1、上海市闵行区2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.函数的定义域为_.【答案】【解析】【详解】解析过程略2.函数的反函数是_.【答案】【解析】【分析】根据反函数的定义，从原函数式中解出，再进行，互换，即可得反函数的解析式.【详解】，则，即，将，互换，得.故答案为：.【点睛】本题考查反函数的求法，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系，属于基础题.3.已知全集，集合，如图中阴影部分所表示的集合为_.【答案】【解析】【分析】求出全集，图中阴影部分所表示的集合为.【详解】由题意得全集，又集合，所以，故，所以，图中阴影部分所表示的集合为.故答案为：
2、.【点睛】本题考查集合的求法，考查交集、补集、Venn图等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.4.已知奇函数的定义域为，那么_.【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质可知，代入即可求解.【详解】由题意，为上的奇函数，则，又，故，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用奇函数的定义及性质求解函数值，属于基础题.5.已知函数是增函数，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】结合对数函数的单调性可知，解不等式即可.【详解】由题意可得，解得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，属于基础题.6.已知原命题的逆命题是：“若，则”，试判断原命题的否命题的真假_.（填“
3、真”或“假”）【答案】假【解析】【分析】原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，它们的真假性相同，即只需判断原命题逆命题的真假性就可得出结论.【详解】原命题的逆命题是：“若，则”与原命题的否命题互为逆否命题，它们的真假性相同，所以，只需要判断原命题的逆命题的真假即可，若，则可能，此时，即原命题的逆命题是假命题，所以，原命题的否命题是假命题.故答案为：假.【点睛】本题考查命题的真假关系，属于基础题.7.令，则用表示的结果为_.【答案】【解析】【分析】利用对数的运算性质化简即可.【详解】.故答案为：.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.8.已知函数是偶函数，当时，则当时，_.【答案】【解
4、析】【分析】设，则，代入已知函数解析式，再结合偶函数的定义即可求解.【详解】由题意，当时，设，则，此时，又函数是偶函数，可得，所以，.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用偶函数的定义求解函数解析式，属于基础题.9.2019年度，国内某电信企业甲投入科研经费115亿美元，国外一家电信企业乙投入科研经费156亿美元，从2020年开始，若企业甲的科研经费每年增加，计划用3年时间超过企业乙的年投入量（假设企业乙每年的科研经费投入量不变）.请写出一个不等式来表达题目中所描述的数量关系：_.（所列的不等式无需化简）【答案】【解析】【分析】由题意可得：.【详解】由题意，企业甲的科研经费每年增加，用3年时间
5、超过企业乙的年投入量，所以，不等式表达题目的数量关系为：.故答案为：.【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，属于基础题.10.已知函数，定义，则函数的值域为_.【答案】【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出，进而可由基本不等式可得出，从而可得出函数的值域.【详解】由题意，即，由题意知，由基本不等式得（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），即，所以的值域为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.11.已知，对于任意的，总存在，使得或，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】通过去掉绝对值符号，得到分
6、段函数的解析式，求出值域，然后求解的值域，结合已知条件推出的范围即可.【详解】由题意，对于任意的，总存在，使得或，则与的值域的并集为，又，结合分段函数的性质可得，的值域为，当时，可知的值域为，所以，此时有，解得，当时，的值域为，满足题意，综上所述，实数范围为.故答案为：.【点睛】本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基础题.12.设函数（）的值域依次是，则_.【答案】【解析】【分析】求出二次函数的对称轴，判断函数的最小值与最大值，然后求解值域的交集即可.【详解】函数的对称轴为，开口向上，所以函数的最小值为，函数（）的值域依次是，它们的最小值都是，函数
7、值域中的最大值为：当，即时，此时，所以，值域中的最大值中的最小值为，所以，.故答案为：.【点睛】本题考查二次函数的性质，函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，涉及集合的交集计算，属于基础题二、选择题13.已知a，b都是实数，那么“”是“” 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据题意构造指数函数与幂函数，利用函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】对于“”，考查函数y=在R上单调递增，所以“”与“ab”等价；同样对于“”，考查函数y=在R上单调递增，所以“”与“ab”也等价；所以“”是“” 的充
8、要条件，故选C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据指数函数及幂函数的单调性是解决本题的关键14.如果，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用对数解得即可.【详解】由，得.故选：C.【点睛】本题考查对数函数的性质，属于基础题.15.已知集合，则下列集合中与相等的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用集合相等的定义即可判断.【详解】集合，所以且，故A、B选项不正确；选项C：，故C不正确；选项D：且，故D选项正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题.16.若,当时, ,若在区间内,有两个零点,则实数的取值范
9、围是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】先求函数的解析式, 把在区间内,函数有两个零点，转化为函数与的图象由两个不同的交点，结合图象，即可求解【详解】由题意知，当，则，又因为当时, ,所以，所以，所以,要使得在区间内,函数有两个零点，即函数与的图象由两个不同的交点，在同一坐标系内作出两个函数的图象，如图所示，要使得两函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围是，故选D【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，以及利用函数的零点问题求解参数的取值范围，其中解答中正确求解函数的解析式，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，结合图象求解是解答关键，着重考查了数形结合思想，
10、以及转化思想的应用，属于中档试题三、解答题17.已知函数.判断在上的单调性，并给予证明.【答案】单调递减，证明见解析.【解析】【分析】直接利用单调性的定义，作差比较即可判断.【详解】在上单调递减.证明如下：设，则，由，则，所以，即，故在上单调递减.【点睛】本题主要考查了单调性的定义在判断函数单调性中的应用，属于基础题.18.已知集合，.（1）求集合和；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用不等式的性质即可求出集合和；（2）由，得，解不等式组，进而得出实数的取值范围.【详解】（1）集合，因，则，所以集合或.即集合，.（2）由（1）知，集合，由，得，所以或
11、，解得或，故实数的取值范围为.【点睛】本题考查集合、实数的取值范围的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.19.自2019年春季以来，在非洲猪瘟、环保禁养、上行周期等因素形成的共振条件下，猪肉价格连续暴涨.某养猪企业为了抓住契机，决定扩大再生产，根据以往的养猪经验预估：在近期的一个养猪周期内，每养百头猪，所需固定成本为20万元，其它为变动成本：每养1百头猪，需要成本14万元，根据市场预测，销售收入（万元）与（百头）满足如下的函数关系：（注：一个养猪周期内的总利润（万元）=销售收入-固定成本-变动成本）.（1）试把总利润（万元）表示成变量（百头）的函数；（2）当（百头
12、）为何值时，该企业所获得的利润最大，并求出最大利润.【答案】（1）；（2），最大利润为109万元.【解析】【分析】（1）根据题意即可求出函数解析式；（2）分段求出最大值，再比较即可求出当时，该企业所获得的利润最大，从而求出最大利润.【详解】（1）由题意可得：所以，总利润.（2）当时，当时，的值最大，最大值为，当时，当时，的值最大，最大值为，综上所述，当时，该企业所获得的利润最大，最大利润为万元.【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，属于基础题.20.设是由满足以下性质的函数构成的集合：对于的定义域内的任意两个不相等的实数、，不等式都成立.（1）已知函数，求的反函数，并指出的定义域；（2）试判断
13、（1）中的函数与是否属于集合，并说明理由；（3）设，且的定义域为，值域为，试写出一个满足条件的函数的解析式（不用分段函数表示，不需要说明理由）.【答案】（1）（2）；详见解析（3）.（答案不唯一）【解析】【分析】（1）利用反函数的定义直接求出即可；（2）根据题意，利用作差比较法判断即可；（3）根据题意，答案不唯一，满足条件即可【详解】（1）由题意，即，得，所以，故，其定义域为；（2）对于：任取且，则，即；对于：任取且，则，且，即；（3）；.（答案不唯一）【点睛】本题考查函数与反函数的关系，判断不等式的大小关系，属于中档题.21.已知函数（是常数）.（1）若，求函数的值域；（2）若为奇函数，求实
14、数.并证明的图像始终在的图像的下方；（3）设函数，若对任意，以为边长总可以构成三角形，求的取值范围.【答案】（1）（2）；证明见解析（3）【解析】【分析】（1）把代入后反解可得，解分式不等式即可；（2）直接利用奇函数的定义代入即可求解，利用作差法即可证明结论；（3）由题意可得，结合，利用换元法转化为，再结合二次函数的性质即可.【详解】（1）由题意，（是常数），当时，此时，即，整理可得，因，则，即，解得，故函数的值域为.（2）由题意，为奇函数，则，即，化简得，恒不零，且，解得，此时，即的图像始终在的图像的下方.（3）由题意，得，令，则，其对称轴为，当，即时，此时单调递减，即，解得或，；当，即时，此时先减后增左端点高，即，无解；当，即时，此时先减后增右端点高，即，无解；当，即时，此时单调递增，即，解得或，；综上，.【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性，二次函数闭区间最值的求解，体现了分类讨论思想及转化思想的应用，还考查了一定的逻辑推理的能力，属于中档题.
