1、第七节立体几何中的向量方法命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，利用向量法求空间角和空间距离是高考的重点，考查频率较高，线、面的平行和垂直问题一般不用向量法求解，但向量法的使用有时可以加快求解速度，主要以解答题的形式出现，难度中等本节通过对空间角的求解、空间向量的应用，考查考生转化与化归思想的应用，提升考生的直观想象、数学运算、逻辑推理核心素养授课提示：对应学生用书第158页知识点空间角的求法1设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，则（1）线线平行：lmabakb，kR；线面平行：lauau0；面面平行：uuk，kR（2）线线垂直：lmabab0；线面垂直：la
2、uaku，kR；面面垂直：uu02空间角的求法（1）异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角l1与l2所成的角范围（0，）求法cos cos |cos |（2）求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，则sin |cosa，n|（3）求二面角的大小如图a，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，如图bc，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角（或其补角） 温馨提醒 利用空间向量法求二面角时易忽
3、视判断二面角大小，从而致误解题时注意结合图形判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而在下结论时作出正确判断1已知两平面的法向量分别为m（0，1，0），n（0，1，1），则两平面所成的二面角的大小为_解析：cosm，n，即m，n45，所以两平面所成二面角为45或18045135答案：45或1352在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为_解析：如图建立空间直角坐标系Dxyz，设DA1，A（1，0，0），C（0，1，0），E，则（1，1，0），设异面直线DE与AC所成的角为，则cos |cos，|答案：3正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABCA1B
4、1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为_解析：以C为原点建立空间直角坐标系，如图所示，得下列坐标：A（2，0，0），C1（0，0，2）点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2所以（2，0，2），设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为，则cos 又，所以答案：授课提示：对应学生用书第159页题型一异面直线所成的角例如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60（1）求证：BD平面PAC；（2）若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值解析（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD因为PA平面ABCD，所以PABD又因为A
5、CPAA，所以BD平面PAC（2）设ACBDO因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）所以（1，2），（0，2，0）设PB与AC所成角为，则cos 即PB与AC所成角的余弦值为向量法求异面直线所成角的两种方法及一个注意点（1）两种方法：基向量法：利用线性运算坐标法：利用坐标运算（2）一个注意点：注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围对点训练如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SASBSC，且ASBBSCCSA90，则异面直线
6、SM与BN所成角的余弦值为（）ABC D解析：不妨设SASBSC1，以S为坐标原点，SA，SB，SC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Sxyz（图略），则A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），S（0，0，0），则M，N，所以，所以|，|，所以cos，所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为答案：B题型二直线与平面所成的角例如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AC1，CC1，ABC30，D为AB的中点（1）证明：AC1平面B1CD；（2）求直线DC1与平面B1CD所成角的正弦值解析（1）证明：连接BC1交B1C于点E，连接DE，因为四边形BB1C1C是矩形，
7、所以点E是BC1的中点，又点D为AB的中点，所以DE是ABC1的中位线，所以DEAC1因为DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1平面B1CD（2）由AB2，AC1，ABC30，可得ACBC，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则C（0，0，0），B1（0，），D，C1（0，0，），所以，（0，），设直线DC1与平面B1CD所成角为，平面B1CD的法向量为m（x，y，z），则即令z1，得m（，1，1），所以sin |cosm，|利用平面的法向量求线面角的两个注意点（1）求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（钝角时取其补角），取其
8、余角即为所求（2）若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2cos21求出其值不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值即为所求对点训练（2021东北三校模拟）在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为（）ABC D解析：取AC的中点E，连接BE，则BEAC，以B为坐标原点，BE，BB1所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则A，D（0，0，1），B（0，0，0），E，则，平面ABC平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1CAC，BEAC，BE平面ABC，BE平面AA1C1C，为平面A
9、A1C1C的一个法向量设AD与平面AA1C1C所成角为，cos，sin |cos，|答案：A题型三二面角例（2020高考全国卷）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEADABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PODO（1）证明：PA平面PBC；（2）求二面角BPCE的余弦值解析：（1）证明：设DOa，由题设可得POa，AOa，ABACBCa，PAPBPCa因此PA2PB2AB2，从而PAPB又PA2PC2AC2，故PAPC所以PA平面PBC（2）以O为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz由题设可得E（0，1，0），A（0
10、，1，0），C，P所以，设m（x，y，z）是平面PCE的法向量，则即可取m由（1）知是平面PCB的一个法向量记n，则cosn，m所以二面角BPCE的余弦值为利用法向量求二面角时的两个注意点（1）对于某些平面的法向量要注意题中条件隐含着，不用单独求（2）注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行判断，以防结论失误对点训练如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，ACBC，ACBC2，CC13，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD1，CE2，M为棱A1B1的中点（1）求证：C1MB1D；（2）求二面角BB1ED的正弦值；（3）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值解析：
11、依题意，以C为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， 可得C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，3），A1（2，0，3），B1（0，2，3），D（2，0，1），E（0，0，2），M（1，1，3）（1）依题意，（1，1，0），（2，2，2），从而2200，所以C1MB1D；（2）依题意，（2，0，0）是平面BB1E的一个法向量，（0，2，1），（2，0，1）设n（x，y，z）为平面DB1E的法向量，则即不妨设x1，可得n（1，1，2）cosn，sin，n所以，二面角BB1ED的正弦值为；（3）依题意，（2，2，0）由（2）知n（1
12、，1，2）为平面DB1E的一个法向量，于是cos，n所以，直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为向量法中的核心素养数学运算利用空间向量求距离例如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2，求点A到平面MBC的距离解析如图，取CD的中点O，连接OB，OM，因为BCD与MCD均为正三角形，所以OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，平面MCD平面BCDCD，OM平面MCD，所以MO平面BCD以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz因为BCD与MCD都是边长为2的正三角形，所以OBOM，则O（0，0，0），
13、C（1，0，0），M（0，0，），B（0，0），A（0，2），所以（1，0）（0，）设平面MBC的法向量为n（x，y，z），由得即取x，可得平面MBC的一个法向量为n（，1，1）又（0，0，2），所以所求距离为d求解点到平面的距离可直接转化为求向量在平面的法向量上的射影的长如图，设点P在平面外，n为平面的法向量，在平面内任取一点Q，则点P到平面的距离d对点训练如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动（1）证明：D1EA1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到平面ACD1的距离解析：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（图略），设AEx，则D（0，0，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）（1）证明：（1，x，1），（1，0，1），因为0，所以D1EA1D（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而（1，1，1），（1，2，0），（1，0，1），设平面ACD1的法向量为n（a，b，c），则即得从而可取n（2，1，2），所以点E到平面ACD1的距离h
