1、第二十二章 二次函数22.3实际问题与二次函数第2课时1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点）学习目标 导入新课情境引入 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？讲授新课某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.探究交流180006000数量关系（1）销售额=售价销售量;（2）利润=销售额-总成本=单件利润销售量;（
2、3）单件利润=售价-进价.利润问题中的数量关系 例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？涨价销售 每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售 涨价销售 2030020+x300-10 xy=(20+x)(300-10 x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10 x),即：y=-10 x2+100 x+6000.6000如何定价利润最大 自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，
3、销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10 x 0，且x 0,因此自变量的取值范围是0 x 30.涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10 x2+100 x+6000，当 时,y=-1052+1005+6000=6250.10052(10)x 即定价65元时，最大利润是6250元.降价销售 每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售 降价销售 2030020-x300+18xy=(20-x)(300+18x)建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，即：y=-18x2+60 x+6000.例1 某商品现在的售价
4、为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？6000综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x 0，且x 0,因此自变量的取值范围是0 x 20.涨价多少元时，利润最大，是多少？当 时,6052(18)3x 即定价57.5元时，最大利润是6050元.即：y=-18x2+60 x+6000，25518()6060006050.33y 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应
5、该如何定价能使利润最大了吗?例2 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每月利润（元）正常销售涨价销售1018010+x180-10 xy=(10+x)(180-10 x)1800建立函数关系式：y=(10+x)(180-10 x),即：y=-10 x2+80 x+1800.营销规律是价格上涨，销量下降，因
6、此只要考虑销售量就可以，故180-10 x 0，因此自变量的取值范围是x 18.涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10 x2+80 x+1800=-10(x-4)2+1960.当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.自变量x的取值范围如何确定？知识要点 求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润 销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函
7、数的简图，利用简图和性质求出.例3：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.（1）当售价在4050元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？解：由题意得：当40 x50时，Q=60(x30)=60 x1800 y=60 0，Q随x的增大而增大当x最大=50时，Q最大=1200答：此时每月的总利润最多是1200元.（2）当售价在5070元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？解：当50 x7
8、0时，设y与x函数关系式为y=kx+b,线段过(50，60)和(70，20).50k+b=6070k+b=20y=2x+160（50 x70）解得：k=2b=160y=2x+160（50 x70）Q=(x30)y=(x30)(2x+160)=2x2+220 x 4800=2(x55)2+1250(50 x70)a=20，图象开口向下，当x=55时，Q最大=1250当售价在5070元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.解：当40 x50时，Q最大=12001218当50 x70时，Q最大=12501218售价x应在5070元之间.令：2(x55)2+1250=1218解得：x1
9、=51，x2=59当x1=51时，y1=2x+160=251+160=58(件)当x2=59时，y2=2x+160=259+160=42(件)若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？变式：(1)若该商品售价在4070元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？解：Q与x的函数关系式为：60 x1800 （40 x50）2(x55)2+1250（
10、50 x70）Q=由例3可知：若40 x50，则当x=50时，Q最大=1200若50 x70，则当x=55时，Q最大=125012001250售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.（2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围；解：当40 x50时，Q最大=12001218，此情况不存在.60 x1800 （40 x50）2(x55)2+1250（50 x70）Q=当50 x70时，Q最大=12501218，令Q=1218，得2(x55)2+1250=1218解得：x1=51，x2=59由Q=2(x55)2+1250的图象和性质可知:当51x59时
11、，Q1218若该商品所获利润不低于1218元，则售价x的取值范围为51x59.xQ055121859511250（3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？解：由题意得：51x5930(2 x+160)1620解得：51x53Q=2(x55)2+1250的顶点不在51x53范围内，又a=20，当51x53时，Q随x的增大而增大当x最大=53时，Q最大=1242此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.xQ055124253511.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 x
12、30)出售，可卖出（30020 x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元.25当堂练习2.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）.y=2000-5(x-100)w=2000-5(x-100)(x-80)3.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这
13、一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？w=12+2(x1)804(x1)=(10+2x)(844x)=8x2+128x+840=8(x8)2+1352.解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352.xy516O74.某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？解：(1)由题中条件可求y=-x2+20 x-75-10,对称轴x=10,当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元；（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？(2)由对称性知y=16时，x=7和13.故销售单价在7 x 13时，利润不低于16元.课堂小结最 大利 润问 题 建立函数关 系 式 总利润=单件利润销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取 值 范 围 涨价:要保证销售量0；降件：要保证单件利润0.确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
