1、第二课时奇偶性的应用新课程标准解读核心素养1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式数学抽象、逻辑推理2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的实际问题逻辑推理、数学运算通过上节学习了函数f(x)的奇偶性可知，具有奇(偶)性的函数f(x)的图像关于原点(y轴)对称问题若已知f(x)的奇偶性和xa，b的单调性能否探究f(x)在b，a上的单调性？知识点函数奇偶性的综合应用1函数的奇偶性与单调性的性质(1)若f(x)为奇函数且在区间a，b(ab)上为增函数(减函数)，则f(x)在b，a上为增函数(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相同；(2)若f(x)为偶函数且在区间a，b(ab)上为增函数(
2、减函数)，则f(x)在b，a上为减函数(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相反2函数的对称轴与对称中心(1)若函数f(x)的定义域为D，对xD都有f(ax)f(ax)(a为常数)，则x是f(x)的对称轴；(2)若函数f(x)的定义域为D，对xD都有f(ax)f(ax)2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心奇函数f(x)，当x0时的解析式与x0时，f(x)x22x3，求f(x)的解析式解当x0，f(x)(x)22(x)3x22x3，由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，所以f(x)x22x3.即当x0时，f(x)x22x3.故f(x)母题探究(变条件)若把本例中的奇函数
3、改为偶函数，其他条件不变，求当x0时，f(x)的解析式解：当x0，f(x)(x)22(x)3x22x3，由于f(x)是偶函数，故f(x)f(x)，所以f(x)x22x3，即当x0时，f(x)x22x3.利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x) 跟踪训练设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)2xx2，求函数f(x)，g(x)的解析式解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)
4、，由f(x)g(x)2xx2.用x代替x得f(x)g(x)2x(x)2，所以f(x)g(x)2xx2，()2，得f(x)x2.()2，得g(x)2x.函数单调性与奇偶性的综合角度一比较大小例2已知f(x)是偶函数，对任意的x1，x2(，1，都有(x2x1)f(x2)f(x1)0，则下列关系式中成立的是()Aff(1)f(2)Bf(1)ff(2)Cf(2)f(1)fDf(2)ff(1)解析f(x)是偶函数，f(2)f(2)，(x2x1)f(x2)f(x1)0，f(x)在(，1上是减函数，f(1)ff(2)答案B比较大小的求解策略看自变量是否在同一单调区间上，当在同一单调区间上时，直接利用函数的单
5、调性比较大小；当不在同一单调区间上时，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小 角度二解不等式例3(1)已知函数yf(x)在定义域1，1上是奇函数，又是减函数，若f(1a2)f(1a)0，求实数a的取值范围；(2)定义在2，2上的偶函数f(x)在区间0，2上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解(1)由f(1a2)f(1a)0，得f(1a2)f(1a)yf(x)在1，1上是奇函数，f(1a)f(a1)，f(1a2)f(a1)又f(x)在1，1上单调递减，解得0af(x2)或f(x1)f(10)Bf(1)f(10)Cf(1)f(10) Df(1)和f(
6、10)关系不定解析：选Af(x)是偶函数，f(10)f(10)又f(x)在0，)上单调递减，且1f(10)，即f(1)f(10)2已知定义在(1，1)上的函数f(x).(1)试判断f(x)的奇偶性及在(1，1)上的单调性；(2)解不等式f(t1)f(2t)0.解：(1)因为f(x)，所以任取x(1，1)，则x(1，1)，所以f(x)f(x)故f(x)为奇函数任取x1，x2(1，1)且x10，1x1x20且分母x10，x10，所以f(x2)f(x1)，故f(x)在(1，1)上为增函数(2)因为定义在(1，1)上的奇函数f(x)是增函数，由f(t1)f(2t)0，得f(t1)f(2t)f(2t)所
7、以有即解得0t.故不等式f(t1)f(2t)0的解集为.函数图像的对称性研究函数的奇偶性的实质就是研究函数图像的对称性，只不过它是一种特殊的对称性，是关于特殊点(原点)及特殊直线(y轴)对称的问题那么，我们能否把这种对称性加以推广呢？1函数图像关于直线xa对称的问题当函数yf(x)的图像关于直线xa对称时，会满足怎样的条件呢？如图所示，在直线xa两边取对称的两个自变量的值，如ax，ax，由对称性知它们的函数值相等，即f(ax)f(ax)反之，若对函数yf(x)的定义域内任一x都有f(ax)f(ax)，则可证明其图像关于直线xa对称证明：设函数yf(x)图像上的任一点为P(x，y)，则它关于直线
8、xa对称的点为P(2ax，y)，因为f(ax)f(ax)，所以f(2ax)fa(ax)fa(ax)f(x)这说明点P(2ax，y)也在函数yf(x)的图像上，即函数yf(x)的图像关于直线xa对称由此得出：函数yf(x)对其定义域内任一x都有f(ax)f(ax)函数yf(x)的图像关于直线xa对称同样地，可以得到如下结论：函数yf(x)在定义域内恒满足的条件函数yf(x)的图像的对称轴f(ax)f(ax)直线xaf(x)f(ax)直线xf(ax)f(bx)直线x2函数图像关于点(a，0)对称的问题当函数yf(x)的图像关于点(a，0)对称时，又会满足怎样的条件呢？如图所示，在直线xa两边取对称
9、的两个自变量的值，如ax，ax，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(ax)f(ax)反之，若对函数yf(x)定义域内任一x都有f(ax)f(ax)，则可证明其图像关于点(a，0)对称证明：设函数yf(x)图像上的任一点为P(x，y)，则它关于点(a，0)的对称点为P(2ax，y)，因为f(ax)f(ax)，所以f(2ax)fa(ax)fa(ax)f(x)这说明点P(2ax，y)也在函数yf(x)的图像上，即函数yf(x)的图像关于点(a，0)对称由此得出：函数yf(x)对其定义域内任一x都有f(ax)f(ax)函数yf(x)的图像关于点(a，0)对称同样地，可以得到如下结论：函数yf(x)
10、在定义域内恒满足的条件函数yf(x)图像的对称中心f(ax)f(ax)点(a，0)f(x)f(ax)点f(ax)f(bx)点迁移应用已知函数yf(x)在(0，2)上是增函数，函数yf(x2)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(1)ffBff(1)fCfff(1)Dff(1)f解析：选Byf(x2)是偶函数，f(x2)f(x2)，yf(x)的图像关于直线x2对称f(1)f(3)，又f(x)在(0，2)上为增函数，f(x)在(2，4)上为减函数ff(1)f(3)f(2) Bf(1)f(2)，故选A.3定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，若f(a)f(b)，则一定可得()AabC|a|b| D0ab0解析：选Cf(x)是R上的偶函数，且在0，)上是增函数，由f(a)f(b)可得|a|b|.故选C.4已知f(x)是奇函数，则f(g(3)_解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(3)g(3)f(3)6，所以f(g(3)f(6)f(6)33.答案：335已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)_解析：当x0时，x0，f(x)x1，又f(x)为偶函数，f(x)x1.答案：x1
