1、33.2抛物线的简单几何性质新课程标准解读核心素养1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质直观想象2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用数学运算、直观想象第一课时抛物线的简单几何性质一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？问题上述情境中主要用到了抛物线的怎样的几何性质？知识点抛物线的简单几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质焦点FFFF准线xxyy范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点O(0，0)离心率e
2、1开口方向向右向左向上向下在同一坐标系下试画出抛物线y2x，y22x和y23x的图象，你能分析影响抛物线开口大小的量是什么吗？提示：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小1顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为()Ax23yBy26xCx212y Dy212x解析：选C可设抛物线方程为x22py(p0)或x22py(p0)，依题意知3，p6.抛物线方程为x212y.2设抛物线的焦点到顶点的距离为6，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A(6，) B6，)C(3，) D3，)解析：选B抛物线的焦点到顶点的距离为6，6，即p
3、12.又抛物线上的点到准线距离的最小值为，抛物线上的点到准线距离的取值范围为6，)3若双曲线1(p0)的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p_答案：4抛物线方程及其几何性质例1(链接教科书第134页例3)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交的公共弦长为2，求抛物线的方程解设所求抛物线的方程为y22px(p0)或y22px(p0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是()A8p2 B4p2C2p2 Dp2解析：选B因为抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，
4、直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.由方程组得或不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，2p)所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.直线与抛物线的位置关系角度一直线与抛物线位置关系的判断例2(1)过定点P(0，1)作与抛物线y22x只有一个公共点的直线有几条？(2)若直线l：y(a1)x1与曲线C：y2ax(a0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合解(1)当直线的斜率不存在时，直线x0，符合题意当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程是ykx1，代入y22x，消去y得k2x22(k1)x10.当k0时，x，符合题意；当k0时，由0，得k，直线方程
5、为yx1.故满足条件的直线有三条(2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，消去y，得(a1)x12ax，即(a1)2x2(3a2)x10.()当a10，即a1时，方程是关于x的一元一次方程，解得x1，这时，原方程组有唯一解()当a10，即a1时，方程是关于x的一元二次方程令(3a2)24(a1)2a(5a4)0，解得a0(舍去)或a.所以原方程组有唯一解综上，实数a的取值集合是.直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判
6、别式判断方程解的个数；(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：直线与抛物线的对称轴重合或平行；直线与抛物线相切 角度二弦长问题例3已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|p，求AB所在的直线方程解由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若ABx轴，则|AB|2pp，不满足题意所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为yk，k0.由消去x，整理得ky22pykp20.由根与系数的关系得y1y2，y1y2p2.所以|AB|2pp，解得k2.所以AB所在的直线方程为2xyp0或2xyp0.抛物线弦长的求解思路当直线的斜率k
7、存在且k0时，弦长公式为|AB|x1x2|y1y2|；当直线的斜率k0时，只有抛物线的对称轴是y轴时弦长存在，弦长公式为|AB|x1x2|；当直线的斜率k不存在时，只有抛物线的对称轴是x轴时弦长存在，弦长公式为|AB|y1y2|.注意焦点弦是特殊的弦，一般利用抛物线的定义转化为焦半径和焦点弦长问题处理注意熟记抛物线的四种标准方程对应的焦点弦长公式 角度三中点弦问题例4过点Q(4，1)作抛物线y28x的弦AB，恰被点Q所平分，则弦AB所在直线的方程为_解析法一：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在，设该直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB
8、所在直线的方程为yk(x4)1(k0)由消去x，得ky28y32k80，则y1y2.又y1y22，所以2，解得k4.故所求弦AB所在直线的方程为4xy150.法二：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y8x1，y8x2，且x1x28，y1y22，得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，将代入，得y1y24(x1x2)，即4，则弦AB所在直线的斜率为4.故所求弦AB所在直线的方程为y14(x4)，即4xy150.答案4xy150解决中点弦问题的思路解决中点弦问题的基本方法是点差法、利用根与系数的关系，直线与抛物线的方程联
9、立时消y有时更简捷，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解一般地，已知抛物线y22px(p0)上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)及AB的中点P(x0，y0)，则kAB.直线AB的方程为yy0(xx0)线段AB的垂直平分线的方程为yy0(xx0) 跟踪训练1设抛物线C：x24y焦点为F，直线ykx2与C交于A，B两点，且|AF|BF|25，则k的值为()A2 B1C1 D2解析：选A设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线ykx2代入x24y，消去x得y2(44k2)y40，所以y1y24，y1y244k2，抛物线C：x24y的准线方程为y1，因为|AF|y11，|BF
10、|y21，所以|AF|BF|y1y2(y1y2)1444k2125k2.2已知直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点解：联立消去y，得k2x2(2k4)x10.(*)当k0时，(*)式只有一个解x，y1，直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴当k0时，(*)式是一个一元二次方程，(2k4)24k216(1k)当0，即k1，且k0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；当0，即k1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；当1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离综上所述，当k1或0时，l与C只有一个公共点；当k1时，
11、l与C没有公共点1已知点A(2，3)在抛物线C：y22px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A B1C D解析：选C因为抛物线C：y22px的准线为x，且点A(2，3)在准线上，所以2，解得p4，所以y28x，所以焦点F的坐标为(2，0)，故直线AF的斜率k.2(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()Ay28x By28xCx28y Dx28y解析：选CD设抛物线方程为x22py(p0)或x22py(p0)，依题意得y，代入x22py或x22py得|x|p，2|x|2p8，p4.抛物线方程为x28y或
12、x28y.3设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若4，则点A的坐标是()A(2，2) B(1，2)C(1，2) D(2，2)解析：选B由题意知F(1，0)，设A，则，.由4得y02，点A的坐标为(1，2)，故选B.4抛物线y24x的弦ABx轴，若|AB|4，则焦点F到直线AB的距离为_解析：由抛物线的方程可知F(1，0)，由|AB|4且ABx轴得y(2)212，xA3，所求距离为312.答案：25直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k_解析：当k0时，直线与抛物线有唯一交点当k0时，联立方程消去y，得k2x24(k2)x40，由题意16(k2)216k20，解得k1.答案：0或1
