1、高中总复习二轮文数 专题四 数 列 第1讲 等差数列与等比数列 高中总复习二轮文数 热点突破高考导航备选例题高中总复习二轮文数 高考导航 演真题明备考 高考体验 1.(2015全国卷,文7)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10等于()B(A)172(B)192(C)10(D)12 解析:设等差数列an的首项为 a1,公差为 d.由题设知 d=1,S8=4S4,所以 8a1+28=4(4a1+6),解得 a1=12,所以 a10=12+9=192,选 B.高中总复习二轮文数 2(2014全国卷,文5)等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则
2、an的前n项和Sn等于()A(A)n(n+1)(B)n(n-1)(C)12n n (D)12n n 解析:因为 a2,a4,a8成等比数列,所以24a=a2a8,所以(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得 a1=2.所以 Sn=na1+12n n d=n(n+1).故选 A.高中总复习二轮文数 3.(2013全国卷,文6)设首项为1,公比为 的等比数列an的前n项和为Sn,则()(A)Sn=2an-1(B)Sn=3an-2(C)Sn=4-3an(D)Sn=3-2an D 23解析:由等比数列前 n 项和公式 Sn=11naa qq知 Sn=213213na=3-2an.故选 D.高中
3、总复习二轮文数 4.(2015全国卷,文13)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n=.解析:因为在数列an中,a1=2,an+1=2an,所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列,因为Sn=126,所以 =126,解得2n+1=128,所以n=6.答案:6 12212n高中总复习二轮文数 5.(2016全国卷,文17)已知各项都为正数的数列an满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求an的通项公式.2na解:(1)由题意得 a2=12,a3=14.(2)由2na-(2an+1-1)an-2an+1=0
4、,得 2an+1(an+1)=an(an+1),因为an的各项都为正数,所以1nnaa=12.故an是首项为 1,公比为 12的等比数列,因此 an=112n.高中总复习二轮文数 高考感悟 1.考查角度(1)等差、等比数列的性质.(2)等差、等比数列的基本量运算.(3)等差、等比数列的证明.2.题型及难易度 客观题或一客观题一解答题;难度中档偏下.高中总复习二轮文数 热点突破 剖典例促迁移 等差、等比数列的基本运算 热点一【例1】(1)(2016吉林白山二模)在等差数列an中,a6=9,a3=3a2,则a1等于()(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2 解析:(1)因为a1+5d=9,a1
5、+2d=3(a1+d),所以a1=-1.选C.高中总复习二轮文数(2)(2016青岛一模)等比数列an中,a3=6,前三项和S3=18,则公比q的值为()(A)1 (B)-12(C)1 或-12(D)-1 或-12 解析:(2)因为 S3=18,a3=6,所以 a1+a2=32aq(1+q)=12,即 2q2-q-1=0,解得 q=1 或 q=-12.故选 C.高中总复习二轮文数(3)(2016山西太原一模)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于()(A)80 (B)30(C)26 (D)16 解析:(3)因为 Sn=2,S3n=14,且 an0,所
6、以 q1,所以1 11naqq=2,31 11naqq=14,解得 qn=2,11aq=-2,所以 S4n=11aq(1-q4n)=-2(1-16)=30.故选 B.高中总复习二轮文数【方法技巧】等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1,d(或q),n,an与Sn这五个量,如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.其中a1和d(或q)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组,通过解方程组求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现.但需注意等差数列中公差d=0的情况和等比数列中公比q=1的情况.高中总复习二轮文数
7、热点训练1:(1)(2016广东茂名二模)设数列an是等差数列,Sn为其前n项和,若S6=8S3,a3-a5=8,则a20等于()(A)4 (B)36 (C)-74 (D)80 解析:(1)因为 S6=8S3,a3-a5=8,所以11116532683,22248,adadadad 解得 a1=2,d=-4,所以 a20=a1+19d=2-419=-74.故选 C.高中总复习二轮文数(2)(2016内蒙古自治区呼和浩特二模)已知正项等比数列an的前 n 项和为Sn,a2+a3=6a1,则63SS 等于()(A)5 (B)6 (C)8 (D)9 解析:(2)因为 a2+a3=6a1,所以 a1(
8、q+q2)=6a1,所以 q2+q-6=0,所以 q=2.(q=-3 舍去)所以63SS=613112121212aa=637=9.故选 D.高中总复习二轮文数 等差(比)数列的性质 热点二 考向1 与等差(比)数列的项有关的性质【例2】(1)(2016广东佛山二模)设an是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13等于()(A)120 (B)105(C)90 (D)75 解析:(1)因为an是公差为正数的等差数列,a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,所以a2=5,所以a1a3=(5-d)(5+d)=16,所以d=3,a12=a2+10
9、d=35,所以a11+a12+a13=105,故选B.高中总复习二轮文数 解析:(2)由等比数列的性质可知 a4=a3a5=24a.因为 a40,所以 a4=1.因为 a1=8,所以 a1a7=24a=1,所以 a7=18.故选 B.(2)(2016云南红河州一模)在等比数列an中,a1=8,a4=a3a5,则a7等于()高中总复习二轮文数 考向2 等差(比)数列和的有关性质【例 3】(1)(2016江西南昌二模)等差数列an的公差 d0 且21a=213a,则数列an的前 n 项和 Sn有最大值,当 Sn取得最大值时的项数 n 是()(A)6 (B)7 (C)5 或 6 (D)6 或 7 解
10、析:(1)等差数列an中,公差 d0,即 a1+a13=0,又 a1+a13=2a7=0,所以数列an的前 6 或 7 项和最大.故选 D.答案:(1)D 高中总复习二轮文数(2)(2016贵州省习水县一中模拟)已知等比数列前n项和为Sn,若S2=4,S4=16,则S6=.解析:(2)由等比数列前n项和的性质知S2,S4-S2,S6-S4,也成等比数列,所以4,12,S6-16成等比数列,故4(S6-16)=122=144,解得S6=52.答案:(2)52 高中总复习二轮文数(2)熟练运用等差、等比数列的性质,如m+n=p+q时,若an为等差数列,则am+an=ap+aq;若an为等比数列,则
11、有aman=apaq,可减少运算过程,提高解题正确率.(3)灵活利用等差、等比数列和的性质,等差(比)数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,也是等差(比)数列.【方法技巧】等差、等比数列性质应用问题求解策略(1)等差数列an的前 n 项和 Sn=12nn aa=n12na (n 为奇数)是常用的转化方法.高中总复习二轮文数 热点训练2:(1)(2016湖南怀化二模)已知等差数列an中,前四项的和为60,最后四项的和为260,且Sn=520,则a7为()(A)20(B)40(C)60(D)80 解析:(1)由题意及等差数列的性质可得4(a1+an)=60+260=320,所
12、以a1+an=80.因为前n项和Sn=520=40n,解得n=13,a1+a13=80,又由等差数列的性质可得 2a7=a1+a13=80解得a7=40,故选B.答案:(1)B 12nn aa高中总复习二轮文数(2)(2016江苏南通一模)设等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=.解析:(2)等比数列an的前n项和为Sn.S2=3,S4=15,所以S2,S4-S2,S6-S4也成等比数列,(S4-S2)2=S2(S6-S4),即122=3(S6-15),解得S6=63.答案:(2)63 高中总复习二轮文数 等差、等比数列的综合问题 热点三【例4】(2016湖南株洲模拟)
13、已知f(x)=logax(a0且a1),f(a1),f(a2),f(an)(nN*)是首项为4,公差为2的等差数列.(1)设a为常数,求证:an是等比数列;(1)证明:由题意知 f(an)=4+(n-1)2=2n+2,即 logaan=2n+2,可得 an=a2n+2.所以1nnaa=22212nnaa=222nnaa=a20(n2,nN*)为定值.所以an为以 a2为公比的等比数列.高中总复习二轮文数(2)若bn=anf(an),bn的前n项和是Sn,当a=时,求Sn.(2)解:bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.当 a=2 时,bn=(2n+2)(2
14、)2n+2=(n+1)2n+2.Sn=223+324+425+(n+1)2n+2,2Sn=224+325+426+n2n+2+(n+1)2n+3,-,得-Sn=223+24+25+2n+2-(n+1)2n+3=16+412 1212n-(n+1)2n+3=16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3.所以 Sn=n2n+3.2高中总复习二轮文数【方法技巧】(1)关于等差、等比数列的综合问题大多为两者运算的综合题以及相互之间的转化,关键是求出两个数列的基本量:首项和公差(或公比),灵活运用性质转化条件,简化运算,准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键.(2)求数列中的最大项,可以利用
15、图象或者数列的单调性求解,同时注意数列的单调性与函数单调性的区别.高中总复习二轮文数 热点训练3:(2016湖南衡阳联考)已知四个数1,x1,x2,2成等差数列,四个数1,y1,y2,2成等比数列,则点P1(x1,y1),P2(x2,y2)与直线y=x的位置关系是()(A)P1(x1,y1),P2(x2,y2)都在直线y=x的下方(B)P1(x1,y1)在直线y=x的下方,P2(x2,y2)在直线y=x的上方(C)P1(x1,y1)在直线y=x的上方,P2(x2,y2)在直线y=x的下方(D)P1(x1,y1),P2(x2,y2)都在直线y=x的上方 解析:由四个数 1,x1,x2,2 成等差
16、数列可得 x1=43,x2=53,由四个数1,y1,y2,2 成等比数列得 y1=132,y2=232,所以 P1134,23,P2235,23,因为 y1x1,y2x2,所以 P1(x1,y1),P2(x2,y2)都在直线 y=x 的下方.故选 A.高中总复习二轮文数 备选例题 挖内涵寻思路【例 1】(2016江西南昌一模)若等比数列的各项均为正数,前 4 项的和为 9,积为 814,则前 4 项倒数的和为()(A)32(B)94(C)1 (D)2 高中总复习二轮文数 解析:因为等比数列的各项均为正数,前 4 项的和为 9,积为 814,所以设此等比数列的首项为 a1,公比为 q,前 4 项
17、之和为 S,前 4 项之积为 P,前 4 项倒数之和为 M,若 q=1,则14149,81,4aa无解;若 q1,则 S=41 11aqq,M=4111111aqq=44311qa qq,P=41a q6,所以4SM=(21a q3)4=81a q12,P2=81a q12,所以 P2=4SM.因为 S=9,P=814,所以前 4 项倒数的和 M=SP=9814=2.故选 D.高中总复习二轮文数【例 2】(2016吉林长春二模)已知数列an中,对任意的 nN*若满足 an+an+1+an+2+an+3=s(s 为常数),则称该数列为 4 阶等和数列,其中 s 为 4 阶公和;若满足 anan+
18、1an+2=t(t 为常数),则称该数列为 3 阶等积数列,其中 t 为 3 阶公积.已知数列pn为首项为 1 的 4 阶等和数列,且满足43pp=32pp=21pp=2;数列qn为公积为 1 的 3 阶等积数列,且 q1=q2=-1,设 Sn为数列pnqn的前 n 项和,则 S2 016=.解析:由题意可知,p1=1,p2=2,p3=4,p4=8,p5=1,p6=2,p7=4,p8=8,p9=1,p10=2,p11=4,p12=8,p13=1,q1=-1,q2=-1,q3=1,q4=-1,q5=-1,q6=1,q7=-1,q8=-1,q9=1,q10=-1,q11=-1,q12=1,q13=-1,由此可知对于数列pnqn,每12项的和循环一次,易求出p1q1+p2q2+p12q12=-15,因此S2 016中有168组循环结构,故S2 016=-15168=-2 520.答案:-2 520 高中总复习二轮文数 点击进入 限时训练
