1、第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1若直线axby1与圆x2y21相交，则P(a，b)()A在圆上 B在圆外C在圆内 D以上都有可能解析由1，点P在圆外答案B2圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为()Axy20 Bxy40Cxy40 Dxy20解析易知圆心C坐标为(2，0)，则kCP，所以所求切线的斜率为.故切线方程为y(x1)，即xy20.答案D3(2015沈阳质量监测)已知圆O1：(xa)2(yb)24，O2：(xa1)2(yb2)21(a，bR)，则两圆的位置关系是()A内含 B内切C相交 D外切解析由O1：(xa)2(yb)24得圆心坐
2、标为(a，b)，半径为2；由O2：(xa1)2(yb2)21得圆心坐标为(a1，b2)，半径为1，所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|，因为|21|1213，所以两圆相交，故选C.答案C4若直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，则k，b的值分别为()Ak，b4 Bk，b4Ck，b4 Dk，b4解析因为直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，则ykx与直线2xyb0垂直，且2xyb0过圆心，所以解得k，b4.答案A5(2014江西卷)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为
3、()A. B.C(62) D.解析由题意得以AB为直径的圆C过原点O，圆心C为AB的中点，设D为切点，要使圆C的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OCCD最小，其最小值为OE(过原点O作直线2xy40的垂线，垂足为E)的长度(如图)由点到直线的距离公式得|OE|.所以圆C面积的最小值为.故选A.答案A二、填空题6(2015青岛质量检测)直线y2x1被圆x2y21截得的弦长为_解析圆x2y21的圆心O(0，0)，半径r1.圆心O到直线y2x1的距离为d，故弦长为22.答案7(2014湖北卷)直线l1：yxa和l2：yxb将单位圆C：x2y21分成长度相等的四段弧，则a2b2_解析由题意知，直线l
4、1截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线l1的距离为，即，则a21.同理可得b21，则a2b22.答案28(2014重庆卷)已知直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)24相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a_解析依题意，圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线axy20的距离等于2，于是有，即a28a10，解得a4.答案4三、解答题9已知直线l：ykx1，圆C：(x1)2(y1)212.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长法一(1)证明由消去y得(k21)x2(24k)x70，因为(24k)228(k21)0，所以不论k为何实数
5、，直线l和圆C总有两个交点(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|x1x2|22 ，令t，则tk24k(t3)0，当t0时，k，当t0时，因为kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值为4，此时|AB|最小为2.法二(1)证明圆心C(1，1)到直线l的距离d，圆C的半径R2，R2d212，而在S11k24k8中，(4)241180对kR恒成立，所以R2d20，即dR，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解由平面几何知识，知|AB|22 ，下同法一法三(1)证明因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而
6、|PC|2R，所以点P(0，1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解由平面几何知识知过圆内定点P(0，1)的弦，只有和PC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0，1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|22，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.10(2013江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围解(1)由题设，圆心
7、C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在设过A(0，3)的圆C的切线方程为ykx3，由题意，得1，解得k0或，故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为|MA|2|MO|，所以2 ，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD|21，即13.整理得85a212a0.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以点C的横坐标a的取值范围是.能力提
8、升题组(建议用时：25分钟)11已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(xb)2(y2)21相外切，则ab的最大值为()A. B. C. D2解析由两圆相外切可得圆心(a，2)，(b，2)之间的距离等于两圆半径之和，即(ab)29a2b22ab4ab，所以ab，即ab的最大值是(当且仅当ab时取等号)，故选C.答案C12圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点有()A1个 B2个 C3个 D4个解析因为圆心到直线的距离为2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个答案C13(2014新课标全国卷)设点M(x0，1)，若在圆O
9、：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_解析法一当x00时，M(0，1)，由圆的几何性质得在圆上存在点N(1，0)或N(1，0)，使OMN45.当x00时，过M作圆的两条切线，切点为A、B.若在圆上存在N，使得OMN45，应有OMBOMN45，AMB90，1x00或0x01.综上，1x01.法二过O作OPMN，P为垂足，OPOMsin 451，OM，OM22，x12，x1，1x01.答案1，114(2015淮安一模)已知圆O：x2y24和点M(1，a)(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程(2)若a，过点M作圆O的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|BD|的最大值解(1)由条件知点M在圆O上，所以1a24，则a.当a时，点M为(1，)，kOM，k切，此时切线方程为y(x1)即xy40，当a时，点M为(1，)，kOM，k切.此时切线方程为y(x1)即xy40.所以所求的切线方程为xy40或xy40.(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d20)，则ddOM23.又有|AC|2，|BD|2，所以|AC|BD|22.则(|AC|BD|)24(4d4d2)4524(52)因为2d1d2dd3，所以dd，当且仅当d1d2时取等号，所以，所以(|AC|BD|)2440.所以|AC|BD|2，即|AC|BD|的最大值为2.
