1、高考总复习第（1）轮理科数学第七单元不等式与推理证明第43讲 不等关系与不等式的性质1了解不等式的概念，理解不等式的性质2会比较两个代数式的大小3会利用不等式的性质解决有关问题1不等式的定义用不等号“、0；ab0，b0，则ab1；ab1；abbababab；传递性：ab，bc ；可加性：ab；不等式加法：ab，cd；可乘性：ab，c0；cb0，cd0；不等式乘方：ab0(nN，n1)；不等式开方：ab0(nN，n1).bcacbc acbdacbcacbd1倒数性质(1)ab，ab01a1b；(2)a0b1ab0，m0，则(1)真分数性质：babmam(bm0)；(2)假分数性质：abambm
2、；ab0)1某地规定本地最低生活保障金不低于 300 元，若最低保障金用 W 表示，则上述关系可以表示为()AW300BW300CWg(x)Bf(x)g(x)Cf(x)0，所以 f(x)g(x)答案：3若 a、b 为实数，则“ab0”是“ab1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解：ab0 是ab1 的充分条件；反之，ab1 能推出 ab0 或 abb0 不是ab1 的必要条件答案：4“acbd”是“ab 且 cd”的()A必要而不充分条件B充分而不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：ab 且 cdacbd.当取 a1，b2，c5，d3 时，
3、满足 acbd，但不能推出 ab 且 cd，故选 A.答案：A5若 ab0，cdbdB.acbcD.adbc解：由 cd01d1c 1c0，又 ab0，所以adbc，所以ad0，所以 ab；因为 bcln 44 ln 55 5ln 44ln 520ln 1024ln 625200，所以 bc.所以 abc.(方法 2：作商比较法)易知 a，b，c 都是正数，因为ba3ln 44ln 3log8164b，bc5ln 44ln 5log62510241，所以 bc，所以 abc.(方法 3：利用单调性)对于函数 f(x)ln xx，f(x)1ln xx.易知当 xe 时，f(x)单调递减，所以 e
4、34f(4)f(5)，即 abc.答案：A【变式探究】1.若 0 x0 且 a1，则|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小关系是()A.|loga(1x)|loga(1x)|B.|loga(1x)|loga(1x)|C.不确定，由 a 的值确定 D.不确定，由 x 的值确定 解：(方法 1：作差法)因为 0 x1，所以 01x1,01x21,11x2，所以 lg(1x)0，lg(1x2)0，所以|loga(1x)|loga(1x)|lg1xlg alg1xlg a 1|lg a|lg(1x)lg(1x)1|lg a|lg(1x2)0，所以|loga(1x)|loga(1x)|.(方法
5、 2：作商法)因为 0 x1，所以 01x1,11x1x1，所以 log(1x)(1x)log(1x)(1x)1，所以|loga(1x)|loga(1x)|.点评：比较大小的常用方法(1)作差法：作差变形判断符号结论其中关键是变形，变形的方法有分解因式、配方、通分等当两个式子都是正数时，有时也可先平方再比较(2)作商法：作商变形判断与1 的大小关系结论(作商前一般需判断符号)(3)单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，然后研究函数的单调性，根据单调性得出大小关系考点2判断或证明大小关系【例 2】下列命题：若 ab，则 a2b2；若 ab0，cd0，则adbc；已知 a，b，m 都
6、是正数，并且 aab；若 ab，则 a3b3.其中，真命题的序号是_ 解：对于，令 a1，b2 有 ab，但 a2b2 不成立故为假命题对于，因为 cd0，1cd0，所以1d1c，又 ab0，所以adbc0，所以adbc.故为真命题对于，因为ambmabmbabmb0.所以ambmab，即为真命题对于，因为 yx3 在(，)上是增函数，所以当 ab 时，a3b3.所以为真命题答案：【变式探究】2设 ab1，ccb；acloga(bc)其中正确结论的序号是 .解：(方法 1：利用不等式的性质)由 ab1，1ab0，得1b1a，又 ccb，故正确(方法 2：利用作差比较法)因为cacbcbaab0
7、，所以cacb.故正确(方法 1：利用作商比较法)因为 ab1，所以ab1，c0，所以acbc(ab)c1，所以 acbc.所以正确(方法 2：利用函数的性质)由幂函数 yxc(cb1 时，acb1，又 cbc，由对数函数的性质得：logb(ac)loga(ac)loga(bc)，故正确点评：(1)要判断一个不等式不成立，只需举出一个反例即可而要判断一个不等式成立，一般需要证明(2)判断大小关系，常用的方法有：利用不等式的性质；利用比较法(如作差法或作商法)；利用函数的单调性或借助函数的图象 考点3不等式性质的应用【例 3】若变量 x，y 满足约束条件32xy9，6xy9，则zx2y 的最小值
8、为_分析：本题一般采用线性规划知识进行求解，也可用不等式的性质求解因为 2xy，xy 的范围已经给出，若能将 x2y 用 2xy，xy 表示，则可利用 2xy 与 xy 的范围求出 x2y 的范围，利用不等式的性质进行求解，可化繁为简，迅速得到结果解：因为 x2y(2xy)yx，而 32xy9，9yx6，所以6x2y3，当2xy3，yx9，即 x4，y5 时取到左边等号，所以 z 的最小值为6.答案：6【变式探究】3(经典真题)不等式组xy1，x2y4的解集记为 D，有下面四个命题：p1：(x，y)D，x2y2；p2：(x，y)D，x2y2；p3：(x，y)D，x2y3；p4：(x，y)D，x
9、2y1.其中真命题是()Ap2，p3Bp1，p4 Cp1，p2Dp1，p3 解：设 x2ym(xy)n(x2y)，则 1mn，2m2n，解得m43，n13，因为xy1，x2y4，所以43(xy)43，13(x2y)43，所以 x2y43(xy)13(x2y)0.故命题 p1，p2 正确，p3，p4 错误故选 C.点评：(1)不等式的性质中，同向不等式可以作加法运算，正的同向不等式可以作乘法运算但如果涉及等号，能否取到最值，则要同时满足各个取等号的条件，这一点要特别注意如例 3 中，2xy 与 xy 中的 x，y 不是独立的，而是相互制约的，因此，可把 2xy 与 xy 看作一个整体，把 x2y
10、 用 2xy，xy 表示，再求出 x2y 的取值范围即先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算，求得整体的范围(2)将 x2y 用 2xy，xy 表示时，若不能直接观察得到，可采用待定系数法，设 x2ym(2xy)n(xy)，再比较得到 m1，n1.1比较数(式)的大小，常采用：(1)作差法，具体步骤：作差变形判断(与 0 比较)结论；(2)作商法，具体步骤：作商变形判断(与 1 比较)结论，必须注意分母的符号2运用不等式的基本性质解决不等式问题，要注意不等式成立的条件有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格证明，要判断一个命题是假命题，只需举出反例，或者由题设中条件推出与结论相反的结果3求范围问题：(1)差的范围转化为和的范围axbcyd axbdyc adxybc.这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到(2)商的范围转化为积的范围(3)由 M1f1(x，y)N1，M2f2(x，y)N2，求 g(x，y)的范围常令 g(x，y)mf1(x，y)nf2(x，y)，用恒等关系求出m，n，再利用同向不等式相加求得范围点击进入WORD链接
