1、2020-2021学年山东省枣庄市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若为虚数单位），则A的虚部为BCD为纯虚数2（5分）已知，为同一平面内的四点，则ABCD3（5分）某学校要订制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格据统计，高一年级男生需要不同规格校服的频数如表所示：校服规格155160165170175合计频数40651689026389如果用一个量来代表该校高一年级男生所需校服的规格，那么在平均数、中位数、众数、第25百分位数中，哪个量比较合适？A平均数B中位数C众数D第25百分位
2、数4（5分）有结论：不共线的三点确定一个平面；平行于同一条直线的两条直线平行；经过两条平行直线，有且只有一个平面其中公理（基本事实）的个数是A0B1C2D35（5分）已知，则ABCD6（5分）在复平面内，点，对应的复数分别为，若为靠近点的线段的三等分点，则点对应的复数是ABCD7（5分）如图，在正方体中，与平面所成的角为，与所成的角为，则ABCD8（5分）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球记事件 “第一次摸出球的标号小于3”，事件 “第二次摸出球的标号小于3”，事件 “摸出的两个球的标号之和为6”，事件 “摸出的两个
3、球的标号之和不超过4”，则A与相互独立B与相互独立C与相互独立D与相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9（5分）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和，2个绿色球（标号为3和，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球设事件 “第一次摸到红球”， “两次都摸到红球”， “两次都摸到绿球”， “两球颜色相同”， “两球颜色不同”，则ABCD10（5分）已知向量，则下列命题正确的是A若，则B的最大值为C的最大值为D存在唯一的使得11（5分）袋子中有5个大小质地
4、完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，则A第一次摸到红球的概率为B第二次摸到红球的概率为C两次都摸到红球的概率为D两次都摸到黄球的概率为12（5分）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则A平面B该二十四等边体的体积为C该二十四等边体外接球的体积为D平面平面三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）方程在复数范围内的解为14（5分）已知圆台的上底半径为2，下底
5、半径为4，圆台的高为，则圆台的侧面积为 15（5分）已知向量，则在上的投影向量为 16（5分）已知中，为内一点，且，则的最小值为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）如图，在平行四边形中，、分别为线段、的中点（1）若，求，的值；（2）若，求与夹角的余弦值18（12分）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，分别是线段，的中点（1）证明：平面平面；（2）记平面与平面的交线为，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由19（12分）甲乙两人组成“星队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮
6、活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响甲和乙在第一轮都猜错的概率为，“星队”在第二轮中只猜对一个谜语的概率为（1）求，；（2）求“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的概率20（12分）的三个内角，的对边分别为，且（1）求；（2）若，的面积为，求，21（12分）如图，在三棱柱中，点是的中点，欲过点作一截面与平面平行（1）问应当怎样画线，并说明理由；（2）若三棱柱的体积为30，求该棱柱在所作截面与平面之间部分的体积22（12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准，用水量不
7、超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费为了确定一个比较合理的标准，以使大部分居民用户的水费支出不用影响，通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据（单位：，得到频率分布直方图（如图）（1）求直方图中的值，并估计该市居民月均用水量的平均值；（2）如果该市政府希望使的居民用户生活用水费用支出不受影响，请确定一户居民月均用水量的标准2020-2021学年山东省枣庄市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若为虚数单位），则A的虚部为BCD为纯虚数【考点】复数的运算；复数的模【分析】
8、利用复数的除法运算求出，然后由虚部的定义、复数模的定义、共轭复数的定义以及纯虚数的定义进行判断即可【解答】解：，所以的虚部为1，为纯虚数故选：【点评】本题考查了复数的基本概念的理解与应用，考查了虚部的定义、复数模的定义、共轭复数的定义以及纯虚数的定义，属于基础题2（5分）已知，为同一平面内的四点，则ABCD【考点】向量的减法【分析】根据向量的减法的运算法则进行求解即可【解答】解：故选：【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，属于基础题3（5分）某学校要订制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格据统计，高一年级男生需要不同规格校服的频数如表所示：校服规格1551601651701
9、75合计频数40651689026389如果用一个量来代表该校高一年级男生所需校服的规格，那么在平均数、中位数、众数、第25百分位数中，哪个量比较合适？A平均数B中位数C众数D第25百分位数【考点】众数、中位数、平均数【分析】利用平均数、中位数、众数、百分位数的统计意义判断【解答】解：平均数为164.96，中位数为165，众数为165，第25百分位数为160；显然，第25百分位数160不能代表该校高一年级男生所需校服的规格；中位数不能描述数据的集中趋势，若选为数据的代表可靠性比较差；平均数可以用来描述一组数据的整体平均情况，但是容易受到极端数据的影响在本题的数据中，“165”的男生的频数最高，
10、且明显高于其他规格，所以用众数165作为该校高一年级男生校服的规格比较合适故选：【点评】本题考查平均数、中位数、众数、百分位数的统计意义，属于基础题4（5分）有结论：不共线的三点确定一个平面；平行于同一条直线的两条直线平行；经过两条平行直线，有且只有一个平面其中公理（基本事实）的个数是A0B1C2D3【考点】平面的基本性质及推论【分析】根据已知条件，结合所学过的立体几何中的公理，进行分析判定，即可求解【解答】解：公理2：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面，故选项是公理，公理4：平行于同一条直线的两条直线平行，故选项是公理，经过两条平行直线，有且只有一个平面，为共面的判定定理，故选项是定理
11、，故公理的个数为2个故选：【点评】本题考查了立体几何中的公理，解题的关键是弄清公理和定理，难度系数低，属于基础题5（5分）已知，则ABCD【考点】二倍角的三角函数【分析】由已知利用二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解【解答】解：因为，所以故选：【点评】本题主要考查了二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题6（5分）在复平面内，点，对应的复数分别为，若为靠近点的线段的三等分点，则点对应的复数是ABCD【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】设，由为靠近点的线段的三等分点得，然后列关于、的方程组，求得、可求得点对应复数【解答】解：设，点，对
12、应的复数分别为，则，为靠近点的线段的三等分点，解得，对应复数为故选：【点评】本题考查复数表示方法及几何意义，考查数学运算能力，属于基础题7（5分）如图，在正方体中，与平面所成的角为，与所成的角为，则ABCD【考点】两角和与差的三角函数；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角【分析】直接利用线面夹角和线线夹角的应用，三角函数的值的应用求出结果【解答】解：根据正方体中，根据三垂线定理：由于：，故平面，所以成的角为，与所成的角为，设正方体的棱长为1，所以，故，故，故选：【点评】本题考查的知识要点：线面夹角和线线夹角的应用，三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题8（5分
13、）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球记事件 “第一次摸出球的标号小于3”，事件 “第二次摸出球的标号小于3”，事件 “摸出的两个球的标号之和为6”，事件 “摸出的两个球的标号之和不超过4”，则A与相互独立B与相互独立C与相互独立D与相互独立【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【分析】先利用古典概型的概率公式分别求出（A），（B），（C），（D），然后再利用相互独立事件的概率公式依次判断四个选项，即可得到答案【解答】解：由题意可知，（A）（B），（C），（D），因为，所以与不独立，故选项错误；因为，所以与不
14、独立，故选项错误；因为，所以与相互独立，故选项正确；因为，所以与不独立，故选项错误故选：【点评】本题考查了古典概型概率公式的应用以及相互独立事件的概率公式的应用，考查了理解推理能力，属于基础题二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9（5分）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和，2个绿色球（标号为3和，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球设事件 “第一次摸到红球”， “两次都摸到红球”， “两次都摸到绿球”， “两球颜色相同”， “两球颜色不同”，则ABCD【
15、考点】古典概型及其概率计算公式【分析】利用事件的含义以及对立事件的定义，对四个选项逐一分析判断即可【解答】解：由题意， “两次都摸到红球”， “第一次摸到红球”，所以，故选项错误；因为 “两次都摸到红球”， “两次都摸到绿球”，两个事件没有公共的基本事件，所以，故选项正确；因为 “两次都摸到红球”， “两次都摸到绿球”， “两球颜色相同”，故或表示摸的两个球的颜色相同，所以，故选项正确；因为 “两球颜色相同”， “两球颜色不同”，由对立事件的定义可知，故选项正确故选：【点评】本题考查了事件含义的理解与应用，对立事件定理的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题10（5分）已知向量，则下列命题
16、正确的是A若，则B的最大值为C的最大值为D存在唯一的使得【考点】向量的概念与向量的模【分析】根据两向量平行的充要条件即可判断选项；又，从而可判断选项、；若，则，解出的值即可判断选项【解答】解：显然，当时，有，即，所以，选项正确，所以的最大值为，选项错误，所以的最大值为，选项错误，若，则，即，所以，又，所以，选项正确故选：【点评】本题考查平面向量的坐标运算与向量的模，考查学生的逻辑推理和运算求解能力，属于中档题11（5分）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，则A第一次摸到红球的概率为B第二次摸到红球的概率为C两次都摸到红球的概
17、率为D两次都摸到黄球的概率为【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【分析】利用古典概型的概率公式以及相互独立事件的概率乘法公式，对四个选项逐一分析判断即可【解答】解：因为袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，所以第一次摸到红球的概率为，故选项正确；若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为，若第一次摸到黄球，则第二次摸到红球的概率为，所以第二次摸到红球的概率为，故选项正确；由选项的分析可知，两次都摸到红球的概率为，故选项错误；两次都摸到黄球的概率为，故选项正确故选：【点评】本题考查了古典概型的概率公式以及相互独立事件的概率乘法公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能
18、力，属于基础题12（5分）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则A平面B该二十四等边体的体积为C该二十四等边体外接球的体积为D平面平面【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直；直线与平面垂直【分析】用反证法思想判断；补齐八个角成正方体，再计算体积判断；先找到球心与半径，再计算体积判断；找到平面与平面所成角，再由勾股定理判断【解答】解：对于，假设平面，于是，即，由对称性可知，六边形为正六边形，矛盾，
19、故错误；对于，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为，故正确；对于，取正方形对角线交点，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为，其体积，故正确；对于，分别取、的中点、，连接、，则为平面与平面所成二面角的平面角，又平面平面，所以为平面与平面所成二面角的平面角，由已知可得，不满足，即平面与平面不垂直，故错误故选：【点评】本题考查了正方体的性质，考查直线与平面、平面与平面垂直的判定，考查多面体及其外接球体积的求法，属于中档题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）方程在复数范围内的解为【考点】虚数单位、复数【分析】利用求根公式以及虚数单位的定义求解即可【解答】解
20、：由求根公式可得，故答案为：【点评】本题考查了实系数一元二次方程的复数根的求解，属于基础题14（5分）已知圆台的上底半径为2，下底半径为4，圆台的高为，则圆台的侧面积为 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】利用圆台的几何性质，求出母线长，然后由圆台的侧面积公式求解即可【解答】解：因为圆台的底半径为2，下底半径为4，圆台的高为，所以圆台的母线长为，故圆台的侧面积为故答案为：【点评】本题考查了圆台的几何性质的应用，圆台侧面积公式的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于基础题15（5分）已知向量，则在上的投影向量为 【考点】平面向量数量积的含义与物理意义
21、【分析】可求出，然后将向量的坐标代入即可得出答案【解答】解：，在上的投影向量为：故答案为：【点评】本题考查了投影向量的定义及求法，向量坐标的数量积和数乘运算，考查了计算能力，属于基础题16（5分）已知中，为内一点，且，则的最小值为 【考点】三角形中的几何计算；正弦定理【分析】可先由确定点在圆的圆弧上，再由圆周角的性质得到是等腰直角三角形根据三角形边的不等关系进行求解即可【解答】解：如图：，在如图所示圆 上，由圆周角的性质可得，连接，可得，所以当为与圆的交点时，取最小值，即，又，的最小值为故答案为：【点评】本题考查了三角形的动点问题，圆周角以及三角形三边的不等关系的综合应用属于中档题四、解答题：
22、本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）如图，在平行四边形中，、分别为线段、的中点（1）若，求，的值；（2）若，求与夹角的余弦值【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的性质及其运算【分析】（1）根据题意，由向量的线性运算法则，用、表示，由平面向量基本定理可得关于、的方程组，进而计算可得答案；（2）根据题意，求出与的模以及的值，由向量夹角公式计算可得答案【解答】解：（1）根据题意，因为、分别为、的中点，所以；于是又，由平面向量基本定理，得解得，（2）由（1）可知，所以；所以【点评】本题考查向量数量积的性质以及计算，涉及向量夹角的计算，属于中档题18（1
23、2分）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，分别是线段，的中点（1）证明：平面平面；（2）记平面与平面的交线为，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由【考点】平面与平面垂直【分析】（1）推导出，平面，从而，进而平面，由此能证明平面平面（2）推导出，平面，由此能证明【解答】解：（1）因为平面，平面，所以因为是以为直径的圆上的点，所以又，所以平面因为，分别是，的中点，所以所以平面又平面，故平面平面（2）证明如下：由（1），又平面，平面，所以平面又平面，平面平面，所以【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线线关系的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力
24、、推理论证能力，是中档题19（12分）甲乙两人组成“星队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响甲和乙在第一轮都猜错的概率为，“星队”在第二轮中只猜对一个谜语的概率为（1）求，；（2）求“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的概率【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【分析】（1）利用对立事件的概率公式以及相互独立事件的概率公式，列出方程组，求解即可（2）利用相互独立事件的概率公式以及分类计数原理进行分析求解，即可得到答案【解答】解：（1）由题意可得，解得，所以，是方程的两个实根，又
25、，解得，；（2）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个谜语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个谜语的事件，则，设表示“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的事件，由题意，【点评】本题考查了对立事件的概率公式以及相互独立事件的概率公式的应用，分类计数原理的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题20（12分）的三个内角，的对边分别为，且（1）求；（2）若，的面积为，求，【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，由范围，即可求解的值（2）由已知利用三角形的面积公式可求，由余弦定理解得，从而解答，的值【解答】解：（1）由，及正弦定理，得，因为，所以，
26、将代入得，即又，所以有，即因为，所以，于是有，即又，所以，即（2）由的面积为，得，即，由余弦定理，得，即将，代入上式，得解得所以，是方程的两个实根，显然【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题21（12分）如图，在三棱柱中，点是的中点，欲过点作一截面与平面平行（1）问应当怎样画线，并说明理由；（2）若三棱柱的体积为30，求该棱柱在所作截面与平面之间部分的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）取线段的中点，连接，由面面平行的判定可证平面平面；（2）由已知三棱柱的体积可求得三棱锥与三棱锥的体积
27、，作差即可求得棱柱在所作截面与平面之间部分的体积【解答】解：（1）取线段的中点，连接，则平面平面，即为应画的线）证明如下：为的中点，为的中点，且，则四边形为平行四边形，得又平面，平面，平面连接，则，又，得四边形是平行四边形，又平面，平面，平面又，平面，平面，故平面平面；（2）设棱柱的底面积为，高为，则三棱柱夹在平面与平面之间部分的体积：【点评】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，训练了多面体体积的求法，是中档题22（12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一
28、户居民月均用水量标准，用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费为了确定一个比较合理的标准，以使大部分居民用户的水费支出不用影响，通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据（单位：，得到频率分布直方图（如图）（1）求直方图中的值，并估计该市居民月均用水量的平均值；（2）如果该市政府希望使的居民用户生活用水费用支出不受影响，请确定一户居民月均用水量的标准【考点】频率分布直方图【分析】（1）利用频率分布直方图能求出和平均数；（2）求出月均用水量小于13.2吨和小于17.2吨的百分比，计算出有的居民每月用水量不超过标准的值【解答】解：（1）因为频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，所以，解得该市居民月均用水量的平均值：（2）由频率分布直方图知月均用水量在以下的居民用户所占的比例为月均用水量在以下的居民用户所占的比例为因此，第80百分位数一定位于，内，因此，要使的居民用户生活用水费用支出不受影响，一户居民月均用水量的标准为【点评】本题考查频数、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/4 23:05:44；用户：18173447192；邮箱：18173447192；学号：22161184
