1、第8讲 二次函数【学习目标】熟练掌握二次函数的概念、图象、性质及其与一元二次方程、一元二次不等式的联系.【基础检测】1.二次函数 yax2bxc 的图象如图所示，则下列结论：abc0；2ab0；abc0，0 b2a0，f(1)0，整理化简得 b0，abc0，abc0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线 x1.所以 f(0)f(2)，则当 f(m)f(0)时，有 0m2.4.已知函数 f(x)x2(a21)xa2 的一个零点大于1，另一个零点小于 1，则实数 a 的取值范围为.(2，1)【解析】令 f(x)x2(a21)xa2，则由 f(1)a2a20 得实数 a 的取值范围为(2，1)，本题可
2、结合二次函数图像理解，也可从零点存在定理理解.二次函数在(，1)有一个根，在(1，)有另一根，而 x时，f(x)恒大于零，所以 f(1)0，若|f(x)|ax 在 x1，1上恒成立，则实数 a 的取值范围是.1，0【解析】作出函数|f(x)|在区间1，1上的图象，以及 yax 的图象，由图象可知当直线 yax 在阴影部分区域时，条件|f(x)|ax 在 x1，1恒成立，如图，点 B(1，1)，kOB1，所以1a0，即实数 a 的取值范围是1，0.【知识要点】1函数_叫做二次函数，它的定义域是 R，这是二次函数的一般形式另外，还有顶点式：_，其中(h，k)是 抛 物 线 顶 点 的 坐 标；两
3、根 式：_，其中x1，x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标2二次函数的图象是一条_，经过配方，可得 yax2bxc_，顶点为_，对称轴为直线_yax2bxc(a0)ya(xh)2k(a0)ya(xx1)(xx2)(a0)抛物线ax b2a24acb24a b2a，4acb24ax b2a一、二次函数解析式及求法例 1 已知二次函数 yf(x)，当 x2 时函数取最小值1，且 f(1)f(4)3.(1)求 f(x)的解析式；(2)若 g(x)f(x)kx 在区间1，4上不单调，求实数k 的取值范围.【解析】(1)由条件，设 f(x)a(x2)21，又 f(1)f(4)3，则 a1，所以 f(x)
4、x24x3.(2)当 x1，4时，由题意，g(x)x2(k4)x3，因其在区间1，4上不单调，则有 1k42 4，解得2k4.【点评】求解二次函数的解析式一般有三种方法：(1)一般式法：已知三点，一般设为一般式，即 yax2bxc(a0)；(2)交点式法：已知与 x 轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，一般设为 ya(xx1)(xx2)(a0)；(3)顶点式法：已知顶点坐标为(m，k)，可以设顶点式为 ya(xm)2k(a0).二、二次函数的最值例 2 二次函数 f(x)的图像顶点为 A(1，16)，且图象在 x 轴上截得线段长为 8.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)令 g(x)(
5、22a)xf(x).若函数 g(x)在 x0，2上是单调增函数，求实数a 的取值范围；求函数 g(x)在 x0，2的最小值.【解析】(1)由条件设二次函数 f(x)a(x1)216ax22axa16(a0)，设 f(x)0 的两根为 x1，x2，且 x12 时，g(x)ming(2)44a154a11；当 a2），a215（0a2），15（a1)，使得存在 tR，只要当x1，m时，就有 f(xt)x 成立.【解析】(1)在中令 x1，有 1f(x)1，故 f(1)1；(2)由知二次函数的开口向上且关于 x1 对称，故可设此二次函数为 f(x)a(x1)2(a0)，又由 f(1)1 代入求得 a
6、14.故 f(x)14(x1)2.假设存在 tR，只要 x1，m，就有 f(xt)x.取 x1，有 f(t1)1，即14(t1)212(t1)141，解得4t0，对固定的 t4，0，取 xm，有 f(tm)m，即14(tm)212(tm)14m，化简得 m22(t1)m(t22t1)0，解得 1t4tm1t 4t，故 m1t 4t1(4)4（4）9，t4 时，对任意的 x1，9，恒有 f(x4)x14(x210 x9)14(x1)(x9)0，m 的最大值为 9.【点评】本题综合考查了二次函数、二次方程、二次不等式等基础知识和运用这些知识分析问题、解决问题的能力，综合性较强.备选题例4设 a 为
7、实数，函数 f(x)x2|xa|1.求 f(x)的最小值【解析】当 xa 时，f(x)x2xa1x122a34.若 a12，则函数 f(x)在(，a上单调递减，从而函数 f(x)在(，a上的最小值为 f(a)a21；若 a12，则函数 f(x)在(，a上的最小值为f12 34a，且 f12 12，则函数 f(x)在a，)上单调递增，从而函数 f(x)在a，)上的最小值为 f(a)a21.综上，当 a12时，函数 f(x)的最小值是34a；当1212时，函数 f(x)的最小值是 a34.【点评】要注意定义域对值域的限制作用，即在定义域内用相应方法求值域；要注意参数对值域的影响，即要分类讨论；要注
8、意数形结合思想的应用，即借助图象确定函数的值域或最值.1.二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想、方法将它们进行适当的转化，这是准确迅速解决此类问题的关键.2对二次函数 yax2bxc(a0)在m，n上的最值的研究是本讲内容的重点，对如下结论必须熟练掌握：(1)当 x b2am，n时，4acb24a是它的一个最值，另一个最值在区间端点取得(2)当 x b2am，n时，最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得(3)二次函数在某个区间上的最值问题的处理，常常要利用数形结合的思想和分类讨论的思想，当二次函数的表达式中含有参数或所给区间变化
9、时，需要考察二次函数的图象特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关系)，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论和求解.3.二次函数 f(x)ax2bxc(a0)，当 a0 且 0 时 f(x)0 恒成立；当 a0 且 0 时 f(x)0 恒成立.4.二次函数问题大多通过数形结合求解，同时注意分类讨论和等价转化.1.(2015 天津)已知 a0，b0，ab8，则当 a 的值为_时，log2alog2(2b)取得最大值.4【解析】log2alog228a log2a(log216log2a)4log2a(log2a)2，当 log2a2，即 a4 时取得最大值.2.(2015
10、天津)已知函数 f(x)2|x|，x2，（x2）2，x2，函数 g(x)3f(2x)，则函数 yf(x)g(x)的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5A【解析】由题知 yf(x)f(2x)3.因为 f(2x)2|2x|，x0，x2，x0 x2，x2，f(x)2x，x2，所以 f(x)f(2x)x2x2，x2.在同一坐标系中分别画出函数 yf(x)f(2x)，y3 的图像，观察图像可知，函数 yf(x)g(x)只有两个零点.【点评】本题考查函数零点的三个等价命题，画出函数图象是解题的关键1.在下列图象中，二次函数 yax2bx 与指数函数ybax的图象只可能是()A【解析】根据指数函数
11、ybax可知 a，b 同号且不相等，则二次函数 yax2bx 的对称轴 x b2a0 可排除 B 与 D；选项 A，ab0，a0，0ba1，则指数函数单调递减，故 A 正确，故选 A.2.若二次函数 f(x)ax2bxc 满足 f(x1)f(x2)，则f(x1x2)等于()A.b2aB.baC.c D.4acb24aC【解析】由 f(x1)f(x2)得x1x22 b2a，x1x2ba，f(x1x2)aba2bba cc.3.已知关于 x 的方程 x22mxm30 的两个实数根 x1，x2 满足 x1(1，0)，x2(3，)，则实数 m的取值范围是()A.23，3B.65，3C.23，65D.，
12、23B【解 析】由 题 意 可 知：f（0）0f（3）0，m3096mm30，即m65m23，65m3.4.若方程|x24x|m 有实数根，则所有实数根的和可能是()A.2、4、6 B.4、5、6C.3、4、5 D.4、6、8D【解析】作出函数 y|x24x|x24x（x4或x0）x24x（4x0）的图象：与直线 ym 的所有交点的横坐标都是已知方程的根，由图可知：当 m0 时，显然有两个根：4，0，所以其和为4；当 0m4 时，已知方程有两根，关于2对称，所以其和为4，当 m0 时，已知方程没有实根，故知所有实数根的和可能是4、6、8.故选 D.5.设 f(x)|1x2|，若 0ab，且 f
13、(a)f(b)，则 ab的取值范围是()A.(0，1)B.(0，1 C.(0，2)D.(0，2A【解析】f(x)|1x2|，且当 0a2ab，ab1.又0ab，0abf(n)对任意正整数 n均成立，则 的取值范围是()A.0 B.3C.1 D.f(n)，可得(n1)2(n1)n2n，化简得 2n1，要使对于任意正整数 n都成立，则 2113，即 f(n)f(1)f(2)f(n)f(n1)，则 f(x)在1，)上为单调递增函数，但考虑到 f(x)x2x 为二次函数，且单调性只需 满 足 整 数 点，所 以 二 次 函 数 的 对 称 轴 2 122满足f（1）f（2），而不是对称轴21，解得3.
14、7.已知函数 f(x)ax2bx1(a，b 为实数，a0，xR).(1)若函数 f(x)的图象过点(2，1)，且方程 f(x)0有且只有一个实根，求 f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当 x1，2时，g(x)f(x)kx 是单调函数，求实数 k 的取值范围.【解析】(1)因为 f(2)1，即 4a2b11，所以b2a.因为方程 f(x)0 有且只有一个根，即 b24a0.所以 4a24a0，即 a1，b2.所以 f(x)(x1)2.(2)因为 g(x)f(x)kxx22x1kx x2(k2)x1 xk2221（k2）24.所以当k22 2 或k22 1，即 k6 或 k0 时，g(x)
15、是单调函数.8.设函数 f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数 x，f(x)0 恒成立，求 m 的取值范围；(2)若对于任意 x1，3，f(x)m5 恒成立，求m 的取值范围.【解析】(1)要使 mx2mx10 恒成立，若 m0，显然10；若 m0，则m0m24m04m0.所以 m 的取值范围是(4，0.(2)要使 f(x)m5 在1，3上恒成立，就是要使mx12234m60 时，g(x)在1，3上是增函数，所以 g(x)maxg(3)7m60，所以 m67，则 0m67；当 m0 时，60 恒成立；当 m0 时，g(x)在1，3上是减函数，所以 g(x)maxg(1)m60 所以 m6，所以 m0.综上所述，m 的取值范围是m|m0，又因为 m(x2x1)60，所以 m6x2x1.因为函数 y6x2x16x12234在1，3上的最小值为67，所以只需 m67即可.所以，m 的取值范围是m|m67.