1、高中数学备考 数列专题易错【原题】已知等比数列的首项为，公比满足又已知，成等差数列（1）求数列的通项（2）令，求证：对于任意，都有【错误分析】：数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式；数学归纳法；有的还要用到条件不等式。【答案】（1）（2）见解析【解析】（1） 高考资源网（2）证明： ， 【易错点点睛】转化思想是数学中的重要思想，把复杂的问题转化成清晰的问题是我们解题的指导思想本题中的第（）问，采用裂项相消法，将式子进行转化后就可以抵消很多项，从而只剩下首末两项，进而由n的范围证出不等式【原题】.已知数列的首项（a是常数，且）
2、，（），数列的首项，（）。 （1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值；（3）当a0时，求数列的最小项。高&考%资(源#网【错误分析】：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。【答案】（2）（3）当时，最小项为8a-1； 当时，最小项为4a或8a-1；当时，最小项为4a； 当时，最小项为4a或2a+1；当时，最小项为2a+1。【解析】（1）(n2)由得， ，即从第2项起是以2为公比的等比数列。【易错点点睛】分类讨论思想是数学中的重要思想，本题以数列的递推关系式为载体，综合考查了等比数列的前项和公式、数列求和、不等式
3、的证明等基础知识与基本方法，第2问体现了对运用分类讨论的考查【原题】等差数列an的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和【错误分析】：本题可以根据条件直接列式求解，但是若能合理应用性质，选择不同的公式，则会得到不同的解法.【答案】210【解析】法一 将Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+d,得 解法二 由知，要求S3m只需求ma1+,将得ma1+ d=70,S3m=210 解法三 由等差数列an的前n项和公式知，Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2+Bn(A、B是常数） 将Sm=30,S2m=100代入，得,S3m=A(3m)2+B3m=210解法四 S3m=S2
4、m+a2m+1+a2m+2+a3m=S2m+(a1+2md)+(am+2md)=S2m+(a1+am)+m2md=S2m+Sm+2m2d 由解法一知d=,代入得S3m=210 解法五 根据等差数列性质知 Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差数列，从而有 2(S2mSm)=Sm+(S3mS2m)S3m=3(S2mSm)=210解法六 Sn=na1+d,=a1+d点(n, )是直线y=+a1上的一串点，由三点(m,),(2m, ),(3m, )共线，易得S3m=3(S2mSm)=210 解法七 令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,a1=30,a2=70a3=70
5、+(7030)=110S3=a1+a2+a3=210【易错点点睛】将等差数列中Sm, S2m Sm, S3m S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列，将条件“等差数列”换成“等比数列”，使用类比思想，考虑这七种方法是否都可类比.来源:高&考%资(源#网KS5U.COM【原题】等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若求【错误分析】：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.【答案】【解析】【易错点点睛】【原题】已知数列的前n项之和Sn=aqn（为非零常数），则为（）。A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数
6、列，又是等比数列【错误分析】：（常数）为等比数列，即B。【答案】选C来源:K【解析】当n1时，a1=S1aq;当n1时，（常数）但既不是等差数列，也不是等比数列，选C。【易错点点睛】忽略了中隐含条件n1.【原题】已知一个等差数列的通项公式an=255n，求数列的前n项和【错误分析】：由an0得n5前5项为非负，从第6项起为负，Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)当n6时， Sn=【答案】【解析】由an0得n5前5项为非负，当n5当n6时，综上所述【易错点点睛】一、把n5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n6起”的和.来源:高&考%资(源#网KS5U.COM【原题】已知等比数
7、列的前n项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于【错误分析】：S30= S10q 2. q 27，q， S40= S30q =【答案】200【解析】由题意：得，S40=【易错点点睛】是将等比数列中Sm, S2m Sm, S3m S2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列.【原题】设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和= A B C D【错误分析】：【答案】A【解析】设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和【易错点点睛】该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等，基础性较强，综合程度较小，要求具有较熟
8、练的运算能力【原题】已知数列中，,，求【错误分析】：【答案】【解析】在两边乘以得：令，则,应用待定系数法得：所以【易错点点睛】已知数列的递推公式求其通项公式，应用到的方法非常多，关键是要分析清楚所给出的递推公式形式，然后选择合理的变形.【原题】已知数列的前项和满足求数列的通项公式.【错误分析】：求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.【答案】【解析】由当时，有，经验证也满足上式，所
9、以【易错点点睛】有些数列给出的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出。【原题】已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。【错误分析】：由于 和中的项都和中的项有关，中又有=4+2，可由-作切入点探索解题的途径【答案】=2(3n-4)+2【解析】(1)由=4+2，=4+2，两式相减，得-=4(-)，即=4-4(根据的构造，如何把该式表示成与的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)-2=2(-2)，又=-2，所以=2 已知=4+2， =1， +=4+2，解得=5， =-2=3由和
10、得，数列是首项为3，公比为2的等比数列，故=32当n2时，=4+2=2(3n-4)+2；当n=1时， =1也适合上式 综上可知，所求的求和公式为=2(3n-4)+2【易错点点睛】1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用【原题】已知数列的前n项为的前n项和满足（I）求数列的通项公式；（II）将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列的通项公式；【错误分析】：已知，一般由（）来求得，然后再研究其他问题，本
11、题的难点在于判定来那个个数列的公共项.【答案】（I） (II) 【解析】（I）， (II)由,即,故的通项公式为设数列中的第项与数列中的第n项相同，则有由此 必有n为奇数2k+1，故的通项公式为【易错点点睛】本例主要复习了通过前n项和求数列的通项,并学会通过观察两个不同数列,找出公共项通过化归写出新数列的通项.【原题】设等差数列an的前n项和为Sn已知a3=12, S120,S130 ()求公差d的取值范围；()指出S1,S2,S12,中哪一个值最大,并说明理由【错误分析】：（1）依据直接列方程求解d的范围即可；（2）判断出转折项即可找出前n项和的最大值.【答案】() () S6【解析】()依
12、题意,有 ，即由a3=12,得 a1=122d (3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ，()由d0可知 a1a2a3a12a13因此,若在1n12中存在自然数n,使得an0,an+10,则Sn就是S1,S2,S12中的最大值由于S12=6(a6+a7)0, S13=13a70，即 a6+a70, a70来源:K由此得a6a70因为a60, a70,故在S1,S2,S12中S6的值最大【易错点点睛】无论应用二次函数求最值，还是利用找转折项求最值，两种方法都具有一般性，但是需要注意的是，利用二次函数求最值，要注意n只能取正整数，找转折项可以通过利用通项公式解不等式，但是计算比较繁琐，这时可
13、以合理选择应用数列的性质，以简化运算和判断.【原题】已知数列满足，（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和；（）设，数列的前项和为求证：对任意的，【错误分析】：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。【答案】（）（）来源:高&考%资(源#网KS5U.COM【解析】（），又，数列是首项为，公比为的等比数列 ，即.（） （）， 当时，则， 对任意的， 【易错点点睛】本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项，第三问不等式的证明要用到放缩的办法。【原题】已知函数.(1)数列满足: ,若对任意的恒成立,试求的取值范围;(2)数列满足: ,记,为数列的前项和, 为数列的前项积,求证.【错误分析】：数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。【答案】(1)【解析】(1)因为,所以.于是, 为等比数列,所以,从而,有 .故.(2)因为 ,所以, ,.即有.由,显然,知,即.因为,所以 .【易错点点睛】题目立意新颖,将函数、导数、数列的性质及求和的各种方法融为一体构成综合性推理题,考察同学们阅读理解、逻辑分析、运算求解能力及应用意识.这类题型是近几年高考命题的一个方向,要引起高度重视.
