1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。42.3二项分布与超几何分布必备知识自主学习导思1.什么是n次伯努利试验(n次独立重复试验)？什么是二项分布？2什么是超几何分布？1独立重复试验与二项分布(1)n次独立重复试验在相同条件下重复n次伯努利试验，约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验(2)二项分布一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q1p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是0，1，k，n，而且P(Xk)Cpkqnk(k0，1，2，
2、n)，因此X的分布列如下表所示X01knPCp0qnCp1qn1CpkqnkCpnq0由于表中的第二行中的概率值都是二项展开式(qp)nCp0qnCp1qn1CpkqnkCpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作XB(n，p)(1)独立重复试验需要满足什么条件？提示：每次试验的条件相同；每次试验是相互独立的；每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生(2)二项分布中各个参数的意义分别是什么？提示：n表示试验的总次数；k表示在n次独立重复试验中成功的次数；p表示试验成功的概率；1p表示试验不成功的概率2超几何分布一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件
3、(MN)，从所有物品中随机取出n件(nN)，则这n件中所含甲类物品件数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即nNM)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即tn)，而且P(Xk)，kt，t1，s，X称为服从参数为N，n，M的超几何分布，记作XH(N，n，M)超几何分布概率公式有何特点？提示：分子两个组合数的下标之和等于分母组合数的下标，分子两个组合数的上标之和等于分母组合数的上标1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)二项分布的参数是N，n，M，超几何分布中的参数是n，p.()(2)n次独立重复试验的结果可以有多种
4、()(3)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成()提示：(1).二项分布的参数是n，p，超几何分布中的参数是N，n，M.(2).n次独立重复试验的结果只有两种(3).由超几何分布的概念可知2(教材二次开发：练习改编)设8件产品中有2件次品，现从中抽取4件，则表示()A4件产品中有2件次品的概率B4件产品中有1件次品的概率C4件产品中有2件正品的概率D4件产品中有1件正品的概率【解析】选B.根据超几何分布的定义可知C表示从2件次品中任选1件，C表示从6件正品中任选3件3已知随机变量X服从二项分布，XB，则成功概率为_【解析】由二项分布参数的意义知，成功概率为.答案：关键能力合作学习类型一n
5、次伯努利试验与二项分布(数学抽象、逻辑推理、数学运算)【角度1】n次伯努利试验与二项分布概念的理解【典例】下列随机变量X不服从二项分布的是()A投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数B某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数D某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数【思路导引】先判断是否是独立重复试验，再判断试验结果是否是只有两个【解析】选B.选项A：试验出现的结果只有两个，点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次
6、试验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B：虽然每一次试验的结果只有两个，且每一次试验都是相互独立的，且概率不发生变化，但随机变量X的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C：甲、乙获胜的概率一定，且和为1，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布；选项D：由二项分布的定义可知，XB(n，0.3).在本例选项A中，求P(X2).【解析】由题意，XB，所以P(X2)C23.【角度2】求n次伯努利试验的概率与二项分布【典例】1.某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X3)等于()AC BCC D【解析】选C
7、.X3表示“第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品”，故其概率为.2在一次物理考试中，第14题和第15题为选做题规定每位考生必须且只需在其中选做一题若4名考生选做这两题的可能性均为.(1)求其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的学生数为，求的分布列【思路导引】(1)利用相互独立事件与互斥事件的概率公式解决；(2)利用二项分布公式解决【解析】(1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ”且事件A，B相互独立所以P(AB )P(A)P(B)P()P().(2)随机变量的可能取值为0，1，2，3，4
8、，且B.所以P(k)CC(k0，1，2，3，4).所以随机变量的分布列为01234P解决二项分布问题的关注点(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次(2)当X服从二项分布时，应弄清XB(n，p)中的试验次数n与成功概率p.(3)对于公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式1任意抛掷三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为()A B C D【解析】选B.抛一枚硬币，正面朝上的概率为，则抛三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为PC.2已知
9、某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列；(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率【解析】(1)由题意，随机变量X可能取值为0，1，2，3，则XB.即P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C.所以X的分布列为X0123P(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为PC.【补偿训练】 某大厦的一
10、部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X的分布列【解析】可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，相当于做了5次独立重复试验，故XB，P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C，P(X4)C，P(X5)C.所以X的分布列为X012345P类型二超几何分布(数学抽象、数学建模)【角度3】对超几何分布的理解【典例】某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参
11、加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数的分布列及P(2).【思路导引】先写出所有可能的取值，求出每一个所对应的概率，然后写出分布列，求出概率【解析】由题意知，的可能取值为0，1，2，3，则P(0)，P(1)，P(2)，P(3).所以随机变量的分布列为0123PP(2)P(0)P(1).【角度4】求超几何分布的分布列【典例】袋中装有标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列【思路导引】(1)用古典概型的概率公式求解
12、；(2)用超几何分布公式求解【解析】(1)方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A).方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件因为P(B)，所以P(A)1.(2)由题意知，X所有可能的取值是2，3，4，5，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5).所以随机变量X的分布列为X2345P本例已知条件不变，计算一次取球得分介于20分到40分之间的概率【解析】“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)P(X3)P(X4).1对超几何分布的三点说明(1)
13、超几何分布的模型是不放回抽样(2)超几何分布中的参数是M，N，n.(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男生和女生等问题，往往由差异明显的两部分组成2求超几何分布的分布列应关注的两点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(Xk)，从而求出X的分布列1从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为的分布列【解析】设随机变量表示取出次品的个数，则服从超几何分布，其中N15，M2，n3.
14、它的可能取值为0，1，2，相应的概率依次为P(0)，P(1)，P(2).所以的分布列为012P2现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为.(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为X，求X的分布列，并求所选2名中甲班学生数不少于1名的概率【解析】(1)设甲班的学生数为M，由题意得，整理得M2M60，解得M3或M2(舍去).即7名学生中，甲班有3名(2)由题意知X服从参数N7，M3，n2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0，1，2.P(Xk)(k0，1，2)，即P(X0)，P(X1)，P(X2).所以X的分布列为X012P由分布列知P(X1)P(X1
15、)P(X2).即所选2名中甲班学生数不少于1名的概率为.【补偿训练】 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列【解析】(1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数nC20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C CC6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P.(2)由题意知X0，1，2，3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列为X0123P类型三几
16、种分布问题的综合应用(数学建模、逻辑推理、数学运算)【典例】一个袋子中有60个大小相同的球，其中有20个黄球、40个白球，从中随机地摸出10个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数(1)有放回地摸球，求X的分布列；(2)不放回地摸球，求X的分布列步骤内容理解题意条件：袋中有20个黄球、40个白球，从中随机地摸出10个球； 用X表示样本中黄球的个数结论：(1)有放回地摸球，求X的分布列；(2)不放回地摸球，求X的分布列思路探求对(1)，X服从二项分布，对(2)，X服从超几何分布，分别求出相应的概率，列出分布列书写表达(1)对于有放回地摸球，每次摸到黄球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的，因此X
17、N(10，)，X的分布列为p1kPCk10k，k0，1，2，10.(2)对于不放回地摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为p2kP(Xk)，k0，1，2，10.注意书写的规范性：也可以使用等式来表示分布列；注意概率分布模型的区分题后反思独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，超几何分布的实际原型是不放回地抽样问题二项分布与超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律若N件产品中含有M件次品，当我们从这些产品中每次抽取一件，共抽取n次进行检查时，若是有放回地抽样，则抽到的次品数X服从的是二项分布，若是不放回地抽样且nN，则抽到的次品数X服从的是超几何分布对于
18、不放回地抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个若从中随机依次取出2个球，则放回抽取时所取出的2个球颜色不同的概率等于_，不放回抽取时所取出的2个球颜色不同的概率等于_【解析】若放回抽取，设取得红球的个数为X，则XB，取出2个颜色不同的球即事件“X1”，所以P(X1)C.若不放回抽取，设取得红球的个数为Y，则YH(5，2，3)，所以取到的2个球颜色不同的概率P.答案：【拓展延伸】 两点分布是一种特殊的二项分布，即n1的二项分布【拓展训练】某人投弹击中目标的概率为p0.8.(1)求投弹一
19、次，命中次数X的分布列；(2)求重复10次投弹时，击中次数Y的分布列【解析】(1)X服从两点分布，其分布列为X01P0.20.8(2)Y服从二项分布，即YB(10，0.8)，其分布列为P(Xk)C0.8k0.210k，k0，1，2，10.课堂检测素养达标1某地人群中高血压的患病率为p，由该地区随机抽查n人，则()A样本患病率服从B(n，p)Bn人中患高血压的人数X服从B(n，p)C患病人数与样本患病率均不服从B(n，p)D患病人数与样本患病率均服从B(n，p)【解析】选B.由二项分布的定义知B正确2(教材二次开发：例题改编)带活动门的小盒子里有来自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5
20、只做实验，X表示放出的蜂中工蜂的只数，则X2时的概率是()A BC D【解析】选B.依题意，X服从超几何分布，所以P(X2).3在4次伯努利试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A在一次试验中发生的概率为()ABC D【解析】选A.事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1C p0(1p)4，所以1p，p.4在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为_(结果用最简分数表示)【解析】所求概率P1.答案：5袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数X的分布列【解析】取到黑球个数X的可能取值为0，1，2，3.由于每次取到黑球的概率均为，那么P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C.故X的分布列为：X0123P关闭Word文档返回原板块
