1、10.2 排列知识梳理1.排列的概念：从n个不同元素中任取m个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示.2.排列数公式：从n个不同元素中任取m个元素的排列的个数A=n（n1）（n2）（nm+1）.3.附有限制条件的排列（1）对附有限制条件的排列，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置.（2）对下列附有限制条件的排列，要掌握基本的思考方法：元素在某一位置或元素不在某一位置；元素相邻捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；元素不相邻插空法；比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位.（3）对附
2、有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法直接法；同时要掌握一些问题的逆向思考问题的方向间接法.点击双基1.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为A.A B.AA C.AA D.A解析：按分步计数原理，第一步，将女生看成一个整体，则有A种方法；第二步，将女生排列，有A种排法.故总共有AA种排法.答案：B2.若2n个学生排成一排的排法数为x，这2n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x、y的关系为A.xyB.xyC.x=yD.x=2y解析：第一种排法数为A，第二种排法数为AA=A，从而x=y.答案：C3.若S=A+A+A+A+A，则S的个位数字是A.8B.5C
3、.3D.0解析：A=1，A=2，A=6，A=24，而A，A，A中个位数字均为0，从而S的个位数字是3.答案：C4.（2004年天津，文16）从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有_个.（用数字作答）解析：其中能被5整除的三位数末位必为0或5.末位为0的三位数其首次两位从15的5个数中任取2个排列而成方法数为A=20，末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有C种挑法，再挑十位，还有C种挑法，合要求的数有CC=16种.共有20+16=36个合要求的数.答案：36评述：本题主要抓住能被5整除的三位数的特征（末位数为0，5），还要注意分
4、类讨论及排数字时对首位非0的限制.5.若直线Ax+By=0的系数A、B可以从0，2，3，4，5，6中取不同的值.这些方程表示不同直线的条数是_.解析：若A=0，表示直线y=0；若B=0，表示直线x=0；若A、B从集合中任取两个非零值有A种，其中2x+4y=0与3x+6y=0，4x+2y=0与6x+3y=0，2x+3y=0与4x+6y=0，3x+2y=0与6x+4y=0同.所以这些方程表示的直线条数为2+A4=18.答案：18典例剖析【例1】 一条铁路原有m个车站，为适应客运需要，新增加n（n1，nN*）个车站，因而增加了58种车票（起迄站相同的车票视为相同的车票），问原来这条铁路有几个车站?现
5、在又有几个车站?解：由题设AA=58，即n（2m1+n）=58=229.（1）若n=2，则2m1+n=29，m=14；（2）若n=29，则2m1+n=2，m=13，不合题意，舍去；（3）若n=1，则2m1+n=58，m=29；（4）若n=58，则2m1+n=1，m=28，不合题意，舍去.所以原有14个车站，现有16个车站；或者原有29个车站，现有30个车站.【例2】 从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实数根的有几个？剖析：（1）二次方程要求a不为0，故a只能在1、3、5、7中选，b、c没有限制.（2）二次方程要有实根，需=
6、b24ac0，再对c分类讨论.解：（1）a只能在1、3、5、7中选一个有A种，b、c可在余下的4个中任取2个，有A种.故可组成二次方程AA=48个. （2）方程要有实根，需=b24ac0.c=0，a、b可在1、3、5、7中任取2个，有A种；c0，b只能取5、7，b取5时，a、c只能取1、3，共有A个；b取7时，a、c可取1、3或1、5，有2A个.故有实根的二次方程共有A+A+2A=18个. 【例3】 从0，1，2，3，4中取出不同的3个数字组成一个三位数，所有这些三位数的个位数字的和是多少？解：1，2，3，4在个位上出现的次数相等，故（1+2+3+4）AA=90.评述：要考虑0不能作首位这个因
7、素.深化拓展从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出不同的5个数字组成一个5位偶数.（1）有多少个这样的数？（2）所有这些5位数的个位数字的和是多少？答案：（1）A+CCA；（2）（2+4+6+8）CA.闯关训练夯实基础1.5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有A.AA种 B.AA种C.AA种D.A4A种解析：正先排大人，有A种排法，再排小孩，有A种排法（插空法）.故有AA种不同的排法.答案：A2.（2004年四川模拟题）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有_.解法一：1、2、3、4、5组成
8、无重复五位数，大于23145且小于43521的有（1）形如，后两位只能填5、4，有1种数合要求.（2）形如，第三位选4或5都满足要求，后两位任选都可.符合要求的数有CA=4种.（3）形如，第二位选4或5，后三位任选，方法数为CA=12种.（4）形如，第二位开始，均可任选，方法数为A=24种.（5）形如，第二位选1或2，后三位任选，方法数为CA=12种.同理形如，2A=4种，形如，1种.合要求总数为（1+4+12）2+24=58种.解法二：可用类似方法算出小于43521的5位数个数与小于等于23145的五位数个数.两数之差即为小于43521且大于23145的五位数个数.答案：58种3.三个人坐在
9、一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为_.解析：根据题意，两端的座位要空着，中间6个座位坐三个人，再空三个座位，这三个座位之间产生四个空，可以认为是坐后产生的空.故共有A种.这种执果索因的思考方法是处理排列、组合问题常用的方法.答案：244.在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有_个.解析：形如20，31，42，53，64，75，86，97符合条件，共有8A=448个.答案：4485.用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，（1）可组成多少个不同的四位数?（2）可组成多少个四位偶数?（3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列
10、，问第85项是什么?解：（1）AA=300或AA=300（间接法）.（2）AAAA=156.（3）千位是1的四位数有A=60个，千位是2，百位是0或1的四位数有2A=24个，第85项是2301. 培养能力6.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行某种劳动技术比赛，决出了第1到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这个回答分析，5人的名次排列共可能有多少种不同的情况?（用数字作答）解：本题等价于5人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法有多少种.乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人
11、有A种排法.故共有33A=54种不同的情况.7.用0、1、2、3、4、5这六个数字组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数的个数是多少个？解：（1）个位数为0，十位数可为1、2、3、4、5，故为A种；（2）个位数为1，十位数可为2、3、4、5，故为AAA个；（3）个位数为2，十位数为3、4、5，故为AAA个；（4）个位数为3，十位数为4、5，故为AAA个；（5）个位数为4，十位数为5，故为AA个.所以共有A+AA（A+A+A+1）=300个.8.（理）用1，2，3，4，5排成一个数字不重复的五位数a1a2a3a4a5，满足a1a3，a3a5的五位数有多少个？解：因为a2a1、a
12、3，a4a3、a5，所以a2只能是3、4、5.（1）若a2=3，则a4=5，a5=4，a1与a3是1或2，这时共有A=2个符合条件的五位数.（2）若a2=4，则a4=5，a1、a3、a5可以是1、2、3，共有A=6个符合条件的五位数.（3）若a2=5，则a4=3或4，此时分别与（1）（2）情况相同.所以，满足条件的五位数有2（A+A）=16个.（文）用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的五位数，求比20314大的数的个数.解：比20314大的五位数可分为三类：第一类：3，4，5，共3A（个）；第二类：21，23，24，25，共4A（个）；第三类：203，204，205，除去20314
13、这个数，共3A1（个）.故比20314大的无重复数字的五位数有3A+4A+3A1=473（个）.还可以这样考虑：用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数共A个.其中比20314小的有两类：第一类：0，1，共2A个；第二类：201，有A个，与20314相等的有1个，故比20314大的数共有A2AA1=473（个）.探究创新9.有点难度哟！8个人站成一排，其中A、B、C互不相邻且D、E也互不相邻的排法有多少种?解：先排去掉A、B、C外的5个人，有A种，再排A、B、C 3人，有A种.故有AA种（含D、E相邻）.其中D、E相邻的有AAA种.满足条件的排法种数为AAAAA=11520.思考讨论下述
14、解法少了哪种情况?解：先排A、B、C、D、E外的3人，有A种，再排A、B、C 3人，有A种（插空），最后排D、E 2人，有A种（插空）.故排法种数为AAA=6048.思悟小结对带有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题思想方法：（1）直接法：（2）间接法；（3）一般先从特殊元素和特殊位置入手.教师下载中心教学点睛排列与组合是两类特殊的计数问题，它还有一些较为独特的思考方法，应理解掌握.关于排列组合问题，大致有下面几种解法：第一，不附加条件的排列组合问题.大多用分类讨论的方法，注意分类不重不漏.第二，元素必须相邻.一般采用看作一个整体的方法.第三，元素不相邻.采用插空法.第四，排列组合的混合型问题
15、.交替使用两个原理.第五，间接法.把不合条件的排列数或组合数剔除掉.第六，穷举法.把符合条件的所有排列或组合一一写出来.拓展题例【例1】 （1）书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不变，再放上2本不同的书，有多少种不同的放法？（2）身高均不相同的7个人排成一列，要求正中间的个子最高，从中间向两边看，一个比一个矮，有多少种不同的排法？解：（1）问题相当于5本书排成一排，其中某3本书的顺序一定.所以共有=A=20种放法.（2）先排正中间的人，只有1种方法，再排左边的3个人，有C种方法，剩下的3个人排在右边的3个位子中只有1种方法，所以共有C=20种方法.评述：第（1）题是定序排列问题，可
16、用缩倍法求解.【例2】 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法?（1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；（3）男、女生分别排在一起；（4）男女相间；（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.分析：这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起.解：（1）方法一：（元素分析法）先排甲有6种，其余有A种，故共有6A=241920种排法.方法二：（位置分析法）中间和两端有A种排法，包括甲在内的其余6人有A种排法，故共有AA=336720=241920种排法.方法三：（等机会法）9个人的全排列数有A种，甲排在每一
17、个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A=241920种.方法四：（间接法）A3A=6A=241920种.（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有AA=10800种排法. （3）（捆绑法）AAA=5760种.（4）（插空法）先排4名男生有A种方法，再将5名女生插空，有A种方法，故共有AA=2880种排法.（5）方法一：（等机会法）9人共有A种排法，其中甲、乙、丙三人有A种排法，因而在A种排法中每A种对应一种符合条件的排法，故共有=60480种排法.方法二：CA=60480种.点评：本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路.
