周期选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂解 由题意，把变换公式代入曲线 y3sinx6 得3y3sin2x6，整理得 ysin2x6，故
9、 f(x)sin2x6.所以 yf(x)的最小正周期为22.选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂考点二 极坐标与直角坐标的互化【例 2】(2015新课标高考全国卷)在直角坐标系 xOy中，直线 C1x2，圆 C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1，C2 的极坐标方程；(2)若直线 C3 的极坐标方程为 4(R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求C2MN 的面积选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂思路点拨(1)根据极坐标与直角坐标的互化公式，将直角坐标方程化为极坐标方程；(2)将 C2 与 C3 的极坐标方程联立，先求出|MN|
10、2，再求C2MN 的面积选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂解：(1)因为 xcos，ysin，所以 C1 的极坐标方程为 cos 2，C2 的极坐标方程为 22cos 4sin 40.(2)将 4代入 22cos 4sin 40，得 23 240，解得 12 2，2 2.故 12 2，即|MN|2.由于 C2 的半径为 1，所以C2MN 的面积为12.选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂【名师说“法”】(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如cos，sin，2的形式，进行整体代换其中方程
11、的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂跟踪训练2(1)在极坐标系中，已知圆 2cos 与直线 3cos 4sin a0 相切，则实数 a 的值为_(2)(2015安徽高考)在极坐标系中，圆 8sin 上的点到直线 3(R)距离的最大值是_选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂解析(1)将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为 x2y22x，即(x1)2y21，直线的方程为 3x4ya0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为 1，即有|3140a|32421，解得 a8 或 a2
12、.故 a 的值为8 或 2.选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂(2)由圆 8sin 变形为 28sin，x2y28y，x2(y4)216，3，即 y 3x，3xy0.最大距离为|AB|AC|CB|426答案(1)8 或 2(2)6选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂考点三 简单曲线的极坐标方程及应用【例 3】在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设C 的极坐标方程为 2sin，点 P 为C 上一动点，点 M 的极坐标为4，2，点 Q 为线段 PM的中点(1)求点 Q 的轨迹 C1 的方程；(2)试判定轨迹 C1 和C 的位置关系，并说明理由选修44
13、坐标系与参数方程 创新大课堂思路点拨 化极坐标(方程)为直角坐标(方程)，用代入法求出轨迹 C1 的方程，再判定它和C 的位置关系选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂解(1)由 C 的极坐标方程为 2sin，得 22sin，C 的直角坐标方程为 x2y22y0，又点 M 的极坐标为4，2，则直角坐标为(0,4)设点 P(x0，y0)，点 Q(x，y)，则有 x20(y01)21.(*)选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂点 Q 为线段 PM 的中点，x02x，y02y4，代入(*)得轨迹 C1 的方程为 x2y52214.选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂(2)C 的直角坐标方程为 x
14、2(y1)21，而轨迹 C1 是圆心为0，52，半径为12的圆，两圆的圆心距为32，等于两圆半径和，两圆外切选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂【名师说“法”】曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程熟练掌握互换公式是解决问题的关键选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂跟踪训练3已知O1 和O2 的极坐标方程分别是 2cos 和 2asin(a 是非零常数)(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若两圆的圆心距为 5，求 a 的值选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂解(1)由 2cos，得 22cos.所以O1 的
15、直角坐标方程为 x2y22x，即(x1)2y21.由 2asin，得 22asin.所O2 的直角坐标方程为 x2y22ay，即 x2(ya)2a2.(2)O1 与O2 的圆心距为 12a2 5，解得 a2.选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂【考能感悟提升】思想方法 24 转化与化归思想在坐标系中的应用典例 在极坐标系中，圆 4sin 的圆心到直线 6(R)的距离是_审题视角 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂解析 极坐标系中的圆 4sin 转化为平面直角坐标系中的一般方程为 x2y24y，即 x2(y2)24，其圆心为(0,2)，直线
16、6转化为平面直角坐标系中的方程为 y 33 x，即 3x3y0.圆心(0,2)到直线 3x3y0 的距离为|032|39 3.答案 3选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂方法点睛 本题考查了极坐标方程和平面直角坐标系中一般方程的转化，考查了转化与化归思想，题目难度不大，做本题时有可能因对极坐标和平面直角坐标的关系不熟而受挫在进行坐标互化时要注意以下几点：(1)互化的三个前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴正方向重合；取相同的单位长度(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点P所在的象限(即角的终边的位置)，以便正确地求出角.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题选修
17、44 坐标系与参数方程 创新大课堂即时突破 极坐标系中，点A在曲线2sin 上，点B在曲线cos 2上，则|AB|的最小值为_解析 由2sin 得22sin，化为直角坐标方程，得x2y22y0，即x2(y1)21.因为cos 2，所以x2，易知圆心(0,1)到直线x2的距离为2，圆半径为1，所以|AB|min1.答案 1选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂课堂小结【方法与技巧】1我们在使用伸缩变换时，要分清新旧坐标：P(x，y)是变换图形后的点的坐标，P(x，y)是变换前图形的点的坐标注意从三角函数的图象变换来理解抽象的坐标伸缩变换公式，以加深理解和记忆选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂2曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式cos x，sin y，2x2y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以等3如果要判断曲线的形状，我们可以将方程化为直角坐标方程再进行判断，这时我们直接应用xcos，ysin 即可选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂【失误与防范】极径是一个距离，所以0，但有时可以小于零极角规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P点之间不是一一对应的，所以我们又规定0,02，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点选修44 坐标系与参数方程 创新大课堂谢谢观看！
