1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时离散型随机变量的方差1离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：如果离散型随机变量X的分布列如表所示Xx1x2xkxnPp1p2pkpn因为X的均值为E(X)，所以D(X)p12p22pnpi称为离散型随机变量X的方差，一般地，称为离散型随机变量X的标准差(2)意义：离散型随机变量的方差和标准差都刻画离散型随机变量相对于均值的离散程度(或波动大小).(3)性质：D(aXb)a2D(X)离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系？提示：(1)离散型随机变量的方差即为
2、总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而变化；(2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的2两点分布与二项分布的方差XX服从两点分布XB(n，p)D(X)p(1p)(其中p为成功概率)np(1p)1思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定()(2)离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的()(3)若a是常数，则D(a)0.()提示：(1).离散型随机变量的方差越小，随机变量越稳定(2).单位不同，方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与随机变量本身有相同的单位(3).离散型随机变量的方差刻画离散型随机变量相对于均值的波动大小2(教材二次开发：练
3、习改编)已知X的分布列为X101P0.50.30.2则D(X)等于()A0.7 B0.61 C0.3 D0【解析】选B.E(X)10.500.310.20.3，D(X)0.5(10.3)20.3(00.3)20.2(10.3)20.61.3已知随机变量X，D(X)，则X的标准差为_【解析】X的标准差.答案：类型一求离散型随机变量的方差(标准差)(数据分析、数学运算)定义法求方差(标准差)【典例】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的方差【思路导引】先列出随机变量X的分布列，再用定义求出方差即可【解析】由题意，X的可能取值为0，1，2，P(Xk)
4、，k0，1，2.X的分布列为：X012P所以X的均值为E(X)0121.所以X的方差为D(X)(01)2(11)2(21)2.本例考查求随机变量的方差，同时考查数学建模与数学运算的核心素养本例条件不变，若设随机变量Y表示所选3人中男生的人数，求Y的方差【解析】由题意知，Y的可能取值为1，2，3，P(Yk)，k1，2，3，Y的分布列为：Y123P所以Y的均值为E(Y)1232.所以Y的方差为D(Y)(12)2(22)2(32)2.性质法求方差(标准差)【典例】已知X的分布列如表：X101Pa(1)计算X的方差；(2)若Y4X3，求Y的均值和方差【思路导引】利用分布列的性质求出a值，再利用方差公式
5、及性质求解【解析】由分布列的性质，知a1，故a.所以X的均值E(X)(1)01.(1)X的方差D(X).(2)因为Y4X3，所以E(Y)4E(X)32，D(Y)42D(X)11.已知随机变量X的分布列为：X01xPp若E(X).(1)求D(X)的值；(2)若Y3X2，求的值【解析】由分布列的性质，得p1，解得p，因为E(X)01x，所以x2.(1)D(X).(2)因为Y3X2，所以D(Y)D(3X2)9D(X)5，所以.1定义法求离散型随机变量X的方差的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取各个值的概率，写出分布列；(3)根据分布列，由期望的定义求出E(X)；(4)根据公式
6、计算方差2性质法求离散型随机变量X的方差应用公式：D(aXb)a2D(X)求离散型随机变量X的方差，既避免了求随机变量YaXb的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程【补偿训练】 1.已知的分布列为010205060P(1)求方差及标准差；(2)设Y2E()，求D(Y).【解析】(1)因为E()01020506016，所以D()(016)2(1016)2(2016)2(5016)2(6016)2384，所以8.(2)因为Y2E()，所以D(Y)D(2E()22D()43841 536.2已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直
7、到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列、均值(数学期望)和方差【解析】(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A).(2)X的可能取值为200，300，400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1，故X的分布列为X200300400PE(X)200300400350.D(X)(200350)2(300350)2(400350)24
8、500.类型二两点分布与二项分布的方差(标准差)(数据分析、数学运算)【典例】某厂一批产品的合格率是98%.(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差【解析】(1)用表示抽得的正品数，则0，1.服从两点分布，且P(0)0.02，P(1)0.98，所以D()p(1p)0.98(10.98)0.019 6.(2)用X表示抽得的正品数，则XB(10，0.98)，所以D(X)100.980.020.196，标准差为0.44.如果能判断随机变量服从什么分布，则直接代入相应的公式求解方差1某运动员投篮命中率p0.8，则该运
9、动员在一次投篮中命中次数X的方差为_【解析】依题意知：X服从两点分布，所以D(X)0.8(10.8)0.16.答案：0.162为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)3，D(X)，则n_，p_【解析】由题意知，X服从二项分布B(n，p)，由E(X)np3，D(X)np(1p)，得1p，所以p，n6.答案：6类型三方差的实际应用(数学建模、逻辑推理、数学运算)【典例】甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环
10、，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1比较均值离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高2在均值相等的情况下计算方差方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定3下结论依据方差的几何意义做出结论甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两
11、个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为0123P0.30.30.20.2012P0.10.50.4试评定两个保护区的管理水平【解析】甲保护区的违规次数的均值和方差分别为E()00.310.320.230.21.3；D()(01.3)20.3(11.3)20.3(21.3)20.2(31.3)20.21.21.乙保护区的违规次数的均值和方差分别为E()00.110.520.41.3；D()(01.3)20.1(11.3)20.5(21.3)20.40.41.因为E()E()，D()D()，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和
12、波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定【拓展延伸】证明公式：对离散型随机变量X有D(X)E(X2)(E(X)2.【证明】D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn(xp1xp2xpn)2E(X)(x1p1x2p2xnpn)(E(X)2(p1p2pn)E(X2)2(E(X)2(E(X)2E(X2)(E(X)2.【拓展训练】已知随机变量的分布列如表，则随机变量的方差D()的最大值为()012Py0.4xA0.72 B0.6 C0.24 D0.48【解析】选B.由题意知y0.6x，因为E()0.42x，所以E(2)0.44x，D()E(2)(E()20.44x(0.42
13、x)24x22.4x0.24，当x0.3时，D()max0.6.1已知随机变量X的分布列为P(Xk)，k3，6，9，则D(X)等于()A6 B9 C3 D4【解析】选A.E(X)3696.D(X)(36)2(66)2(96)26.2设一随机试验的结果只有A和且P(A)m，令随机变量则的方差D()等于()Am B2m(1m)Cm(m1) Dm(1m)【解析】选D.随机变量服从两点分布，所以D()m(1m).3有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)E(X乙)，方差分别为D(X甲)11，D(X乙)3.4.由此可以估计()A甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B乙种水稻比甲种
14、水稻分蘖整齐C甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较【解析】选B.因为D(X甲)D(X乙)，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐4(教材二次开发：例题改编)设随机变量XB，则D(X)_【解析】因为XB，所以D(X)4.答案：5根据以往经验，一辆从北京开往天津的长途汽车在无雨天盈利230元，小雨天盈利163元，中雨天盈利90元根据天气预报，明天无雨的概率是0.2，有小雨的概率是0.3，有中雨的概率是0.5.问：明天发一辆长途汽车盈利的期望是多少元？方差和标准差各是多少？【解析】用X表示明天发一辆车的盈利，由题意知P(X230)0.2，P(X163)0.3，P(X90)0.5，所以E(X)2300.21630.3900.51399(元).所以明天发一辆长途汽车盈利的期望是139.9元方差D(X)(230139.9)20.2(163139.9)20.3(90139.9)20.53 028.69，标准差55.所以方差和标准差各是3 028.69，55.关闭Word文档返回原板块
