1、33二项式定理与杨辉三角最新课程标准1.会证明二项式定理(难点)2掌握二项式定理及其展开式的通项公式(重点)3了解杨辉三角，并探索其中的规律(难点)4掌握二项式系数的性质及其应用，掌握“赋值法”并会灵活运用(重点)知识点一二项式定理及相关的概念二项式定理概念公式(ab)n_称为二项式定理二项式系数各项系数C(k0,1,2，n)叫做展开式的二项式系数二项式通项Cankbk是展开式中的第_项，可记做Tk1Cankbk(其中0kn，kN，nN)二项展开式CanCan1bCan2b2CankbkCbn(nN)备注在二项式定理中，如果设a1，bx，则得到公式(1x)n1CxCx2CxkCxn(nN)知识
2、点二二项式系数的性质1每一行的两端都是_，其余每个数都等于_即_.2每一行中，与首末两端“_”的两个数相等即CC.3如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项_的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项_与_的二项式系数相等且最大4二项展开式的二项式系数的和等于_知识点三杨辉三角的特点1在同一行中，每行两端都是_，与这两个1等距离的项的系数_即CC.2在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的_，即_基础自测1下列判断正确的()A(ab)n展开式中共有n项B在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响CCankbk是(ab)n展开式中的第k项D(ab)n与(ab)n
3、的二项式展开式的二项式系数相同2在(x)10的展开式中，含x6的项的系数是()A27C B27CC9C D9C3已知(ab)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于_4已知(ax1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于_题型一二项式定理的正用、逆用例1(1)用二项式定理展开5；(2)化简：C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解方法归纳1展开二项式可以按照二项式定理进行展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开
4、二项式的前提条件2对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便3对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数跟踪训练1(1)求4的展开式；(2)化简：12C4C2nC.题型二二项式系数与项的系数问题例2(1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求9的展开式中x3的系数利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解方法归纳1二项式系数都是组合数C(k0,1,2，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念2第k
5、1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(12x)7的展开式中，第四项是T4C173(2x)3，其二项式系数是C35，而第四项的系数是C23280.跟踪训练2(12x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项题型三求展开式中的特定项1.如何求4展开式中的常数项？提示利用二项展开式的通项Cx4kCx42k求解，令42k0，则k2，所以4展开式中的常数项为C6.2(ab)(cd)展开式中的每一项是如何得到的？提示(ab)(cd)展开式中的各项都是由ab中的每一项分别乘以cd中的每一项而得到3如何求(2x1)3展开式中含x的项？提示(2x1)3展
6、开式中含x的项是由x中的x与分别与(2x1)3展开式中常数项C1及x2项C22x212x2分别相乘再把积相加得xCC(2x)2x12x13x.即(2x1)3展开式中含x的项为13x.例3已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项方法归纳1求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项，TkCank1bk1；(2)求含xk的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项2求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问
7、题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致跟踪训练3(1)在(1x3)(1x)10的展开式中，x5的系数是_(2)若6展开式的常数项为60，则常数a的值为_题型四求展开式的系数和先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解例4设(12x)2 019a0a1xa2x2a2 019x2 019(xR)(1)求a0a1a2a2 019的值；(2)求a1a3a5a2 019的值；(3)求|a0|a1|a2|a2 019|的值方法归纳1解决二项式系数和问题思维流
8、程2“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0可得常数项，令x1可得所有项系数之和，令x1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差跟踪训练4若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6.题型五二项式系数性质的应用1. 根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？提示对称性，因为CC.2计算，并说明你得到的结论提示.当k1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k时，二项式系数逐渐减小3二项式系
9、数何时取得最大值？提示当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cn，Cn相等，且同时取得最大值例5已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中二项式系数最大的项求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“”“”号方法归纳求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大跟踪训练5(1x)2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()An，n1 Bn1，nCn1，n
10、2 Dn2，n3教材反思33二项式定理与杨辉三角新知初探自主学习知识点一CanCan1bCankbkCbn(nN)k1知识点二11它“肩上”两个数的和CCC2等距离3 42n知识点三(1)1相等(2)和CCC基础自测1解析：A错误，因为(ab)n展开式中共有n1项B错误，因为二项式的第k1项Cankbk和(ba)n的展开式的第k1项Cbnkak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的C错误，因为Cankbk是(ab)n展开式中的第k1项D正确，因为(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数都是C.答案：D2解析：含x6的项是T5Cx6()49Cx6.答案：D3解析：因为只有第5项的二项式系
11、数最大，所以15，所以n8.答案：84解析：二项式系数之和为CCC2n32，所以n5.答案：5课堂探究素养提升例1【解析】(1)5C(2x)5C(2x)4C532x5120x2.(2)原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nk(1)kC(1)n(x1)(1)nxn.跟踪训练1解析：(1)方法一：4C(3)4C(3)3C(3)22C(3)3C481x2108x54.方法二：4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.(2)原式12C22C2nC(12)n3n.例2【解析】(1)由已知得二项展开式的通项为Tk1C(2)6kk(1)kC26k，T612
12、.第6项的二项式系数为C6，第6项的系数为C(1)212.(2)Tk1Cx9kk(1)kCx92k，92k3，k3，即展开式中第四项含x3，其系数为(1)3C84.跟踪训练2解析：T6C(2x)5，T7C(2x)6，依题意有C25C26，n8.(12x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5C(2x)41 120x4.例3【解析】通项公式为：Tk1C (3)k C(3)k .(1)第6项为常数项，k5时，有0，即n10.(2)令2，得k(106)2，所求的系数为C(3)2405.(3)由题意得，令m(mZ)，则102k3m，即k5m.kZ，m应为偶数，m2,0，2，即k2,5,8，所以第3项，
13、第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，61 236,295 245x2. 跟踪训练3解析：(1)x5应是(1x)10中含x5项、含x2项分别与1，x3相乘的结果，其系数为CC(1)207.(2)6的展开式的通项是Tk1Cx6k()kx2kCx63k()k，令63k0，得k2，即当k2时，Tk1为常数项，即常数项是Ca，根据已知得Ca60，解得a4.答案：(1)207(2)4例4【解析】(1)令x1，得a0a1a2a2 019(1)2 0191.(2)令x1，得a0a1a2a2 01932 019.得2(a1a3a2 019)132 019，a1a3a5a2 019.(3)Tk1C(2x
14、)k(1)kC(2x)k，a2m10(mN)，a2m0(mN)|a0|a1|a2|a3|a2 019|a0a1a2a3a2 01932 019.跟踪训练4解析：(1)令x0，则a01；令x1，得a7a6a1a027128，所以a1a2a7129.(2)令x1，得a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由得2(a1a3a5a7)128(4)7，a1a3a5a78 256.(3)由得2(a0a2a4a6)128(4)7，a0a2a4a68 128.例5【解析】令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C( )3(3x2)290x6，T4C( )2(3x2)3270 .跟踪训练5解析：该展开式共2n2项，中间两项为第n1项与第n2项，所以第n1项与第n2项为二项式系数最大的项答案：C
