1、高中总复习二轮文数 第3讲 圆锥曲线的综合问题 高中总复习二轮文数 热点突破高考导航备选例题高中总复习二轮文数 高考导航 演真题明备考 高考体验 1.(2012新课标全国卷,文20)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若BFD=90,ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;解:(1)由已知可得BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆 F 的半径|FA|=2 p,又点 A 到 l 的距离 d=|FA|=2 p,而 SABD=42,所以 12|BD|d=42.即 122p2 p=42,所以 p=-2(舍去)
2、或 p=2,所以圆 F 的方程为 x2+(y-1)2=8.高中总复习二轮文数(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解:(2)因为 A,B,F 三点在同一直线 m 上,所以 AB 为圆 F 的直径,ADB=90.又由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|,所以ABD=30,m 的斜率为-33 或33,当 m 的斜率为33 时,可设 n 方程为 y=33 x+b.代入 x2=2py得 x2-2 33px-2pb=0,由于 n 与 C 只有一个公共点,故=43p2+8pb=0,所以 b=-6p,又因为 m 的截距 b1=2p
3、,1bb=3,所以坐标原点到 m,n 的距离的比值为 3.当 m 的斜率为-33 时,由图形对称性知,坐标原点到 m,n 的距离之比仍为 3.综上,坐标原点到 m,n 距离的比值为 3.高中总复习二轮文数(1)解:由222222,2421,caababc解得 a2=8,b2=4,故椭圆 C 的方程为28x+24y=1.2.(2015全国卷,文 20)已知椭圆 C:22xa+22yb=1(ab0)的离心率为22,点(2,2)在 C 上.(1)求 C 的方程;高中总复习二轮文数(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘
4、积为定值.(2)证明:由题设直线 l:y=kx+m(k0,m0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立22,280,ykxmxy得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,x1+x2=-2412kmk,x1x2=222812mk,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2212mk,得 AB 中点M(-2212kmk,212mk),则直线 OM 与直线 l 斜率乘积为2212212mkkmk k=-2mkmk=-12,即定值.高中总复习二轮文数(1)解:由题意得 a=2,b=1.所以椭圆 C 的方程为24x+y2=1.又 c=22ab=3,所以离心率 e=ca=32.【教师备用】(2016
5、北京卷,文 19)已知椭圆 C:22xa+22yb=1 过点 A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆 C 的方程及离心率;高中总复习二轮文数(2)证明:设 P(x0,y0)(x00,y0b0)的右焦点 F2到直线 xa+yb=1 的距离d=217,且 a=2c.(1)求椭圆 C 的方程;高中总复习二轮文数 解:(2)如图,设ABF1内切圆的半径为 r,与直线 l 的切点为 D,则1ABFS=12(|AB|+|AF1|+|BF1|)r=12(|AF2|+|AF1|+|BF2|+|BF1|)r=2ar=4r,当1ABFS最大时,r 也最大,ABF1内切圆的面积也最大.设 A(x1,y1),B
6、(x2,y2)(y10,y20,所以 f(t)在1,+)上单调递增,故 f(t)f(1)=4,所以1ABFS 124=3.即当 t=1 时,m=0 时,4r 有最大值 3,得 rmax=34,于是所求内切圆的面积为 916,所以存在直线 l:x=1,使得1ABFS的内切圆的面积达到最大值,且最大值为 916.高中总复习二轮文数 定点与定值问题 热点二 考向1 定点问题【例2】(2016广东汕尾调研)抛物线C关于y轴对称,它的顶点在坐标原点,已知该抛物线与直线y=x-1相切,切点的横坐标为2.(1)求抛物线C的方程;解:(1)因为抛物线 C关于 y 轴对称,设抛物线方程为 y=ax2+c,所以
7、y=2ax,又该抛物线与直线 y=x-1 相切,切点的横坐标为 2,所以 4a=1,a=14.所以切点为(2,1),所以 1=144+c,所以 c=0,故抛物线 C 的方程为 x2=4y.高中总复习二轮文数 解:(2)C 的焦点为(0,1),因为抛物线开口向上,与直线 l 交抛物线 C 于 M(x1,y1),N(x2,y2)两点,且 x1x2,y1y2,故 l 的斜率一定存在,且不为 0,设直线 l 为 y=kx+1(k0),因为 M 与 P 关于 y 轴对称,所以 P(-x1,y1),联立方程24,1,xyykx 消 y 得 x2-4kx-4=0,所以12124,4,xxkx x 则直线 P
8、N:121yyyy=121xxxx,由 y1=214x,y2=224x 得直线 PN 的方程 4y=(x2-x1)x-4,过(0,-1),故恒过定点(0,-1).(2)过抛物线C的焦点作直线l交抛物线C于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,且x1b0)的离心率 e=33,直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等.(1)求椭圆 E 的方程;(1)解:设椭圆半焦距为 c,圆心 O 到 l 的距离 d=61 1=3,则 l 被圆 O 截得的弦长为 22,所以 b=2.由题意得2223,3,caabc 又 b=2,所以 a2=3,b2=2.所以椭圆 E 的方程为23y+22x=1.高中总复
9、习二轮文数(2)过圆 O 上任意一点 P(x0,y0)(x02,y03)作两条直线与椭圆 E 分别只有唯一一个公共点,求证:这两直线斜率之积为定值.(2)证明:设过 P(x0,y0)的椭圆 E 的切线 l0的方程为 y-y0=k(x-x0),整理得y=kx+y0-kx0,联立直线 l0与椭圆 E 的方程得0022,1,32ykxykxyx消去 y 得2kx+(y0-kx0)2+3x2-6=0,整理得(3+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0)2-6=0,所以=4k(y0-kx0)2-4(3+2k2)2(kx0-y0)2-6=0,整理得(2-20 x)k2+2x0y0k-(20
10、y-3)=0,设满足题意的与椭圆 E 分别只有唯一的公共点的直线的斜率分别为 k1,k2,则k1k2=-202032yx.因为点 P 在圆 O 上,所以20 x+20y=5,所以 k1k2=-2020532xx=-1.所以两条切线斜率之积为-1.高中总复习二轮文数【方法技巧】(1)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m).(2)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思想是使用参数表示要解决的问题,证明要解决的问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键的.
11、高中总复习二轮文数 热点训练 2:(2016湖北荆门调考)已知抛物线 C:x2=2py 的焦点与椭圆24y+23x=1 的上焦点重合,点 A 是直线 x-2y-8=0 上任意一点,过 A 作抛物线 C 的两条切线,切点分别为M,N.(1)求抛物线 C 的方程;解:(1)由于椭圆24y+23x=1 的上焦点为 F(0,1),所以 2p=1,得 p=2,所以抛物线 C 的方程为 x2=4y.高中总复习二轮文数(2)证明直线MN过定点,并求出定点坐标.解:(2)设 A(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),由 y=14x2y=12x.所以直线 AM 的方程为 y-y1=12x1(x-x1
12、),即 y=12x1x-1221x+y1.又 M 在抛物线 C 上,所以21x=4y1,所以直线 AM 的方程为 y=12x1x-y1,同理可得直线 AN 的方程为 y=12x2x-y2.由于直线 AM 和直线 AN 交于 A 点,所以y0=12x1x0-y1,y0=12x2x0-y2,即 M,N 均在直线 y0=12xx0-y 上,所以直线 MN 的方程为 y0=12xx0-y.又 A 在直线 x-2y-8=0 上,所以 x0-2y0-8=0,代入直线 MN 的方程并整理得直线 MN 的方程为 x0(x-1)-2(y-4)=0,从而直线 MN 过定点(1,4).高中总复习二轮文数 探索性问题
13、 热点三 解:(1)因为圆 x2+y2=a2被直线 x-y-2=0 截得的弦长为 2,所以222+1=a2,所以 a=2,由椭圆 C 的离心率为 ca=22,得2c=22,即 c=1,所以 b2=a2-c2=1,所以椭圆 C 的标准方程为22x+y2=1.【例 4】(2016陕西汉中质检)已知椭圆 C:22xa+22yb=1(ab0)的离心率为22,左、右焦点分别为 F1,F2;若圆 x2+y2=a2被直线 x-y-2=0 截得的弦长为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程;高中总复习二轮文数(2)设过右焦点F2 的直线l 与椭圆C交于A,B两点,是否存在过右焦点F2 的直线l,使得以AB为直径的
14、圆过左焦点F1,如果存在,求直线l的方程;如果不存在,说明理由.解:(2)假设存在满足题意的直线l.当直线l与y轴垂直时,不合题意;可设 l 的方程为 x=my+1,由 221,21,xyxmy 消 x 得(m2+2)y2+2my-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=222mm,y1y2=212m,因为以 AB 为直径的圆过左焦点 F1,F1(-1,0),所以1F A 1F B=0,即(x1+1,y1)(x2+1,y2)=0,得 x1x2+(x1+x2)+y1y2+1=0,而 x1x2=(my1+1)(my2+1)=22222mm,x1+x2=my1+1+my2+1=
15、242m.所以22222mm+242m+212m+1=0,解得 m=7,所以存在直线 l,l 的方程为 x+7 y-1=0 或 x-7 y-1=0.高中总复习二轮文数【方法技巧】有关圆锥曲线中探索性或存在性问题,一般是先假设存在满足题意的几何量,经过推理论证,如果得到可以成立的结果,就可以作出存在的结论;若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的情况,则说明假设不存在.高中总复习二轮文数 解:(1)由题意知 c=1,由椭圆定义得 2a=2221 12 +22,即 a=2,所以 b2=2-1=1,所以椭圆 C 方程为22x+y2=1.热点训练 3:(2016湖北优质高中联考)已知椭圆 C:
16、22xa+22yb=1(ab0)的右焦点为F(1,0),且（-1,22）在椭圆 C 上.(1)求椭圆的标准方程;高中总复习二轮文数 解:(2)假设在 x 轴上存在点 Q(m,0),使得QA QB=-716恒成立.当直线 l 的斜率不存在时,A（1,22）,B（1,-22）,由于（1-m,22）（1-m,-22）=-716,所以 m=54或 m=34.(2)已知动直线 l 过点 F,且与椭圆 C 交于 A,B 两点,试问 x 轴上是否存在定点 Q,使得 QA QB=-716 恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.高中总复习二轮文数 下面证明当 m=54时,QA QB=-716
17、恒成立.当直线 l 的斜率为 0 时,A(2,0),B(-2,0),则（2-54,0）（-2-54,0）=-716,符合题意.当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 l 的方程为 x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由 x=ty+1 及22x+y2=1 得(t2+2)y2+2ty-1=0 有0,所以 y1+y2=-222tt,y1y2=-212t.因为 x1=ty1+1,x2=ty2+1,所以（x1-54,y1）（x2-54,y2）=（ty1-14）（ty2-14）+y1y2=(t2+1)y1y2-14t(y1+y2)+116=-(t2+1)212t+14t222tt+116=2
18、222222ttt+116=-716,综上所述,在 x 轴上存在点 Q（54,0）使得 QA QB=-716恒成立.高中总复习二轮文数 最值与范围问题 热点四 解:(1)因为 2a=252499+12499=4,所以 b=22ac=3,所以椭圆的方程为24x+23y=1.【例 5】(2016湖南益阳调研)设椭圆 C:22xa+22yb=1(ab0)经过点（23,2 63）,且其左焦点坐标为(-1,0).(1)求椭圆的方程;高中总复习二轮文数(2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线l1,l2,其中l1交椭圆于M,N,l2交椭圆于P,Q,求|MN|+|PQ|的最小值.解:(2)当直线 l1,l2中
19、有一条直线的斜率不存在时,|MN|+|PQ|=7,当直线 l1的斜率存在且不为 0 时,设直线 l1的方程为 y=k(x-1),设 M(x1,y1),N(x2,y2),由221,1,43yk xxy得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,所以 x1+x2=22834kk,x1x2=2241234kk,|MN|=22121kxx=21k 212124xxx x=2212 134kk,设直线 l2的方程为y=-1k(x-1),同理得|PQ|=2212 143kk,所以|MN|+|PQ|=22228414334kkk,设 t=k2+1,则 t1,所以|MN|+|PQ|=2841112tt,
20、因为 t1,所以1t=12时,|MN|+|PQ|有最小值 4877.综上,|MN|+|PQ|的最小值是 487.高中总复习二轮文数【方法技巧】解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系,首先需要根据已知条件进行转化,利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系;然后构造目标函数,把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解,解题时应注意挖掘题目中的隐含条件,寻找量与量之间的转化.高中总复习二轮文数 备选例题 挖内涵寻思路【例题】(2016陕西质检)设O是坐标原点,椭圆C:x2+3y2=6的左、右焦点分别为F1,F2,且P,Q是椭圆C上不同的两点.(1)若直线P
21、Q过椭圆C的右焦点F2,且倾斜角为30,求证:|F1P|,|PQ|,|QF1|成等差数列;高中总复习二轮文数(1)证明:设 P,Q 两点的坐标分别为 P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意可知 a=6,F2(2,0).直线 PQ 的方程为 y=33(x-2),由方程组2232,336yxxy可得 x2-2x-1=0.则有 x1+x2=2,x1x2=-1.所以|PQ|=313|x1-x2|=2 33 212124xxx x=4 63.又|F1P|+|PQ|+|QF1|=|F1P|+|PF2|+|F2Q|+|QF1|=4a=46,所以|F1P|+|QF1|=8 63=2|PQ|.所以|F1P|
22、,|PQ|,|QF1|成等差数列.高中总复习二轮文数(2)若P,Q两点使得直线OP,PQ,QO的斜率均存在,且成等比数列,求直线PQ的斜率.(2)解:由题意,设 PQ:y=mx+n(n0),P(x1,y1),Q(x2,y2),联立方程组22,36.ymxnxy 可得方程(3m2+1)x2+6mnx+3n2-6=0,则有 x1+x2=-2631mnm,x1x2=223631nm.由直线 OP,PQ,QO 的斜率成等比数列得11yx 22yx=m2.即 y1y2=m2x1x2.所以 y1y2=(mx1+n)(mx2+n)=m2x1x2+mn(x1+x2)+n2.所以 mn(x1+x2)+n2=0,所以2221 331nmm=0.因为 n0,所以 m=33.即直线 PQ 的斜率为33.高中总复习二轮文数 点击进入 限时训练
