1、吉林省长春外国语学校2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 文(含解析)一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分). 1已知集合A0,1,2,3,4,5,B2,4,6,则AB()A2,4,6B0,1,2,3,4,5,6C2,4D0,1,2,3,4,52已知复数z(i为虚数单位),则的虚部为()A1B1CiDi3“x02,+),log2x01”的否定是()Ax2,+),log2x1Bx(,2),log2x1Cx0(,2),log2x01Dx2,+),log2x14已知函数f(x)sinx+cosx,则f(x)的最大值为()A1B2C0D5设a,b是非零实数,若ab,则一定有()AB
2、a2abCD6余弦函数是偶函数,f(x)cos(x2+1)是余弦函数,因此f(x)cos(x2+1)是偶函数,以上推理()A结论不正确B大前提不正确C小前提不正确D全不正确7设圆 C1:x2+y21 与 C2:(x2)2+(y+2)21,则圆 C1与 C2的位置关系是()A外离B外切C相交D内含8若样本1+x1,1+x2,1+x3,1+xn的平均数是12,方差是5,则对样本2+x1,2+x2,2+x3,2+xn,下列结论正确的是()A平均数为14,方差为5B平均数为13,方差为25C平均数为13,方差为5D平均数为14,方差为259如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减
3、损术”执行该程序框图,若输入a,b的值分别为84,48,则输出的a的值为()A8B12C24D3610已知aR,则“a2”是“f(x)lnx+x2ax在(0,+)内单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件11圆周率是圆的周长与直径的比值,一般用希腊字母表示早在公元480年左右,南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果,他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人,这比欧洲早了约1000年在生活中,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:从区间1,1内随机抽取200个数,构成100个数对(x,y),其中满足不等式y的数对(x,y)共
4、有11个,则用随机模拟的方法得到的的近似值为()ABCD12已知定义在R上的偶函数yf(x)的导函数为f(x),函数f(x)满足:当x0时,xf(x)+f(x)1,且f(1)2020则不等式的解集是()A(,1)(0,1)B(1,0)(1,+)C(1,0)(0,1)D(,1)(1,+)二、填空题:本题共4小题,每小题5分。13已知数列的Snn2+n+1,则a8+a9+a10+a11+a12 14已知向量(4,2),向量(x,1),若,则| 15已知函数f(x),则f(f(4) 16设有下列四个命题:p1:xR,ex1x;p2:x0(0,+),lnx0x01;p3:方程x22ax30有两个不相等
5、实根;p4:函数f(x)sinx+的最小值是2则下述命题中所有真命题的序号是 p1p2,p1p4,p2p4,p3p4三、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出必要证明过程或演算步骤。17在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,bcosA+(2c+a)cosB0()求角B的大小;()若b,ABC的周长为3+,求ABC的面积18在等比数列an中,a22,且a2,a3+1,a4成等差数列()求数列an的通项公式;()若a2,a3+1,a4为等差数列bn的连续三项,其中b1a2,设数列bn的前n项和为Sn,若Sn155,求n的值19如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1平面ABC,AB
6、BCACAA1,D是BC的中点()求证:A1B平面AC1D;()求证:平面AC1D平面BCC1B1;()求直线AC与平面AC1D所成角的正弦值20已知圆C的圆心在直线yx+1上,且圆C与x轴相切,点P(5,2)在圆C上,点Q(4,5)在圆C外(1)求圆C的方程;(2)若过点(2,4)的直线l交圆C于A,B两点,且|AB|2,求直线l的方程21天津市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试,用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本,得到数学成绩的频率分布直方图如图所示:(1)求第四个小矩形的高,并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1000名学生的数学平均分(2)已知
7、样本中成绩在140,150内的学生中有两名女生,现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2人做学习交流,写出这个试验的样本空间;(用恰当的符号表达)设事件A:“选取的两人中至少有一名女生”,写出事件A的样本点,并求事件A发生的概率22已知函数f(x)exa()若函数f(x)的图象与直线l:yx1相切,求a的值;()若f(x)lnx0恒成立,求整数a的最大值参考答案一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分). 1已知集合A0,1,2,3,4,5,B2,4,6,则AB()A2,4,6B0,1,2,3,4,5,6C2,4D0,1,2,3,4,5解:A0,1,2,3,4,5,B2,4,6,则AB0,1
8、,2,3,4,5,6,故选:B2已知复数z(i为虚数单位),则的虚部为()A1B1CiDi解:z,则的虚部为1故选:A3“x02,+),log2x01”的否定是()Ax2,+),log2x1Bx(,2),log2x1Cx0(,2),log2x01Dx2,+),log2x1解:根据题意,“x02,+),log2x01”是特称命题,其否定为x2,+),log2x1;故选:A4已知函数f(x)sinx+cosx,则f(x)的最大值为()A1B2C0D解:f(x)sinx+cosx,xRf(x)的最大值为,故选:D5设a,b是非零实数,若ab,则一定有()ABa2abCD解:对于A:当a0b,不成立对
9、于B:当ba0时,不成立对于C:a,b是非零实数,ab,当a0b,恒成立,当ba0时,ab0,则ab0,0,当0ba 时,a2b2,ab0,0,则C对对于D:当a1,b时不成立,故选:C6余弦函数是偶函数,f(x)cos(x2+1)是余弦函数,因此f(x)cos(x2+1)是偶函数,以上推理()A结论不正确B大前提不正确C小前提不正确D全不正确解:根据题意,该演绎推理的大前提为“余弦函数是偶函数”,小前提为“f(x)cos(x2+1)是余弦函数”,结论为“f(x)cos(x2+1)是偶函数”,其中小前提错误;故选:C7设圆 C1:x2+y21 与 C2:(x2)2+(y+2)21,则圆 C1与
10、 C2的位置关系是()A外离B外切C相交D内含解:圆心C1:(0,0),C2:(2,2),半径R1,r1,则|C1C2|41+1,即圆 C1与 C2的位置关系是相离,故选:A8若样本1+x1,1+x2,1+x3,1+xn的平均数是12,方差是5,则对样本2+x1,2+x2,2+x3,2+xn,下列结论正确的是()A平均数为14,方差为5B平均数为13,方差为25C平均数为13,方差为5D平均数为14,方差为25解:样本1+x1,1+x2,1+x3,1+xn的平均数是12,方差是5,对样本2+x1,2+x2,2+x3,2+xn的平均数是13,方差是5故选:C9如图程序框图的算法思路源于我国古代数
11、学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图,若输入a,b的值分别为84,48,则输出的a的值为()A8B12C24D36解:由a84,b48,满足ab,则a变为844836,由ba,则b变为483612,由ab,则,a361224,由ab,则,a241212,由ab12,则输出的a12故选:B10已知aR,则“a2”是“f(x)lnx+x2ax在(0,+)内单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解:f(x)lnx+x2ax在(0,+)内单调递增f(x)+2xa0在(0,+)上恒成立,即a(2x+)min,令g(x)2x+,g(x)2,令g(x)0,
12、0x,令g(x)0,x,g(x)在(0,)递减,在(,+)递增,g(x)ming()2,a,(,2(,2,a2是f(x)lnx+x2ax在(0,+)内单调递增的充分不必要条件,故选:A11圆周率是圆的周长与直径的比值,一般用希腊字母表示早在公元480年左右,南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果,他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人,这比欧洲早了约1000年在生活中,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:从区间1,1内随机抽取200个数,构成100个数对(x,y),其中满足不等式y的数对(x,y)共有11个,则用随机模拟的方法得到的的近似值为()ABCD【解
13、答】解:从区间1,1内随机抽取200个数,构成100个数对(x,y),其中满足不等式y的数对(x,y)共有11个,即从区间1,1内随机抽取200个数,构成100个数对(x,y),其中满足不等式y的数对(x,y)共有10021178个,由几何概型中的面积型可得:,所以,故选:A12已知定义在R上的偶函数yf(x)的导函数为f(x),函数f(x)满足:当x0时,xf(x)+f(x)1,且f(1)2020则不等式的解集是()A(,1)(0,1)B(1,0)(1,+)C(1,0)(0,1)D(,1)(1,+)解:当x0时,xf(x)+f(x)1,所以:xf(x)+f(x)10,令:F(x)xf(x)x
14、x(f(x)1),则F(x)xf(x)+f(x)10,即当x0时,F(x)单调递增,又f(x)为R上的偶函数,所以F(x)为R上的奇函数,F(0)0,则当x0时,F(x)单调递增,不等式f(x)1+,当x0时,xf(x)x+2019,即:xf(x)x2019,F(1)f(1)12019,即:F(x)F(1),所以:0x1;当x0时,xf(x)x+2019,xf(x)x2019,F(1)F(1)2019,即:F(x)F(1),所以:1x0;综上,不等式的解集为:(1,0)(0,1)故选:C二、填空题:本题共4小题,每小题5分。13已知数列的Snn2+n+1,则a8+a9+a10+a11+a121
15、00解:数列的,n2时,anSnSn1n2+n+1(n1)2+(n1)+12n则a8+a9+a10+a11+a122(8+9+10+11+12)100故答案为:10014已知向量(4,2),向量(x,1),若,则|解:向量(4,2),向量(x,1),若,则 ,x2,(2,1),则|,故答案为:15已知函数f(x),则f(f(4)1解:函数f(x),f(4)f(1)log221,f(f(4)f(1)log221故答案为:116设有下列四个命题:p1:xR,ex1x;p2:x0(0,+),lnx0x01;p3:方程x22ax30有两个不相等实根;p4:函数f(x)sinx+的最小值是2则下述命题中
16、所有真命题的序号是 p1p2,p1p4,p2p4,p3p4解:P1:f(x)ex1x,f(x)ex10,x0,所以f(x)minf(0)0,所以P1为真P2:当x01时成立,所以P2为真P3:(2a)24(3)4a2+120,方程有两个不相等实根,所以P3为真P4:当sinx1时,f(x)sinx+0,所以P4为假所以P1P2,P1P4,P3P4为真,所以真命题为故答案为:三、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出必要证明过程或演算步骤。17在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,bcosA+(2c+a)cosB0()求角B的大小;()若b,ABC的周长为3+,求ABC的面积解:()
17、因为bcosA+(2c+a)cosB0,由正弦定理可得sinBcosA+(2sinC+sinA)cosB0,所以sin(A+B)+2sinCcosB0,即sinC+2sinCcosB0,又角C为ABC的内角,sinC0,所以cosB,又B(0,),所以B()因为a+b+c3+,b,所以a+c3,由余弦定理ba+c2accosB,得7(a+c)ac,所以ac(a+c)72,所以SABCacsinB,所以ABC的面积为18在等比数列an中,a22,且a2,a3+1,a4成等差数列()求数列an的通项公式;()若a2,a3+1,a4为等差数列bn的连续三项,其中b1a2,设数列bn的前n项和为Sn,
18、若Sn155,求n的值解:()设等比数列an的公比为q,由a22,且a2,a3+1,a4成等差数列,可得a1q2,2(a3+1)a2+a4,即2(a1q2+1)a1q+a1q3,解得a11,q2,所以an2n1;()a2,a3+1,a4为等差数列bn的连续三项,即为2,5,8为等差数列bn的连续三项,所以等差数列bn的首项为2,公差为3,Sn2n+n(n1)3由Sn155,即3n2+n310,解得n10(舍去),故n1019如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1平面ABC,ABBCACAA1,D是BC的中点()求证:A1B平面AC1D;()求证:平面AC1D平面BCC1B1;()求直线A
19、C与平面AC1D所成角的正弦值【解答】()证明:连接A1C交AC1于点O,连接OD在正三棱柱ABCA1B1C1中,ACAA1,侧面AA1C1C是正方形,则点O是AC1的中点,又点D是BC的中点,故OD是A1CB的中位线,ODA1B,又A1B平面AC1D,OD平面AC1D,A1B平面AC1D;()证明:AA1平面ABC,CC1平面ABC,可得CC1AD,又ACAB,D为BC的中点,ADBC,而CC1BCC,AD平面BCC1B1,AD平面AC1D,平面AC1D平面BCC1B1;()解:由()知,平面AC1D平面BCC1B1,又AC1D平面BCC1B1C1D,在平面BCC1B1中,过C作CGC1D,
20、可得CG平面AC1D,连接AG,CAG为直线AC与平面AC1D所成角,设ABBCACAA12,在RtC1CD中,求得,sinCAG,即直线AC与平面AC1D所成角的正弦值为20已知圆C的圆心在直线yx+1上,且圆C与x轴相切,点P(5,2)在圆C上,点Q(4,5)在圆C外(1)求圆C的方程;(2)若过点(2,4)的直线l交圆C于A,B两点,且|AB|2,求直线l的方程解:(1)设圆心C(a,a+1),则半径r|a+1|,圆C的方程为(xa)2+(ya1)2(a+1)2,点P(5,2)在圆C上,(5+a)2+(a+3)2(a+1)2,解得a3或11点Q(4,5)在圆C外,经检验a11不符,舍去圆
21、C的方程为(x+3)2+(y+2)24;(2)由(1)可知圆C的半径为r2,又|AB|2,圆心到直线的距离d当k不存在时,直线方程为x2;当k存在时,设直线方程为y+4k(x+2),整理得kxy+2k40圆心C到直线l的距离d,即(k+2)2k2+1,解得k直线方程为y+4,即3x+4y+220综上,直线l的方程为x2或3x+4y+22021天津市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试,用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本,得到数学成绩的频率分布直方图如图所示:(1)求第四个小矩形的高,并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1000名学生的数学平均分(2)已知
22、样本中成绩在140,150内的学生中有两名女生,现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2人做学习交流,写出这个试验的样本空间;(用恰当的符号表达)设事件A:“选取的两人中至少有一名女生”,写出事件A的样本点,并求事件A发生的概率解:(1)由频率分布直方图可知,第四个矩形的高为:0.1(0.010+0.020+0.030+0.012)0.028,成绩不低于1(20分)的频率为:(0.030+0.028+0.012)100.7,所以高三年级不低于1(20分)的人数为:0.71000700人平均分126.2;(2)由频率分布直方图知,成绩在140,150的人数是6,记女生为A,B,男生为c,d,e,f
23、,从这6人中抽取2人的情况有AB,Ac,Ad,Ae,Af,Bc,Bd,Be,Bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15种其中至少有一名女生的情况有AB,Ac,Ad,Ae,Af,Bc,Bd,Be,Bf共9种,故至少有一名女生的概率22已知函数f(x)exa()若函数f(x)的图象与直线l:yx1相切,求a的值;()若f(x)lnx0恒成立,求整数a的最大值解:()由函数f(x)的图象与直线l:yx1相切,设切点为(),则,解得x00,a2;()现证明exx+1(x0),设F(x)exx1,令F(x)ex10,即x0,当x(0,+)时,F(x)0,F(x)为单调增函数,F(x)minF(0)0;同理可证lnxx1即ex2x1lnx,由题意,当a2时,exaex2x1lnx,即a2时,f(x)lnx0成立又当a3时,存在x使ex3lnx,即ex3lnx不恒成立因此整数a的最大值为2