1、第六节抛物线命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系是高考的命题热点，常以选择题和填空题的形式出现，直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现本节主要考查考生的转化与化归思想的运用，提升考生数学运算、直观想象核心素养授课提示：对应学生用书第181页知识点一抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上 温馨提醒 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线1抛物线y28x上到其焦点
2、F距离为5的点P有（）A0个B1个C2个 D4个解析：设P（x1，y1），则|PF|x125，y8x1，所以x13，y12故满足条件的点P有两个答案：C2（易错题）设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_解析：抛物线y28x的准线方程x2，因为点P到y轴的距离为4，所以点P到准线的距离为6，由抛物线定义知点P到焦点的距离为6答案：6知识点二抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px（p0）y22px（p0）x22py（p0）x22py（p0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O（0，0）对称轴x轴y轴焦点FFFF离心率e1续表准线方程xxyy范围x0，
3、yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径（其中P（x0，y0）|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0 温馨提醒 抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y22px（p0）的焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则：（1）x1x2，y1y2p2（2）弦长|AB|x1x2p（为弦AB的倾斜角）（3）以弦AB为直径的圆与准线相切（4）通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p1（易错题）抛物线yax2的准线方程是y1，则a的值为（）A BC4 D4解析：由题意知抛物线的标准方程为x2y，所以准线方程y1，解得a答案：B2过点P（2，3）的抛物线的标准方程是
4、（）Ay2x或x2yBy2x或x2yCy2x或x2yDy2x或x2y解析：设抛物线的标准方程为y2kx或x2my，代入点P（2，3），解得k，m，所以y2x或x2y答案：A3过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，如果x1x26，则|PQ|_解析：抛物线y24x的焦点为F（1，0），准线方程为x1根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228答案：8授课提示：对应学生用书第182页题型一抛物线的标准方程及几何性质1（2021宜春联考）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，点M是抛物线C上一点，圆M与y轴相切，且被直线x截得的弦长为p，若
5、|MF|，则抛物线的方程为（）Ay24xBy22xCy28x Dy2x解析：设圆M与y轴相切于点N，直线x与圆M交于A，B两点，如图所示，设M（x0，y0），则|MN|MA|MB|x0，|AB|p，所以x，解得x0p，由抛物线的定义知，|MF|x0，因为|MF|，所以pp，即p2，所以抛物线方程为y24x答案：A2已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|（）A BC3 D2解析：因为4，所以如图，过Q作QQl，垂足为Q，设l与x轴的交点为A，则|AF|4，所以所以|QQ|3，根据抛物线定义可知|QQ|QF|3答案：C3（2021辽宁
6、五校联考）抛物线C：y24x的焦点为F，N为准线上一点，M为y轴上一点，MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则MNF的面积为（）A BC D3解析：如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F（1，0），因为MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|EF|EN|，又E在抛物线C上，所以ENl，E，所以N（1，），M（0，2），所以|NF|，|NM|，所以MNF的面积为答案：C4（2020高考全国卷）设O为坐标原点，直线x2与抛物线C：y22px（p0）交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为（）A BC（1，0） D（2，0）解析：法一：抛物线C关于x轴对称，D，E两点
7、关于x轴对称可得出直线x2与抛物线的两交点的坐标分别为（2，2），（2，2）不妨设D（2，2），E（2，2），则（2，2），（2，2）又ODOE，44p0，解得p1，C的焦点坐标为法二：抛物线C关于x轴对称，D，E两点关于x轴对称ODOE，D，E两点横、纵坐标的绝对值相等不妨设点D（2，2），将点D的坐标代入C：y22px，得44p，解得p1，故C的焦点坐标为答案：B1求抛物线方程的三个注意点（1）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种（2）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系（3）要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解
8、决问题2运用抛物线几何性质的技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性题型二抛物线的定义及应用与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等常见的命题角度有：（1）焦点与定点距离之和最小问题；（2）点与准线的距离之和最小问题；（3）焦点弦中距离之和最小问题考法（一）焦点与定点距离之和最小问题例1（2021赣州模拟）若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的M的坐标为（）A（0，0）BC（1，） D（2，2）解析过M点作准线的垂线，
9、垂足是N（图略），则|MF|MA|MN|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时M（2，2）答案D考法（二）点与准线的距离之和最小问题例2（2021邢台摸底）已知M是抛物线x24y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x1）2（y5）21上，则|MA|MF|的最小值是_解析依题意，由点M向抛物线x24y的准线l：y1引垂线，垂足为M1（图略），则有|MA|MF|MA|MM1|，结合图形可知|MA|MM1|的最小值等于圆心C（1，5）到y1的距离再减去圆C的半径，即等于615，因此|MA|MF|的最小值是5答案5考法（三）焦点弦中距离之和最小问题例3已知抛物线y24x，过焦点F
10、的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_解析由题意知F（1，0），|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值，依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|2p4时为最小值，所以|AC|BD|的最小值为2答案2与抛物线有关的最值问题的两个转化策略（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决题组突破1已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1
11、，则抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_解析：由题可知l2：x1是抛物线y24x的准线，设抛物线的焦点F为（1，0），则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值是2答案：22（2021上海虹口区模拟）已知点M（20，40），抛物线y22px（p0）的焦点为F若对于抛物线上的任意点P，|PM|PF|的最小值为41，则p的值等于_解析：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|PD|根据点M与抛物线的位置分类讨论，当点M（20，40）位于抛物线内时，如图（1），|PM|PF|
12、PM|PD|当点M，P，D共线时，|PM|PF|的值最小由最小值为41，得2041，解得p42当点M（20，40）位于抛物线外时，如图（2），当点P，M，F共线时，|PM|PF|的值最小由最小值为41，得 41，解得p22或58当p58时，y2116x，点M（20，40）在抛物线内，故舍去综上，p42或22答案：42或22题型三直线与抛物线的位置关系例（2019高考全国卷）已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积解析（1）证明：设D，A（x1，y1），
13、则x2y1因为yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1整理得2tx12y110设B（x2，y2），同理可得2tx22y210故直线AB的方程为2tx2y10所以直线AB过定点（2）由（1）得直线AB的方程为ytx由可得x22tx10于是x1x22t，x1x21，y1y2t（x1x2）12t21，|AB|x1x2| 2（t21）设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2因此，四边形ADBE的面积S|AB|（d1d2）（t23）设M为线段AB的中点，则M因为，而（t，t22），与向量（1，t）平行，所以t（t22）t0，解得t0或t1当t0时，S3；当t1时，S4因此，四边形ADBE的
14、面积为3或4直线与抛物线相交问题处理规律（1）凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质（2）对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图像结合几何性质做出解答并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用（3）对于抛物线x22py的切线问题，常结合导数的几何意义求解切线的斜率由y得ky对点训练设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线A
15、B平行，且AMBM，求直线AB的方程解析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2，y1，y2，x1x24，于是直线AB的斜率k1（2）由y，得y设M（x3，y3），由题设知1，解得x32，于是M（2，1）设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N（2，2m），|MN|m1|将yxm代入y得x24x4m0当16（m1）0，即m1时，x1，222从而|AB|x1x2|4由题设知|AB|2|MN|，即42（m1），解得m7所以直线AB的方程为yx7抛物线几何性质应用中的核心素养直观想象抛物线几何性质的创新应用例（2021合肥调研）设抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，斜率为k
16、的直线过F交C于点A，B，2，则直线AB的斜率为（）A2B2C2 D2解析法一：由题意知k0，F，则直线AB的方程为yk，代入抛物线方程消去x，得y2yp20不妨设A（x1，y1）（x10，y10），B（x2，y2），因为2，所以y12y2又y1y2p2，所以y2p，x2，所以kAB2根据对称性可得直线AB的斜率为2法二：如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E，设直线AB交准线于M，由抛物线的定义知|AF|AD|，|BF|BE|，结合2，知|BE|AD|AB|，则BE为AMD的中位线，所以|AB|BM|，所以|BE|BM|，所以|ME|2|BE|，所以tanMBE2，即此时直线AB的
17、斜率为2，根据对称性可得直线AB的斜率为2 答案C求解此类问题有两种方法：一是利用条件坐标化解决，注意几何性质的运用；二是数形结合充分利用平面几何性质，结合定义转化求解，注意向量的工具作用对点训练（2021惠州调研）已知F是抛物线C：y2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2，则|FN|（）ABC D1解析：法一：因为抛物线C：y2x2，所以F，抛物线C的准线方程为y如图，过点M作抛物线准线的垂线，交x轴于点A，交抛物线C的准线于点B，则MAOF，所以因为2，所以|MA|，|MF|MB|，|FN|3|FM|法二：因为抛物线y2x2，所以F设N（x0，0），则由2，可得M，代入抛物线方程，得2，解得x，则|FN| 答案：A
