1、第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例最新考纲1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题1两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫作向量a与b的夹角(2)范围：0AOB180.(3)向量垂直：AOB90时，a与b垂直，记作ab.规定：零向量可与任一向量垂直2平面向量的数量积(1)射影的定义设是a与b
2、的夹角，则|b|cos 叫作向量b在a方向上的射影，|a|cos 叫作向量a在b方向上的射影(2)平面向量数量积的定义已知两个向量a和b，它们的夹角为，把|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab.(3)数量积的几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos 的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos 的乘积3平面向量数量积的运算律(1)交换律：abba；(2)数乘结合律：(a)b(ab)a(b)；(3)分配律：a(bc)abac.4平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b结论几何表示坐标表示模|a
3、|a|数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2夹角cos cos abab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|1平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2.2两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量 ()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()答案(1)(2)
4、(3)(4)二、教材改编1已知ab12，|a|4，a和b的夹角为135，则|b|为()A12B6C3D3Bab|a|b|cos 13512，所以|b|6.2已知|a|5，|b|4，a与b 的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_2由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.3已知|a|2，|b|6，ab6，则a与b的夹角_.cos .又因为0，所以.4已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m_.8a(1，m)，b(3，2)，ab(4，m2)，由(ab)b可得(ab)b122m4162m0，即m8.考点1平面向量数量积的运算平面向量数量积的三种运算
5、方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解 (1)(2019全国卷)已知(2,3)，(3，t)，|1，则()A3B2C2D3(2)一题多解(2019天津高考)在四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，A30，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则_.(1)C(2)1(1)(1，t3)，|1，t3，(2,3)(1,0)2.(2)法一：BAD30，ADBC，ABE30，又EAEB，EAB30，在EAB中，AB2，EAE
6、B2.以A为坐标原点，直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系则A(0,0)，D(5,0)，E(1，)，B(3，)，(2，)，(1，)，(2，)(1，)1.法二：同法一，求出EBEA2，以，为一组基底，则，()225212251.逆向问题已知菱形ABCD的边长为6，ABD30，点E，F分别在边BC，DC上，BC2BE，CDCF.若9，则的值为()A2B3C4D5B依题意得，因此22，于是有6262cos 609，由此解得3，故选B.解决涉及几何图形的向量的数量积运算常有两种思路：一是定义法，二是坐标法，定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平
7、面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系1.(2019昆明模拟)在ABCD中，|8，|6，N为DC的中点，2，则_.24法一：(定义法)()()22826224.法二：(特例图形)：若ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，则N(4,6)，M(8,4)所以(8,4)，(4，2)所以(8,4)(4，2)32824.2在ABC中，AB4，BC6，ABC，D是AC的中点，E在BC上，且AEBD，则()A16B12 C8D4A建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)设E(0，b)，因为AEBD，所以0，即(4，b)(2,3)0，所以b，所
8、以E，所以16，故选A.考点2平面向量数量积的应用平面向量的模求向量模的方法利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2aa|a|2或|a|；(2)|ab|；(3)若a(x，y)，则|a|. (1)一题多解(2019全国卷)已知向量a(2,3)，b(3,2)，则|ab|()A.B2 C5D50(2)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|，|b|2，在ABC中，2a2b，2a6b，D为BC中点，则|等于()A2B4C6D8(3)已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_(1)A(2)A(3)5(1)法一：a(2
9、,3)，b(3,2)，ab(1,1)，|ab|，故选A.法二：a(2,3)，b(3,2)，|a|213，|b|213，ab12，则|ab|.故选A.(2)因为()(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22bab2)44，则|2. (3)建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则3(2，y)3(1，by)(5,3b4y)所以|3|(0yb)当yb时，|3|min5.在求解与向量的模有关的问题时，往往会涉及“平方”技巧，注意对结论(ab)2|a|2|b|22ab，(abc)2|a|2|b|2|c|22(abbcac)的灵活运用另外
10、，向量作为工具性的知识，具备代数和几何两种特征，求解此类问题时可以使用数形结合的思想，从而加快解题速度平面向量的夹角求向量夹角问题的方法(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出ab及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos 求得(2)坐标法：若已知a(x1，y1)与b(x2，y2)，则cosa，b，a，b0，(3)解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解 (1)(2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A.B.C.D.(2)(2019全国卷)已知a，b为单位向量，且ab0，若c2ab，则cosa，c_.(1)
11、B(2)(1)法一：因为(ab)b，所以(ab)bab|b|20，又因为|a|2|b|，所以2|b|2cosa，b|b|20，即cosa，b，又知a，b0，所以a，b，故选B.法二：如图，令a，b，则ab，因为(ab)b，所以OBA90，又|a|2|b|，所以AOB，即a，b.故选B.(2)法一：|a|b|1，ab0，aca(2ab)2a2ab2，|c|2ab|3.cosa，c.法二：不妨设a(1,0)，b(0,1)，则c2(1,0)(0,1)(2，)，cosa，c.逆向问题若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_因为2a3b与c的夹角为
12、钝角，所以(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，所以4k660，所以k3.若2a3b与c反向共线，则6，解得k，此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是. (1)研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或180；求角时，注意向量夹角的取值范围是0，180(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角如本例的逆向问题两向量垂直问题abab0x1x2y1y20.已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_因为，所以0.又，所以()()0，即(1)220，所以
13、(1)|cos 120940.所以(1)32940.解得.1.利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可2已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数1.(2019南宁模拟)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|1，|b|，则a2b与b的夹角是()A.B. C.D.A因为|a 2b|2|a|24|b|24ab1141cos 3，所以|a2b|.又(a2b)bab2|b|21cos 2，所以cosa2b，b，所以a2b与b的夹
14、角为.故选A.2(2019青岛模拟)已知向量|3，|2，mn，若与的夹角为60，且，则实数的值为()A.B. C6D4A因为向量|3，|2，mn，与夹角为60，所以32cos 603，所以()(mn)(mn)m|2n|23(mn)9m4n6mn0，所以，故选A.3设向量a，b满足|a|2，|b|ab|3，则|a2b|_.4因为|a|2，|b|ab|3，所以(ab)2|a|22ab|b|2492ab9，所以ab2，所以|a2b|4.考点3平面向量的应用平面向量是有“数”与“形”的双重身份，沟通了代数与几何的关系，所以平面向量的应用非常广泛，主要体现在平面向量与平面几何、函数、不等式、三角函数、解
15、析几何等方面，解决此类问题的关键是将其转化为向量的数量积、模、夹角等问题，进而利用向量方法求解 (1)在ABC中，已知向量(2,2)，|2，4，则ABC的面积为()A4B5 C2D3(2)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2BCD1(1)C(2)B(1)(2,2)，|2，|cos A22cos A4，cos A，又A(0，)，sin A，SABC|sin A2，故选C.(2)建立坐标系如图所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(1,0)，C(1,0)设P点的坐标为(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，()(x，y)(2x，2
16、y)2(x2y2y)22.当且仅当x0，y时，()取得最小值，最小值为.故选B.用向量法解决平面(解析)几何问题的两种方法(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知，模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法1.平行四边形ABCD中，AB4，AD2，4，点P在边CD上，则的取值范围是()A1,8B1，)C0,8D1,0A由题意得|cosBAD4，解得BAD.以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(4,0)，C(5，)，D(1，)，因为点P在边CD上，所以不妨设点P的坐标为(a，)(1a5)，则(a，)(4a，)a24a3(a2)21，则当a2时，取得最小值1；当a5时，取得最大值8，故选A.2已知向量a，b满足|a|b|ab2且(ac)(bc)0，则|2bc|的最大值为_1|a|b|ab2，cosa，b，a，b60.设a(2,0)，b(1，)，c，(ac)(bc)0，点C在以AB为直径的圆M上，其中M，半径r1.延长OB到D，使得2b(图略)，则D(2,2)2bc，|2bc|的最大值为CD的最大值DM，CD的最大值为DMr1.
