1、第三节函数的奇偶性及周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做偶函数关于_对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做奇函数关于_对称f(x)f(x)f(x)f(x)y 轴原点2.函数的周期性(1)周期函数对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个_，那么这个_就叫做 f(x)的最小正周期f(xT)f(x)最小的正数最小的
2、正数小题体验1(教材习题改编)函数 f(x)mx2(2m1)x1 是偶函数，则实数 m_.解析：由 f(x)f(x)，得 2m10，即 m12.答案：122(教材习题改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当x0 时，f(x)x3x1，则当 x0 时，f(x)_.解析：若 x0，f(x)x3x1，由于 f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x)，所以 f(x)x3x1.答案：x3x13若函数 f(x)是周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)1，f(2)2，则 f(8)f(14)_.答案：11判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必
3、要条件2判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均有 f(x)f(x)或 f(x)f(x)，而不能说存在 x 使f(x)f(x)或 f(x)f(x)3分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性小题纠偏1已知 f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，那么a b_.解析：f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a13.又 f(x)f(x)，b0，ab13.答案：132设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1,1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x0，x2x，x0 时，f(x)
4、x2x，则当 x0，故 f(x)x2xf(x)；当 x0 时，x0)越变越明变式 1 若母题中条件变为“f(x2)1fx”，求函数 f(x)的最小正周期解：对任意 xR，都有 f(x2)1fx，f(x4)f(x22)1fx21 1fxf(x)，f(x)的最小正周期为 4.变式 2 若母题条件改为：定义在 R 上的函数 f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1 时，f(x)(x2)2；当1x3 时，f(x)x.求 f(1)f(2)f(3)f(2 015)的值解：f(x6)f(x)，T6.当3x1 时，f(x)(x2)2；当1x0 时，f(x)x2x1，则当 x0 时，f(x)_.解析：f(x)是
5、定义在 R 上的偶函数，当 x0.由已知 f(x)(x)2(x)1x2x1f(x)，f(x)x2x1.答案：x2x12设函数 f(x)x1xax为奇函数，则 a_.解析：f(x)x1xax为奇函数，f(1)f(1)0，即111a1111a10，a1.答案：1角度二：单调性与奇偶性结合3(2016刑台摸底考试)已知定义在(1,1)上的奇函数 f(x)，其导函数为 f(x)1cos x，如果 f(1a)f(1a2)0，则 f(x)是定义在(1,1)上的奇函数、增函数不等式 f(1a)f(1a2)0 等价于 f(1a2)f(1a)f(a1)，则11a2a11，由此解得 1a1，f(2 016)a3a
6、3，则 a 的取值范围是_解析：因为 f(x)的周期为 5，所以 f(2 016)f(1)，又因为 f(x)是奇函数，所以 f(1)f(1)，即 f(2 016)f(1)1，所以a3a31，解得 0a3.答案：(0,3)方法归纳函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解结 束 “课后三维演练”见“课时跟踪检测(六)”(单击进入电子文档)
