1、第八节 正、余弦定理的应用基础梳理解三角形(1)解三角形：_.一般地，把三角形三个角A，B，C和它们的对边a，b，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫做解三角形 (2)解三角形的类型：已知三边求三角，用_定理；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，用_定理；已知两角和任一边，求其他两边和一角，用_定理；已知两边和一边的对角，求第三边和其他两角，用_定理 余弦 余弦 正弦 正弦 基础达标 1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯角为70，则BAC=_.解析：如图，由已知BAD=60，CAD=70，BAC=60+70=130.2.若P在
2、Q的北偏东44，则Q在P的_方向 解析：如图，依题意知AQP=44，则点Q在点P的南偏西44.3.(必修5P18例1改编)为了在一条河上建一座桥，施工前在 河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)要测算出A、B两点间的 距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=100 m，B=60，C=45，则AB=_m.解析：B=60，C=45，A=75.ABsinC,BCsinAAB=21002100(31).624BCsinCsinA4.(必修5P21第8题改编)如图，A、B两 地之间隔着一个水塘，现选择另一点 C，测得CA=80 m，CB=40 mACB=60，则A、B两地之间距离为_ m.解析：由余弦定
3、理，得AB2=CA2+CB2-2CACBcosC =802+402-2 218040403,2AB=40 3.5.已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC边上的中线AD的长为_ 解析：如图所示，B=60，AB=1，BD=2，由余弦定理得 AD=2222260122 1 2603.ABBDAB BDcoscos 经典例题题型一 距离问题【例1】一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C 在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的 北偏东30方向若货轮的速度为30 n mile/h，当货轮 航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向处，求A、D两处 的距离 分析：
4、如图所示，由条件可知ACD是等腰直角三角形，故只要求出AC即可，而ABC中，AB可知，CAB，CBA都可知利用正弦定理可求出AC.解：如图所示，在ABC中，CAB=45，ABC=90+30=120，ACB=180-45-120=15，AB=30 0.5=15(n mile)则由正弦定理，得 ,ACABsin ABCsin ACB即 15.12015ACsinsin又sin 15=62,4sin 120=3,2AC=151203 26152sinsin15(n mile)在ACD中，A=D=45，ACD是等腰直角三角形，AD=2 AC=15(3+3)(n mile)，A、D两处的距离为15(3+
5、3)n mile.题型二 高度问题【例2】某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前 进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大 仰角为30，求塔高 分析：依题意画出示意图形如图所示，在BDC中，可用 正弦定理求BD的长，要使仰角AEB最大，即使tanAEB 最大由于AB是塔高，是定值，故只要BE最小就可以了，故当BEDC时为最小，即BE长可求出然后在RtABE中 求出塔高AB的长 解：如图所示，在BDC中，CD=40 m，BCD=90-60=30，DBC=180-45=135.由正弦定理，得 CDBDsin DBCsin BCD，BD=403020 2135CDsin BCDsinsin
6、DBCsin（m）.在RtABE中，tanAEB=.ABBEAB为定值，若要使仰角AEB最大，则BE要最小，即BECD，这时AEB=30.在RtBED中，BDE=180-135-30=15，BE=BDsinBDE=20 2sin 15 10(3 1)()m在RtABE中，AB=BEtanAEB 1010(31)tan30(33)().3m塔的高度为 10(33).3m题型三 角度问题【例3】近几年来，印度洋海域索马里海盗活动猖獗，并频频袭击过往货轮，2011年某月某日，巡逻人员在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A处 (3 1)海里的B 处一货轮遭到抢劫，立即发出阻截信号，此时，在A处北偏西7
7、5方向，距离A处2海里的C处的中国编队接到信号后，立即以10 海里/小时的速度追截海盗船，而海盗船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问：中国编队沿什么方向行驶能最快追上海盗船？3分析：画出示意图如图所示，设 中国编队应按CD方向行驶，且在D 处追上海盗船在ABC中，可由 余弦定理求出BC；然后，再在 BCD中，由正弦定理求出 BCD，则追截方向可定 解：如图，设中国编队用t h在D处追上海盗船，则有CD=10 3,tBD=10t，在ABC中，AB=3 1,AC=2，BAC=120，由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC 22(3 1)22(3 1)2 c
8、os1206,BC=6,cosCBA=222263142,222 631BCABACBC AB CBA=45，即B在C的正东方向 CBD=90+30=120，在BCD中，由正弦定理得 sinBCD=101201,210 3BD sin CBDtsinCDtBCD=30，ECD=60.故中国编队应沿北偏东60方向才能最快追上海盗船 变式3-1 甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距10海里，乙船向正北方向行驶，若甲船速度是乙船的 3倍，问：甲船应向什么方向行驶才能追上乙船？解析：如图，设乙船行驶了x海里，则甲船行驶了 3x海里，两船在C处相遇 在ABC中，ABC=120，AB=10，BC=x，AC=3x由余弦定理可知=100+x2-20 xcos 120，2(3)x即x2-5x-50=0，x=10或x=-5(舍去)，ABC是顶角为120 的等腰三角形，BAC=30.故甲船应向北偏东30方向前进才能追上乙船
