1、31函数的概念与性质31.1函数及其表示方法第一课时函数的概念新课程标准解读核心素养1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念数学抽象2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用数学抽象3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域数学抽象、数学运算 微信是即时聊天工具，通过微信，我们可以结交很多全国各地的新朋友，可以与远方的亲朋好友面对面交流，省钱、快捷、方便，可以传送文件，还可以通过聊天练习打字、学会上网等，通过微信，我们开心的时候可以找人分享，不开心的时候可以找人倾诉，所以说现在微信成了我们生活不可缺少的一部分大部分同学都有微信号，
2、这样微信号与同学之间就有对应关系，即微信号(可能不止一个)对应唯一一位同学在数学领域也有类似的对应问题，即实数x(可能不止一个)对应实数y(唯一一个)问题你知道这种对应关系在数学中叫什么吗？知识点一函数的相关概念定义给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作，yf(x)，xA，其中x称为自变量，y称为因变量三要素对应关系yf(x)，xA定义域自变量x的取值的范围(即数集A)值域所有函数值组成的集合yB|yf(x)，xA1有同学认为“yf(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对
3、吗？提示：这种看法不对符号yf(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值yf(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数2f(x)与f(a)(a为x定义域内的一个定值)有何区别与联系？提示：f(a)表示当xa时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)
4、3x4，当x8时，f(8)38428是一个常数1给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是使函数的解析式有意义的自变量取值的集合2函数的定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性 1下图中能表示函数关系的是_(填序号)解析：由于中的2与1和3同时对应，故不是函数答案：2已知f(x)3x2，则f(2)_；若f(a)4，则a_答案：823函数f(x)的定义域是_解析：由4x0，解得x4，所以原函数的定义域为(，4)答案：(，4)4已知f(x)x21，则f(f(1)_解析：f(x)x21，f(1)(1)212，f(f(1)f(2)2215.答
5、案：5知识点二同一个函数如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数给出下列四组函数，其中表示同一函数的是_(填序号)f(x)x，g(x)；f(x)2x1，g(x)2x1；f(x)x，g(x)；f(x)x2，f(x1)x2.解析：中f(x)x与g(x)的定义域不同；中f(x)2x1，g(x)2x1的对应关系不同；中，f(x)x2和f(x1)x2由于对应关系f所施加的对象不同(前者为
6、x，后者为x1)，因此两者不是同一个函数答案：函数的概念例1(1)(多选)下列各选项给出的两个函数中，表示同一个函数的有()Af(x)x与g(x)Bf(t)|t1|与g(x)|x1|Cf(x) 与g(x)xDf(x)与g(x)x1(2)判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数：AR，BR，对应法则f：y；A1，2，3，BR，f(1)f(2)3，f(3)4；A1，2，3，B4，5，6，对应法则如图所示：(1)解析对于A：f(x)、g(x)定义域都为R，但f(x)x，g(x)|x|，对应关系不同，故不是同一个函数；对于B：f(t)|t1|定义域为R，g(x)|x1|定义域为R，定义域相同，对应关系
7、也相同，故为同一个函数；对于C：f(x)定义域为x0，且可化简为f(x)x，函数g(x)x定义域为x0，两函数定义域相同，对应关系相同，故为同一个函数；对于D：f(x)定义域为x1，g(x)x1定义域为R，定义域不同，故不是同一个函数故选B、C.答案BC(2)解AR，BR，对于集合A中的元素x0，在对应法则f：y的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数由f(1)f(2)3，f(3)4，知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应是定义在A上的函数集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两
8、个元素(5和6)与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数1判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集；(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系2判断同一个函数的方法判断函数是否是同一个函数，关键是树立定义域优先的原则：(1)先看定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同 跟踪训练1设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A0B1C2 D3解析：选B中，因为在集合M中当1x2时，在N中无
9、元素与之对应，所以不是；中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以是；中，x2对应元素y3N，所以不是；中，当x1时，在N中有两个元素与之对应，所以不是因此只有是，故选B.2下列各组函数中是同一个函数的是()Ayx1与y Byx21与st21Cy2x与y2x(x0) Dy(x1)2与yx2解析：选B对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为x|x1，不是同一个函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数.函数的定义域 例2(链接教
10、科书第87页例1)求下列函数的定义域：(1)f(x)2；(2)f(x)；(3)f(x).解(1)当且仅当x20，即x2时，函数f(x)2有意义，所以这个函数的定义域为x|x2(2)当且仅当函数有意义，解得1x3，所以这个函数的定义域为x|1x3(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x1且x1，即函数定义域为x|x1且x1母题探究(变设问)在本例(2)的条件下，求函数yf(x1)的定义域解：由1x13得0x2.所以函数yf(x1)的定义域为0，2求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f(x)是指数
11、幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义 跟踪训练1函数f(x)的定义域是()A3，) B3，4)(4，)C(3，) D3，4)解析：选B要使有意义，只需解得x3，4)(4，)故选B.2(2019江苏高考)函数y的定义域是_解析：要使函数有意义，需76xx20，即x26x70，即(x1)(x7)0，解得1x7.故所求函数的定义域为1，7答案：1，7求函数值和值域例3(链接教科书第88页例3)(1)已知f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR
12、)，则f(2)_，f(g(2)_解析f(x)，f(2).又g(x)x22，g(2)2226，f(g(2)f(6).答案(2)求下列函数的值域：yx1；yx22x3，x0，3)；y；y2x.解(观察法)因为xR，所以x1R，即函数值域是R.(配方法)yx22x3(x1)22，由x0，3)，再结合函数的图像(如图()，可得函数的值域为2，6)(分离常数法)y3.因为0，所以y3，所以y的值域为y|yR且y3(换元法)设t，则t0且xt21，所以y2(t21)t2，由t0，再结合函数的图像(如图()，可得函数的值域为.1函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)
13、的值；(2)求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则2求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于f(x)axb(其中a，b，c，d为常数，且a0)型的函数常用换元法跟踪训练1已知函数f(x)1，且f(a)3，则a_解析：因为f(x)1，所以f(a)1.又因为f(a)3，所以13，a16.答
14、案：162求下列函数的值域：(1)y1；(2)y.解：(1)因为 0，所以11，即所求函数的值域为1，)(2)因为y1，又函数的定义域为R，所以x211，所以02，则y(1，1所以所求函数的值域为(1，1抽象函数与复合函数1抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数2复合函数的定义如果函数yf(t)的定义域为A，函数tg(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数yf(g(x)为f与g在D上的复合函数其中t叫做中间变量，tg(x)叫做内层函数，yf(t)叫做外层函数3抽象函数与复合函数定义域的求法复合函数f(g(x)的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的范围(1)已知f(x)
15、的定义域为A，求f(g(x)的定义域，其实质是已知g(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围；(2)已知f(g(x)的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(g(x)中的x的取值范围为B，求出g(x)的取值范围(值域)，即f(x)的定义域；(3)已知f(g(x)的定义域，求f(h(x)的定义域，先由x的取值范围，求出g(x)的取值范围，即f(x)中的x的取值范围，即h(x)的取值范围，再根据h(x)的取值范围求出x的取值范围问题探究(1)已知函数f(x)的定义域0，2，则g(x)ff的定义域为_；(2)若函数f(x3)的定义域为5，2，则函数F(x)f(x1)f(x1)的定义域为_
16、提示：(1)f(x)的定义域是0，2，且g(x)ff，则x，g(x)的定义域为.(2)函数f(x3)的定义域为5，2，5x2，2x31，函数f(x)的定义域为2，11x0，函数F(x)f(x1)f(x1)的定义域为1，0答案：(1)(2)1，0迁移应用已知函数yf(2x1)的定义域为(1，1)，则函数yf(3x)的定义域为_解析：函数yf(2x1)的定义域为(1，1)，32x11，33x1，即2x0时有两个y值与之对应，不是函数图像，B错误；故选A、C、D.2函数f(x)的定义域是()A3，)B3，2)C3，2)(2，) D(2，)解析：选C要使函数f(x)有意义，则解得x3，且x2，故选C.
17、3设函数f(x)，则当f(x)2时，x的取值为()A4B4 C10 D10解析：选C令2，则x10，故选C.4下列四组函数中表示同一函数的是()Af(x)x，g(x)()2Bf(x)x2，g(x)(x1)2Cf(x)，g(x)|x|Df(x)0，g(x)解析：选Cf(x)x(xR)与g(x)()2(x0)的定义域不同，A中两个函数不是同一函数；f(x)x2与g(x)(x1)2两个函数的对应法则不同，B中两个函数不是同一函数；f(x)，g(x)|x|，且两个函数的定义域均为R，C中两个函数表示同一函数；f(x)0与g(x)的定义域不同，D中两个函数不是同一函数故选C.5已知函数f(x)2x3，xxN|1x5，则函数f(x)的值域为_解析：x1，2，3，4，5，f(x)2x31，1，3，5，7.f(x)的值域为1，1，3，5，7答案：1，1，3，5，710
