1、第3讲基本初等函数、函数与方程及函数的综合问题指数、对数的运算核心提炼指数与对数式的七个运算公式(1)amanamn；(2)(am)namn；(3)loga(MN)logaMlogaN；(4)logalogaMlogaN；(5)logaMnnlogaM；(6)alogaNN；(7)logaN.注：a0且a1，b0且b1，M0，N0.典型例题 (1)(2019浙江省名校新高考研究联盟联考)若log83p，log35q，则lg 5(用p、q表示)等于()A.B.C.Dp2q2(2)设x，y，z为正数，且2x3y5z，则()A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2xb1.若logablog
2、ba，abba，则a_，b_【解析】(1)因为log83p，所以lg 33plg 2，又因为log35q，所以lg 5qlg 3，所以lg 53pqlg 23pq(1lg 5)，所以lg 5，故选C.(2)设2x3y5zk1，所以xlog2k，ylog3k，zlog5k.因为2x3y2log2k3log3k0，所以2x3y；因为3y5z3log3k5log5k0，所以3y5z；因为2x5z2log2k5log5k2x.所以5z2x3y，故选D.(3)由于ab1，则logab(0，1)，因为logablogba，即logab，所以logab或logab2(舍去)，所以ab，即ab2，所以ab(b
3、2)bb2bba，所以a2b，b22b，所以b2(b0舍去)，a4.【答案】(1)C(2)D(3)42(1)指数幂的运算性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定(2)求解对数式运算的关键是：熟记对数恒等式、换底公式的运算法则，并结合代数式的各种变换技巧，如配方、因式分解、分母或分子有理化、拆项、添项、换底公式的运用等，简化对数运算过程 (3)容易出现的问题是误用指数幂的运算法则、对数的运算性质，或在运算中变换的方法不当，不注意运算的先后顺序等 对点训练1若alog43，则2a2a_解析：因为alog43log223log23log2，所以2a2a2log22log22log2.
4、答案：2(2019瑞安市高三四校联考)若正数a，b满足log2alog5blg(ab)，则的值为_解析：设log2alog5blg(ab)k，所以a2k，b5k，ab10k，所以ab10k，所以abab，则1.答案：1基本初等函数的图象及性质核心提炼指数函数与对数函数的图象和性质指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分0a1两种情况，当a1时，两函数在定义域内都为增函数，当0a0，且a1)的图象可能是()(2)P为曲线C1：yex上一点，Q为曲线C2：yln x上一点，则|PQ|的最小值为_【解析】(1)通解：若0a1，则y是减函数，而yloga是增函数
5、且其图象过点，结合选项可知，没有符合的图象故选D.优解：分别取a和a2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.(2)因为曲线yex与曲线yln x互为反函数，其图象关于yx对称，故可先求点P到直线yx的最近距离d，设曲线yex上斜率为1的切线为yxb，因为yex，由ex1，得x0，故切点坐标为(0，1)，即b1，所以d，所以|PQ|的最小值为2d2.【答案】(1)D(2)研究指数、对数函数图象应注意的问题(1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围(2)研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条
6、件如求f(x)ln(x23x2)的单调区间，只考虑tx23x2与函数yln t的单调性，忽视t0的限制条件 对点训练1当xR时，函数f(x)a|x|始终满足0|f(x)|1，则函数yloga的图象大致为()解析：选B.因为当xR时，函数f(x)a|x|始终满足0|f(x)|1.因此，必有0a1.先画出函数ylog a|x|的图象，如图而函数ylog alog a|x|，如图故选B.2(2019四川胜读九校联考)已知函数f若ax恒成立，则a的取值范围为_解析：由题意可作出函数y|f(x)|的图象和函数yax的图象，由图象可知，函数yax的图象为过原点的直线，直线l为曲线的切线，当直线介于l和x轴
7、之间符合题意，且此时函数y|f(x)|在第二象限的部分解析式为yx22x，求其导数可得y2x2，因为x0，故y2，故直线l的斜率为2，故只需直线yax的斜率a介于2与0之间即可，即a.答案：函数的零点核心提炼1函数的零点的定义对于函数f(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数f(x)的零点2确定函数零点的常用方法(1)解方程法；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解典型例题 (1)(2019高考浙江卷)设a，bR，函数f(x)若函数yf(x)axb恰有3个零点，则()Aa1，b0Ba0Ca1，b1，b0(2)(2019衢州市高三教学质量检测)已知f(x)是R上的
8、奇函数，当x0时，f(x)，则函数yf(x)的所有零点之和是()A5B1C.1D5(3)(2018高考浙江卷)已知R，函数f(x)当2时，不等式f(x)0，解得a1.所以b0.故选C.(2)当x0时，f(x)0，所以当x0时，f(x)0；由得x1；由得x或，所以所有零点之和是5，选A.(3)若2，则当x2时，令x40，得2x4；当x2时，令x24x30，得1x2.综上可知1x4，所以不等式f(x)0的解集为(1，4)令x40，解得x4；令x24x30，解得x1或x3.因为函数f(x)恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知14.【答案】(1)C(2)A(3)(1，4)(1，3(4，)(1)判断
9、函数零点个数的方法直接求零点：令f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在(a，b)上是连续的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点(2)利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法利用零点存在的判定定理构建不等式求解分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解利用此种方法还可判断零点个数，求所有零点的和，研究基本初等函数的性质等 对点训练1(2019“七彩阳光”高三联考)设关于x的方程x2ax20和x2x1a0的实数根分别为x1，x2和x3，x4，若
10、x1x3x2x4，则a的取值范围是_解析：由x2ax20得ax，由x2x1a0得ax2x1.在同一个坐标系中画出yx和yx2x1的图象(图略)由xx2x1，化简得x32x2x20，此方程显然有根x2，所以x32x2x2(x1)(x1)(x2)0，解得x1或x1或x2，当x2或x1时，y1；当x1时，y1，由题意可知，1a1.答案：(1，1)2若函数f(x)|2x1|ax5(a是常数，且aR)恰有两个不同的零点，则a的取值范围为_解析：由f(x)0，得|2x1|ax5.作出y|2x1|和yax5的图象，观察可以知道，当2a0且a1.(1)当a2时，若f(x)x无解，求t的范围；(2)若存在实数m
11、，n(mn)，使得xm，n时，函数f(x)的值域也都为m，n，求t的范围解：(1)因为log2(22xt)xlog22x，所以22xt0，则问题等价于关于n的二次方程n2nt0在n(0，)上有两个不相等的实根，即，即，得0t0)，若对任意s1，)，t0，)，恒有g(s)f(t)成立，试求实数a的取值范围解：(1)因为|x2|x1|(x2)(x1)|3，所以3|x2|x1|3，所以f(x)的值域为3，3(2)g(x)ax3，当a3时，g(x)在1，)上是增函数，g(x)mina，当a(0，3)时，g(x)min23，因此g(s)min，f(t)max3，由题意知g(s)minf(t)max，当0
12、a3时，233，此时a无解，当a3时，a3恒成立，综上，a3.专题强化训练1已知函数f(x)(m2m5)xm是幂函数，且在x(0，)上为增函数，则实数m的值是()A2B4C3D2或3解析：选C.f(x)(m2m5)xm是幂函数m2m51m2或m3.又在x(0，)上是增函数，所以m3.2函数yax21(a0且a1)的图象恒过的点是()A(0，0)B(0，1)C(2，0)D(2，1)解析：选C.法一：因为函数yax(a0，a1)的图象恒过点(0，1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到yax21(a0，a1)的图象，所以yax21(a0，a1)的图象恒过点(2，0)，选项C正确法二：
13、令x20，x2，得f(2)a010，所以yax21(a0，a1)的图象恒过点(2，0)，选项C正确3(2019温州模拟)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()AabcBacbCcabDbca解析：选B.因为alog20.21，c0.20.3(0，1)，所以ac0，a1)满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2B2，)C2，)D(，2解析：选B.由f(1)得a2.又a0，所以a，因此f(x).因为g(x)|2x4|在2，)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是2，)8(2019金华十校联考)函数f(x)，若a，b，c，d各不相同，且f(a)f(b)f(c)f(d)
14、，则abcd的取值范围是()A(24，25)B16，25)C(1，25)D(0，25解析：选A.函数f(x)的图象如图所示：若a、b、c、d互不相同，且f(a)f(b)f(c)f(d)，不妨令abcd，则0a1，1b4，则log2alog2b，即log2alog2blog2ab0，则ab1，同时c(4，5)，d(5，6)，因为c，d关于x5对称，所以5，则cd10，同时cdc(10c)c210c(c5)225，因为c(4，5)，所以cd(24，25)，即abcdcd(24，25)，故选A.9(2019宁波十校高考模拟)已知函数f(x)，则方程f(x2)1的实根个数为()A8B7C6D5解析：选
15、C.令f(x)1得x3或x1或x或x1，因为f(x2)1，所以x23或x21或x2或x21.令g(x)x2，则当x0时，g(x)220，当x0时，g(x)224，作出g(x)的函数图象如图所示：所以方程x23，x21，x2均有两解，方程x21无解所以方程f(x2)1有6解故选C.10已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间0，)上单调递增，若f(1)，则x的取值范围是()A.B(0，e)C.D(e，)解析：选C.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(ln x)ff(ln x)f(ln x)f(ln x)f(ln x)2f(ln x)，所以f(1)等价于|f(ln x)|f(1)，
16、又f(x)在区间0，)上单调递增，所以1ln x1，解得xe.11(2019浙江新高考冲刺卷)已知集合Mx|yln，Ny|yx22x2，则M_，(RM)N_解析：Mx|ylnx|x(x1)0(，0)(1，)，所以RM0，1因为Ny|yx22x2y|y(x1)211，)，所以(RM)N1答案：(，0)(1，)112(2019台州市书生中学高三月考)设函数f(x)则f(f()_；若f(f(a)1，则a的值为_解析：f()1，f(1)2，所以f(f()2.当x1时，f(x)2，所以a1，f(a)0，则y|x2a|与yax1两个图象有四个不同的交点，当yax1与yx2a相切时，得a22.(负值舍掉)当yax1过点(，0)时，得a1，所以22a1，即a的取值范围是(22，1)(2)当a1时，f(x)x2axa1(x)2a1，则f(x)在1，2上单调递增，则f(x)minf(1)2a.当1a4时，f(x)，易知f(x)在1，上单调递减，在(，2上单调递增，则f(x)minf()a1.当a4时，f(x)(x)2a1，则f(x)在1，2上单调递减，则f(x)minf(2)a5，综上，g(a).
