1、第8讲 二次函数【学习目标】熟练掌握二次函数的概念、图象、性质及其与一元二次方程、一元二次不等式的联系.【基础检测】1.二次函数 yax2bxc 的图象如图所示,则下列结论:abc0;2ab0;abc0,0 b2a0,f(1)0,整理化简得 b0,abc0,abc0,即函数图象的开口向上,对称轴是直线 x1.所以 f(0)f(2),则当 f(m)f(0)时,有 0m2.4.已知函数 f(x)x2(a21)xa2 的一个零点大于1,另一个零点小于 1,则实数 a 的取值范围为.(2,1)【解析】令 f(x)x2(a21)xa2,则由 f(1)a2a20 得实数 a 的取值范围为(2,1),本题可
2、结合二次函数图像理解,也可从零点存在定理理解.二次函数在(,1)有一个根,在(1,)有另一根,而 x时,f(x)恒大于零,所以 f(1)0,若|f(x)|ax 在 x1,1上恒成立,则实数 a 的取值范围是.1,0【解析】作出函数|f(x)|在区间1,1上的图象,以及 yax 的图象,由图象可知当直线 yax 在阴影部分区域时,条件|f(x)|ax 在 x1,1恒成立,如图,点 B(1,1),kOB1,所以1a0,即实数 a 的取值范围是1,0.【知识要点】1函数_叫做二次函数,它的定义域是 R,这是二次函数的一般形式另外,还有顶点式:_,其中(h,k)是 抛 物 线 顶 点 的 坐 标;两
3、根 式:_,其中x1,x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标2二次函数的图象是一条_,经过配方,可得 yax2bxc_,顶点为_,对称轴为直线_yax2bxc(a0)ya(xh)2k(a0)ya(xx1)(xx2)(a0)抛物线ax b2a24acb24a b2a,4acb24ax b2a一、二次函数解析式及求法例 1 已知二次函数 yf(x),当 x2 时函数取最小值1,且 f(1)f(4)3.(1)求 f(x)的解析式;(2)若 g(x)f(x)kx 在区间1,4上不单调,求实数k 的取值范围.【解析】(1)由条件,设 f(x)a(x2)21,又 f(1)f(4)3,则 a1,所以 f(x)
4、x24x3.(2)当 x1,4时,由题意,g(x)x2(k4)x3,因其在区间1,4上不单调,则有 1k42 4,解得2k4.【点评】求解二次函数的解析式一般有三种方法:(1)一般式法:已知三点,一般设为一般式,即 yax2bxc(a0);(2)交点式法:已知与 x 轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0),一般设为 ya(xx1)(xx2)(a0);(3)顶点式法:已知顶点坐标为(m,k),可以设顶点式为 ya(xm)2k(a0).二、二次函数的最值例 2 二次函数 f(x)的图像顶点为 A(1,16),且图象在 x 轴上截得线段长为 8.(1)求函数 f(x)的解析式;(2)令 g(x)(
5、22a)xf(x).若函数 g(x)在 x0,2上是单调增函数,求实数a 的取值范围;求函数 g(x)在 x0,2的最小值.【解析】(1)由条件设二次函数 f(x)a(x1)216ax22axa16(a0),设 f(x)0 的两根为 x1,x2,且 x12 时,g(x)ming(2)44a154a11;当 a2),a215(0a2),15(a1),使得存在 tR,只要当x1,m时,就有 f(xt)x 成立.【解析】(1)在中令 x1,有 1f(x)1,故 f(1)1;(2)由知二次函数的开口向上且关于 x1 对称,故可设此二次函数为 f(x)a(x1)2(a0),又由 f(1)1 代入求得 a
6、14.故 f(x)14(x1)2.假设存在 tR,只要 x1,m,就有 f(xt)x.取 x1,有 f(t1)1,即14(t1)212(t1)141,解得4t0,对固定的 t4,0,取 xm,有 f(tm)m,即14(tm)212(tm)14m,化简得 m22(t1)m(t22t1)0,解得 1t4tm1t 4t,故 m1t 4t1(4)4(4)9,t4 时,对任意的 x1,9,恒有 f(x4)x14(x210 x9)14(x1)(x9)0,m 的最大值为 9.【点评】本题综合考查了二次函数、二次方程、二次不等式等基础知识和运用这些知识分析问题、解决问题的能力,综合性较强.备选题例4设 a 为
7、实数,函数 f(x)x2|xa|1.求 f(x)的最小值【解析】当 xa 时,f(x)x2xa1x122a34.若 a12,则函数 f(x)在(,a上单调递减,从而函数 f(x)在(,a上的最小值为 f(a)a21;若 a12,则函数 f(x)在(,a上的最小值为f12 34a,且 f12 12,则函数 f(x)在a,)上单调递增,从而函数 f(x)在a,)上的最小值为 f(a)a21.综上,当 a12时,函数 f(x)的最小值是34a;当1212时,函数 f(x)的最小值是 a34.【点评】要注意定义域对值域的限制作用,即在定义域内用相应方法求值域;要注意参数对值域的影响,即要分类讨论;要注
8、意数形结合思想的应用,即借助图象确定函数的值域或最值.1.二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体,要深刻理解它们之间的关系,运用函数方程的思想、方法将它们进行适当的转化,这是准确迅速解决此类问题的关键.2对二次函数 yax2bxc(a0)在m,n上的最值的研究是本讲内容的重点,对如下结论必须熟练掌握:(1)当 x b2am,n时,4acb24a是它的一个最值,另一个最值在区间端点取得(2)当 x b2am,n时,最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得(3)二次函数在某个区间上的最值问题的处理,常常要利用数形结合的思想和分类讨论的思想,当二次函数的表达式中含有参数或所给区间变化
9、时,需要考察二次函数的图象特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关系),抓住顶点的横坐标是否属于该区间,结合函数的单调性进行分类讨论和求解.3.二次函数 f(x)ax2bxc(a0),当 a0 且 0 时 f(x)0 恒成立;当 a0 且 0 时 f(x)0 恒成立.4.二次函数问题大多通过数形结合求解,同时注意分类讨论和等价转化.1.(2015 天津)已知 a0,b0,ab8,则当 a 的值为_时,log2alog2(2b)取得最大值.4【解析】log2alog228a log2a(log216log2a)4log2a(log2a)2,当 log2a2,即 a4 时取得最大值.2.(2015
10、天津)已知函数 f(x)2|x|,x2,(x2)2,x2,函数 g(x)3f(2x),则函数 yf(x)g(x)的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5A【解析】由题知 yf(x)f(2x)3.因为 f(2x)2|2x|,x0,x2,x0 x2,x2,f(x)2x,x2,所以 f(x)f(2x)x2x2,x2.在同一坐标系中分别画出函数 yf(x)f(2x),y3 的图像,观察图像可知,函数 yf(x)g(x)只有两个零点.【点评】本题考查函数零点的三个等价命题,画出函数图象是解题的关键1.在下列图象中,二次函数 yax2bx 与指数函数ybax的图象只可能是()A【解析】根据指数函数
11、ybax可知 a,b 同号且不相等,则二次函数 yax2bx 的对称轴 x b2a0 可排除 B 与 D;选项 A,ab0,a0,0ba1,则指数函数单调递减,故 A 正确,故选 A.2.若二次函数 f(x)ax2bxc 满足 f(x1)f(x2),则f(x1x2)等于()A.b2aB.baC.c D.4acb24aC【解析】由 f(x1)f(x2)得x1x22 b2a,x1x2ba,f(x1x2)aba2bba cc.3.已知关于 x 的方程 x22mxm30 的两个实数根 x1,x2 满足 x1(1,0),x2(3,),则实数 m的取值范围是()A.23,3B.65,3C.23,65D.,
12、23B【解 析】由 题 意 可 知:f(0)0f(3)0,m3096mm30,即m65m23,65m3.4.若方程|x24x|m 有实数根,则所有实数根的和可能是()A.2、4、6 B.4、5、6C.3、4、5 D.4、6、8D【解析】作出函数 y|x24x|x24x(x4或x0)x24x(4x0)的图象:与直线 ym 的所有交点的横坐标都是已知方程的根,由图可知:当 m0 时,显然有两个根:4,0,所以其和为4;当 0m4 时,已知方程有两根,关于2对称,所以其和为4,当 m0 时,已知方程没有实根,故知所有实数根的和可能是4、6、8.故选 D.5.设 f(x)|1x2|,若 0ab,且 f
13、(a)f(b),则 ab的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1 C.(0,2)D.(0,2A【解析】f(x)|1x2|,且当 0a2ab,ab1.又0ab,0abf(n)对任意正整数 n均成立,则 的取值范围是()A.0 B.3C.1 D.f(n),可得(n1)2(n1)n2n,化简得 2n1,要使对于任意正整数 n都成立,则 2113,即 f(n)f(1)f(2)f(n)f(n1),则 f(x)在1,)上为单调递增函数,但考虑到 f(x)x2x 为二次函数,且单调性只需 满 足 整 数 点,所 以 二 次 函 数 的 对 称 轴 2 122满足f(1)f(2),而不是对称轴21,解得3.
14、7.已知函数 f(x)ax2bx1(a,b 为实数,a0,xR).(1)若函数 f(x)的图象过点(2,1),且方程 f(x)0有且只有一个实根,求 f(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当 x1,2时,g(x)f(x)kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围.【解析】(1)因为 f(2)1,即 4a2b11,所以b2a.因为方程 f(x)0 有且只有一个根,即 b24a0.所以 4a24a0,即 a1,b2.所以 f(x)(x1)2.(2)因为 g(x)f(x)kxx22x1kx x2(k2)x1 xk2221(k2)24.所以当k22 2 或k22 1,即 k6 或 k0 时,g(x)
15、是单调函数.8.设函数 f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数 x,f(x)0 恒成立,求 m 的取值范围;(2)若对于任意 x1,3,f(x)m5 恒成立,求m 的取值范围.【解析】(1)要使 mx2mx10 恒成立,若 m0,显然10;若 m0,则m0m24m04m0.所以 m 的取值范围是(4,0.(2)要使 f(x)m5 在1,3上恒成立,就是要使mx12234m60 时,g(x)在1,3上是增函数,所以 g(x)maxg(3)7m60,所以 m67,则 0m67;当 m0 时,60 恒成立;当 m0 时,g(x)在1,3上是减函数,所以 g(x)maxg(1)m60 所以 m6,所以 m0.综上所述,m 的取值范围是m|m0,又因为 m(x2x1)60,所以 m6x2x1.因为函数 y6x2x16x12234在1,3上的最小值为67,所以只需 m67即可.所以,m 的取值范围是m|m67.