1、第二章 函数、导数及其应用第8节 函数与方程第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升考纲了然于胸1结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升要点梳理1函数的零点函数零点的概念对于函数 yf(x)，把使 f(x)0 的实数 x叫做函数 yf(x)的零点方程的根与函数零点的关系方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点第二章 函数
2、、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升函数零点的存在定理图象在a，b上连续不断，若 f(a)f(b)0，则 yf(x)在(a，b)内存在零点解方程 f(x)0利用零点存在性定理函数存在零点的判断方法数形结合第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升质疑探究：当函数 yf(x)在(a，b)内有零点时，是否一定有 f(a)f(b)0?提示：当函数 yf(x)在(a，b)内有零点时，不一定有 f(a)f(b)0，例如：f(x)x2 在区间(1,1)内有零点，却有 f(1)f(1)0.第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂
3、课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升2二次函数 yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的交点(x1,0)(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升小题查验1给出下列命题：函数 f(x)x21 的零点是(1,0)和(1,0)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有 f(a)f(b)0.二次函数 yax2bxc(a0)在 b24ac0 时没有零点第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主
4、回扣考能感悟提升若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)f(b)0，则函数 f(x)在a，b上有且只有一个零点其中正确的是()A B C D第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升解析 错误，函数 f(x)x21 的零点为1 和 1，而并非其与 x 轴的交点(1,0)与(1,0)错误函数 f(x)x2x 在(1,2)上有两个零点，但 f(1)f(2)0.正确当 b24ac0 时，二次函数图象与 x 轴无交点，从而二次函数没有零点正确由已知条件，数形结合可得 f(x)与 x 轴在区间a，b上有且仅有一个交点故选 C.答案 C第二章 函数、导数及
5、其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升2(2016济南模拟)函数 f(x)x12 12x 的零点个数为()A0 B1 C2 D3第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升解析 函数 f(x)x12 12x 的零点个数是方程 x12 12x0 的解的个数，是方程 x12 12x 的解的个数，也就是函数 yx12 与 y12x 的图象的交点个数在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为 1.故选 B.答案 B第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升3用二分法求函数 f(x)3
6、xx4 的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)0.200f(1.587 5)0.133f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003f(1.556 2)0.029f(1.550 0)0.060据此数据，可得 f(x)3xx4 的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为_第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升解析 由题意知，函数零点在区间(1.5562,1.5625)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为 1.56.答案 1.56第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升4
7、(2015高考湖南卷)已知函数 f(x)x3，xa，x2，xa.若存在实数 b，使函数 g(x)f(x)b 有两个零点则 a 的取值范围是_第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升解析 g(x)f(x)b 有两个零点，则等价于yfxyb有两个交点如图，即a 的范围为(，0)(1，)答案(，0)(1，)第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升考点一 确定函数零点所在的区间(基础型考点自主练透)方法链接确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 yf(x)在区间a，
8、b上的图象是否连续，再看是否有 f(a)f(b)0，若有，则函数 yf(x)在区间(a，b)内必有零点第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断提醒：在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升题组集训1(2016河南十所名校三联)设函数 f(x)13xln x，则函数yf(x)()A在区间1e，1，(1，e)内均有零点B在区间1e，1
9、，(1，e)内均无零点C在区间1e，1 内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间1e，1 内无零点，在区间(1，e)内有零点第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升解析 法一：当 x1e，e 时，函数图象是连续的，且 f(x)131xx33x 0，所以函数 f(x)在1e，e 上单调递减又 f1e 13eln1e0，f(1)130，f(e)13eln e0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内故选 D.第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升法二：令 f(x)0 得13xln x作出函数 y13x
10、和 yln x 的图象，如图，显然 yf(x)在1e，1 内无零点，在(1，e)内有零点故选 D.答案 D第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升2(2016烟台模拟)函数 f(x)ln(x1)2x的零点所在的大致区间是()A(0,1)B(1,2)C(2，e)D(3,4)第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升解析 因为 f(x)在(0，)上为单调增函数，且 f(1)ln 220，f(2)ln 310，所以函数的零点所在的大致区间是(1,2)中间，故选 B.答案 B第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂
11、课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升3(2016温州模拟)如图是二次函数 f(x)x2bxa 的部分图象，则函数 g(x)exf(x)的零点所在的大致区间是()A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升解析 由图象知12b21 得 1b2，f(x)2xb，所以 g(x)exf(x)ex2xb，则 g(1)1e2b0，g(0)1b0，g(1)e2b0，所以 g(0)g(1)0，故选 B.答案 B第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升4(2016嘉
12、兴模拟)设函数 yx3 与 y12x2 的图象的交点为(x0，y0)若 x0(n，n1)，nN，则 x0 所在的区间是_第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升解析 设 f(x)x312x2，则 x0 是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数 yx3与 y12x2 的图象如图所示因为 f(1)112110，f(2)812070，所以f(1)f(2)0，所以 x0(1,2)答案(1,2)第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升考点二 函数零点的个数问题(重点型考点师生共研)【例 1】(1)(2016合
13、肥模拟)若偶函数 f(x)满足 f(x1)f(x1)，且在 x0,1时，f(x)x2，则关于 x 的方程 f(x)110 x 在0，103 上的根的个数是()A1 B2C3 D4第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升(2)(2016郑州质检)对实数 a 和 b，定义运算“”aba，ab1b，ab1，设函数 f(x)(x22x)(x3)(xR)若函数 yf(x)k 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 k 的取值范围是_第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升解析(1)因为 f(x)为偶函数，所以当
14、x1,0时，x0,1，所以 f(x)x2，即 f(x)x2.又 f(x1)f(x1)，所以 f(x2)f(x1)1f(x1)1f(x)，故 f(x)第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升是以 2 为周期的周期函数，据此在同一坐标系中作出函数yf(x)与 y110 x 在0，103 上的图象如图所示，数形结合得两图象有 3 个交点，故方程 f(x)110 x 在0，103 上有三个根故选 C.第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升(2)aba，ab1b，ab1，f(x)(x22x)(x3)x22x，x
15、22xx31x3，x22xx31x22x，1x2x3，x1或x2.第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升yf(x)k 的图象与 x 轴恰有两个公共点，即 yf(x)的图象与 yk 的图象恰有两个公共点由图知当且仅当1k0 时，y(x)的图象与 yk 的图象恰有两个公共点故所求 k 的取值范围是(1,0答案(1)C(2)(1,0第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升互动探究 若将本例(1)中“110 x”变为“110|x|“，则方程f(x)110|x|在3,3上所有根的和为_第二章 函数、导数及其应用
16、 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升解析 由本例(1)解析知 f(x)110|x|在3,3上有六个不同根，不妨设为 x1x2x3x4x5x6，由图象关于 y 轴的对称性知：x1x60，x2x50，x3x40，所以 x1x2x3x4x5x60.答案 0第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升【名师说“法”】(1)判断函数yf(x)零点个数的常用方法：直接法令f(x)0，则方程实根的个数就是函数零点的个数 零点存在性定理法判断函数在区间a，b上是连不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性
17、、对称性)可确定函数的零点个数 数形结合法转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数)第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升(2)由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 分离参数法：先将参数分离得af(x)，再转化成求函数f(x)值域问题加以解决 数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感
18、悟提升跟踪训练(1)(2016哈尔滨一模)已知函数 f(x)x21，x0，log2x，x0.则函数 yf(x)的零点个数是()A0 B1 C2 D3第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升(2)(2016滨州一模)已知函数 f(x)2x1，x0 x22x，x0，若函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是_解析(1)f(x)0 时，得x0，x210 或x0，log2x0，解得 x1 或 x1.故选 C.第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升(2)函数 f(x)2x1，x0 x2
19、2x，x02x1，x0 x121，x0 的图象如下：函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，即 f(x)m 有三个零点，由图象可知实数 m 的取值范围是(0,1)答案(1)C(2)(0,1)第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升考点三 函数零点的应用(深化型考点引申发散)一题多变【例 2】若函数 f(x)xln xa 有两个零点，则实数 a 的取值范围为_第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升解析 令 g(x)xln x，h(x)a，则问题可转化成函数 g(x)与 h(x)的图象有两个交点g(x)
20、ln x1，令 g(x)0，即ln x1，可解得 0 x1e；令 g(x)0，即 ln x1，可解得 x1e，所以，当 0 x1e时，函数 g(x)单调递减；当 x1e时，函数 g(x)单调递增，由此可知当 x1e时，g(x)min1e.第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升在同一坐标系中作出函数 g(x)和 h(x)的简图如图所示，据图可得1ea0.答案 1e，0第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升发散 1 若本例中 f(x)有且只有一个零点，则实数 a 的取值范围是_解析 由本例解析知 a1e
21、或 a0.答案 0，)1e第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升发散 2 若函数变为 f(x)ln xxa，其他条件不变，则a 的取值范围是_第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升解析 函数 f(x)ln xxa 的零点，即为关于 x 的方程 ln xxa0 的实根，将方程 ln xxa0，化为方程ln xxa，令 y1ln x，y2xa，由导数知识可知，直线 y2xa 与曲线 y1ln x 相切时有 a1，所以关于 x 的方程 ln xxa0 有两个不同的实根，实数 a 的取值范围是(，1)答案(
22、，1)第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升发散 3 若函数变为 f(x)xln xa，x0，x22xa，x0，若函数 yf(x)有三个零点，则实数 a 的取值范围是_第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升解析 令 g(x)xln x，x0，x22x，x10，h(x)a，则问题转化为 g(x)与 h(x)的图象有三个交点，g(x)图象如图由图象知1ea1.答案 1e，1第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升类题通法 已知函数有零点(方程有根)求参数取值
23、范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升思想方法 8 数形结合思想在函数零点问题中的应用典 例 已 知 以T 4为 周 期 的 函 数f(x)1x2，x1，1，1|x2|，x1，3，若方程 f(x)mx 恰有 5 个实数解，则正实数 m 的取值范围为_第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探
24、究考点自主回扣考能感悟提升审题视角 作出函数 f(x)在一个周期1,3上的图象，根据周期性拓展函数图象，再作出函数 ymx 的图象，数形结合找出两个函数图象有 5 个公共点时实数 m 满足的不等式解之即得第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升解析 因为当 x(1,1时，将函数 y 1x2化为方程x2y21(y0)，其图象为半圆如图所示，第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升同时在坐标系中作出当 x(1,3的图象，再根据周期性作出函数其他部分的图象如图，由图易知直线 ymx 与第二个半圆(x4)2y2
25、1(y0)相交，而与第二段折线无公共点时，方程恰有 5 个实数解，将 ymx 代入(x4)2y21 得(1m2)x28x150，令 6460(1m2)0，得 m2 115.又当 x6时，6m1，m16，所以 m16，1515.答案 16，1515第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升方法点睛 数形结合思想的本质是转化，即把数的问题转化为形的问题直观解决，或者把形的问题转化为数的问题加以解决，如本题就是利用形(函数的图象)直观判断直线 ymx 的大致位置，建立关于 m 的不等式，利用代数运算(解不等式)求得 m 的范围在函数与方程问题中利用数形结合
26、思想可以把函数的零点、方程的根等问题转化为两个函数图象的交点问题加以解决第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升即时突破 已知0a1，k0，函数f(x)ax，x0，kx1，x0，若函数 g(x)f(x)k 有两个零点，则实数 k 的取值范围是_第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升解析 函数 g(x)f(x)k 有两个零点，即f(x)k0 有两个解，即 yf(x)与 yk 的图象有两个交点分 k0 和 k0 作出函数 f(x)的图象当 0k1 时，函数 yf(x)与 yk 的图象有两个交点；当 k1
27、时，有一个交点；当 k1 或 k0 时，没有交点，故当 0k1 时满足题意答案 k|0k1第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升课堂小结【方法与技巧】1函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.2研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点3二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考
28、能感悟提升4转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升【失误与防范】1函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升课时活页作业(十一)点击图标进入 第二章 函数、导数及其应用 创新大课堂课时活页作业考向互动探究考点自主回扣考能感悟提升谢谢观看！
