1、第二课时利用导数研究函数的极值与最值授课提示：对应学生用书第49页题型一导数与函数的极值 函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中、高档题常见的命题角度有：(1)知图判断函数极值；(2)已知函数求极值；(3)已知函数极值情况求参数值(范围).考法(一)知图判断函数极值例1函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点解析导函数的图像与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点答
2、案C知图判断函数的极值的情况：先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号，最后判断是极大值点还是极小值点考法(二)求函数的极值例2(2021兰州模拟)已知函数f(x)x3(a2a2)x2a2(a2)x，aR.(1)当a1时，求函数yf(x)的单调区间；(2)求函数yf(x)的极值点解析(1)当a1时，f(x)x3x2x，f(x)x22x1(x1)20，所以函数f(x)是R上的增函数，单调递增区间为(，)，无单调递减区间(2)因为f(x)x2(a2a2)xa2(a2)(xa2)x(a2)，当a1或a2时，a2a2，f(x)0恒成立，函数f(x)为增函数，无极值点当a1或a2时，a
3、2a2，可得当x(，a2)时，f(x)0，函数f(x)为增函数；当x(a2，a2)时，f(x)0，函数f(x)为减函数；当x(a2，)时，f(x)0，函数f(x)为增函数所以当xa2时，函数f(x)有极大值f(a2)；当xa2时，函数f(x)有极小值f(a2)当1a2时，a2a2，可得当x(，a2)时，f(x)0，函数f(x)为增函数；当x(a2，a2)时，f(x)0，函数f(x)为减函数；当x(a2，)时，f(x)0，函数f(x)为增函数所以当xa2时，函数f(x)有极小值f(a2)；当xa2时，函数f(x)有极大值f(a2)利用导数研究函数极值问题的一般流程考法(三)已知函数的极值求参数例
4、3(2021洛阳模拟)若函数f(x)ex(m1)ln x2(m1)x1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为()A(e2，e)B.C. D(，e1)解析由题意，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ex(m1)0在(0，)上有两个不相等的实数根，所以m1在(0，)上有两个不相等的实数根，令g(x)，则g(x)，所以函数g(x)在，上单调递增，在(1，)上单调递减，其大致图像如图所示，要使m1在(0，)上有两个不相等的实数根，则m1g(1)，即m1e，即me1，所以实数m的取值范围是(，e1)答案D已知函数极值点或极值求参数的两个关键点(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利
5、用待定系数法求解(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性题组突破1已知函数f(x)2ln xax23x在x2处取得极小值，则f(x)的极大值为()A2BC3ln 2 D22ln 2解析：由题意得，f(x)2ax3，因为f(x)在x2处取得极小值，所以f(2)4a20，解得a，所以f(x)2ln xx23x，f(x)x3，所以f(x)在(0，1)，(2，)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以f(x)的极大值为f(1)3.答案：B2已知函数f(x)ln x.(1)求函数f(x)的图像过点P(0，1)的切线方程；(2)若函数g(x)f(x
6、)mx存在两个极值点x1，x2，求实数m的取值范围解析：(1)由题意得，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x).设切点坐标为(x0，ln x0)，则切线方程为yxln x01.把点P(0，1)代入切线方程，得ln x00，所以x01，所以过点P(0，1)的切线方程为yx1.(2)因为g(x)f(x)mxln xmx，所以g(x)m，令h(x)mx2xm，要使g(x)存在两个极值点x1，x2，则方程mx2xm0有两个不相等的正数根x1，x2.故只需满足即可，解得0m，即实数m的取值范围为.题型二利用导数研究函数的最值 例已知函数f(x)(a0)的导函数yf(x)的两个零点分别为3和0.(1)求
7、f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解析(1)f(x)令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点，且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以3x0时g(x)0，即f(x)0；当x3，或x0时，g(x)0，即f(x)0，所以f(x)的单调增区间是(3，0)，单调减区间是(，3)，(0，)(2)由(1)知，x3是f(x)的极小值点，所以有解得a1，b5，c5，所以f(x).因为f(x)的单调增区间是(3，0)，单调减区间是(，3)，(0，)所以f(0)5为函数f(x)的极大值，所以f(
8、x)在区间5，)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者而f(5)5e55，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.1.函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得，上述值中最大的即为最大值、最小的即为最小值如果函数在一个区间上(不论区间的类型)有唯一的极值点，则该点也是最值点2注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题对点训练已知定义在正实数集上的函数f(x)ax2(a2)xln x.(1)若函数g(x)f(x)ax21，在其定义域上g(x)0恒成立，求实数a的最小值；(2)若a0时，f(x)在区间1，e上的最小值为2，求实数a的取值范围解析：(1)g(x)ln x(a2)x1
9、，由题意得a2恒成立设h(x)(x0)，则h(x)，所以当0x1时，h(x)0，h(x)单调递增，当x1时，h(x)0，h(x)单调递减，因此h(x)maxh(1)1，所以a21，可得a1，所以实数a的最小值为1.(2)f(x)2ax(a2)(x0，a0)，由f(x)0，得x或x.当a1时，01，因为x1，e，所以f(x)0，f(x)单调递增，f(x)minf(1)2，符合题意；当a1时，1e，因为x1，e，所以当x时，f(x)单调递减，当x时，f(x)单调递增，f(x)minff(1)2，不合题意，舍去；当0a时，e，因为x1，e，所以f(x)单调递减，f(x)minf(e)f(1)2，不合
10、题意，舍去综上，实数a的取值范围是1，)利用导数研究函数最值中的核心素养数学建模利用导数研究生活中优化问题的核心素养利用导数研究生活中的优化问题，主要是建立数学模型，利用导数求最值例 (2021南通模拟)如图所示，现有一张边长为10 cm的正三角形纸片ABC，在三角形的三个角沿图中虚线剪去三个全等的四边形ADA1F1，BD1B1E，CE1C1F(剪去的四边形均有一组对角为直角)，然后把三个矩形A1B1D1D，B1C1E1E，A1C1FF1折起，构成一个以A1B1C1为底面的无盖正三棱柱(1)若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3，求该三棱柱的高；(2)求所折成的正三棱柱的体积的最大值解析(1
11、)设A1Dx，则ADx，A1B1102x.因为3，所以x(cm)故该三棱柱的高为 cm.(2)因为A1B1102x0，所以0x.三棱柱的体积V(x)(102x)2x(3x310x225x)，所以V(x)(9x220x25)(3x5)(x5)因为当0x时，V(x)0，V(x)单调递增，当x时，V(x)0，V(x)单调递减，所以当x时，V(x)max(cm3)故该三棱柱的体积的最大值为 cm3.1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式yf(x)，并确定其定义域；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0处的点的函数值的
12、大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答2如果函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点对点训练国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”，为响应国家号召，各地利用已有土地资源建设健身场所如图所示，有一个长方形地块ABCD，边AB为2 km，AD为4 km.地块的一角是草坪(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越草坪，且占地面积忽略不计)，将隔离出的BEF作为健身场所则BEF的面积S的最大值为_(单位：km2)解析：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得C(2，4)设边缘线AC所在的抛物线为yax2，把C(2，4)代入得a1.所以抛物线为yx2.设点P(t，t2)，t(0，2因为y2x，所以过点P的切线EF的方程为y2txt2，令y0，得E.令x2得F(2，4tt2)，所以BEF的面积为S(4tt2)(t38t216t)，t(0，2，而S(3t216t16)(t4)，由S0，得t，由S0，得t.所以S在上是增函数，在上是减函数，所以S在t时有最大值.答案：
