1、第54讲 双曲线【学习目标】了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.【基础检测】1.双曲线 x225 y29 1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为()A.22或2 B.7 C.22 D.2【解析】设双曲线的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P，不妨设|PF1|12，由双曲线定义知，|PF1|PF2|10，|PF2|22或|PF2|2，故选A.A2.以y3 x为渐近线，一个焦点是F(2，0)的双曲线方程为()A.x2y23 1 B.x2y23 1C.x22 y231 D.x22 y231A 3.已知定点A，B，且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则
2、|PA|的最小值是()A.12B.32C.72D.5C【解析】因为|AB|4，|PA|PB|3，故满足条件的点在双曲线右支上，则|PA|的最小值为右顶点到A的距离23272.4.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为()A.x24 y24 1 B.y24 x24 1C.x28 y24 1 D.y24 x28 1B【解析】2a2b2 2c，即ab2 c，a22abb22c22(a2b2)，(ab)20，即ab.双曲线的一个顶点的坐标为(0，2)，a2b24，y2x24，即y24 x24 1.5.设F1、F2分别为双曲线x2a2 y2b21(
3、a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为()A.2B.15C.4 D.17D【解析】由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a，从而可将已知等式转化为关于a，b的方程，求出a，b之间的关系，再将双曲线的离心率用a，b表示即可.根据双曲线的定义|PF1|PF2|2a，由(|PF1|PF2|)2b23ab可得4a2b23ab，即b23ab4a20，所以ba23ba 40，解得ba4(负值舍去).所以ecaa2b2a21b2a2 116 17.【知识要点】1双曲线的定义在平面内到两个定点 F1，F2 的距离_等于常数(小于_)的点的轨迹叫
4、做双曲线两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 2双曲线标准方程的两种形式_(a，b0)分别表示中心在原点，焦点在 x 轴，y 轴上的双曲线 之差的绝对值|F1F2|1122222222xyyx-=,-=abab3双曲线的几何性质以x2a2y2b2=1(a，b0)表示的双曲线为例(1)范围：xa，或 xa；(2)对称性：关于 x 轴、y 轴、原点对称；(3)顶点：(a，0)，(a，0)；(4)离心率：e=ca=1b2a2(1，)；(5)渐近线方程：y=bax或x2a2y2b20.一、双曲线的定义与标准方程例 1(1)已知动圆 E 与圆 A：(x4)2y22 外切，与圆 B：(x
5、4)2y22 内切，求动圆圆心 E 的轨迹方程.(2)与双曲线x29 y2161 有共同渐近线，且过点(3，2 3)，求双曲线的标准方程.【解析】(1)设动圆E的半径为r，则由已知|AE|r2，|BE|r2，所以|AE|BE|2 2，又A(4，0)，B(4，0)，所以|AB|82 2.根据双曲线定义知，点E的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支.因为a2，c4，所以b2c2a214，故点E的轨迹方程是x22 y2141(x 2).(2)双曲线方程可设为 x29 y216，将点(3，23)的坐标代入，得14，故所求双曲线的方程为4x29 y24 1.【点评】(1)利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的
6、关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.(2)当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，求方程时应分类讨论或者将方程设为mx2ny21(mn0，则焦点在x轴上；若0，b0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设坐标原点为O，若OP mOA nOB(m，nR)，且mn29，则该双曲线的离心率为()A.3 22B.3 55C.3 24 D.98C【解析】(1)因为A，P，B三点共线，所以mn1，又mn29，所以解得n13m23，或m23n13，两组解得到的离心率相等，所以用第一组求：OP 23OA 13
7、OB，整理为2 PA BP，结合图像，可知2 PA BP，即2 bca b2a b2a bca，整理为c3b，即c29b29c2a2，化简为ca34 2.(2)设F1，F2是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(OPOF2)F2P 0(O为坐标原点)，且 PF1 3 PF2，则双曲线的离心率为()A.212B.21C.312D.31D【解析】(2)取PF2的中点A，则由(OP OF2)F2P0得，2OA F2P 0，即OA F2P；在PF1F2中，OA为PF1F2的中位线，所以PF1PF2，所以 PF1 2 PF2 2 2c 2；又由双曲线定义知 P
8、F1 PF2 2a，且 PF1 3 PF2，所以(31)c2a，解得e31，故选D.【点评】双曲线的几何性质是高考考查的热点，多以小题形式出现，解题中要注意数形结合.在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程，同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程 x2a2 y2b2 1求它的渐近线时，只需把“1”换成“0”，即可得渐近线方程xayb0；(2)求已知渐近线的双曲线方程；(3)渐近线的斜率k与离心率e的关系，如k ba c2a2ac2a21 e21.三、双曲线的综合问题例3已知双曲线C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的一条渐近线为y 3x，右焦点F到直线x
9、a2c 的距离为32.(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与曲线C相交于B、D两点，已知A(1，0)，若DF BF 1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切.【解析】(1)依题意有ba 3，ca2c 32，a2b2c2，c2a，a1，c2，b23，曲线C的方程为x2y23 1.(2)设直线l的方程为yxm，则B(x1，x1m)，D(x2，x2m)，BD的中点为M，由yxmx2y23 1得2x22mxm230，x1x2m，x1x2m232.DF BF 1，即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，m0(舍)或m2.x1x22，x1x272，M点的横坐标为x1x
10、221，DA BA 1x1 1x2 x12 x22 52x1x2x1x25720，ADAB.过A、B、D三点的圆是以点M为圆心，BD为直径，M点的横坐标为1，MAx，MA12BD，过A、B、D三点的圆与x轴相切.备选题例4已知椭圆C1的方程为 x24 y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx2 与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA OB 2(其中O为原点)，求k的取值范围.【解析】(1)设双曲线C2的方程为 x2a2 y2b2 1(a0，b0)，则a2413，c24，再由a2b2c2
11、，得b21，故C2的方程为x23 y21.(2)将ykx 2代入x23 y21，得(13k2)x26 2kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得 k213且k22，得x1x2y1y22，3k273k212，即3k293k21 0，解得13k23.由得13k20，则焦点在x轴上；若求得0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A.对任意的a，b，e1b时，e1e2；当ae2C.对任意的a，b，e1e2D.当ab时，e1e2；当ab时，e10，b0，m0，ab，所以当ab时，mabaam 0，即bmamba.又bmam0，ba0，所以由不等式的性质依次可得bmam2 ba2，1b
12、mam2 1 ba2，所以1bmam2 1ba2，即e2e1；同理，当ab时，mabaam 0，可推得e2b时，e1e2；当ae2.2.(2015山东)过双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为.2 3【解析】先表示出直线的方程和P点的坐标，再将P点的坐标代入直线的方程可得关于a，b，c的方程，化简可以求出离心率.如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为ba，又直线l过右焦点F(c，0)，则直线l的方程为y ba(xc).因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得 4a2a2 y2b2 1，化简得y3 b或
13、y3 b(P点在x轴下方，故舍去)，故P点坐标为(2a，3b)，代入直线方程得 3bba(2ac)，化简可得离心率eca2 3.1.设F1，F2是双曲线x2 y224 1的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则|PF1|()A.8 B.6 C.4 D.2【解析】由题意可知a1，且点P在右支上，|PF1|PF2|2，又3|PF1|4|PF2|，|PF1|8.A2.已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2()A.14B.35C.34 D.45C【解析】利用双曲线的定义及余弦定理求解.由x2y22知，a22，b2
14、2，c2a2b24，a 2，c2.又|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|，|PF1|4 2，|PF2|2 2.又|F1F2|2c4，由余弦定理得cosF1PF2（4 2）2（2 2）24224 22 234.3.已知圆C：(x4)2y212的圆心是双曲线x2a2y2b21的右焦点，且双曲线的渐近线与圆C相切，则该双曲线的方程为()A.x24 y2121 B.x212y24 1C.x26 y2101 D.x210y26 1A【解析】如图，右焦点F(4，0)，c4，渐近线与x轴的夹角为，|FE|2 3，sin 32，3，tan ba 3，b 3a，a2b2a2(3a)242，a24，b2
15、12，故所求双曲线方程为：x24 y2121，选A.4.已知双曲线x2a2y22 1(a 2)的两条渐近线的夹角为3，则双曲线的离心率为()A.2 B.3C.2 63 D.2 33D【解析】如图 POP3，POA6，batan 6 13，即 2a 13，a 6，c（6）222 2，故离心率eca2 26 2 33，选D.5.过双曲线C：x2a2 y2b2 1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.x24 y2121 B.x27 y29 1C.x28 y28 1 D.x212y24 1A【解析】
16、如图，双曲线的右焦点为F，右顶点为B，渐近线OA的方程为ybax也可设为ybax，由题意知，以F为半径的圆过点O，A，|FA|FO|r4.ABx轴，A为直线AB与渐近线y ba x的交点，A点坐标为A(a，b).在RtABO中，|OA|OB|2|AB|2a2b2c|OF|4，OAF为等边三角形且边长为4，B为OF的中点，|OB|a2，|AB|b2 3，双曲线C的方程为x24 y2121，故选A.6.设双曲线C的两个焦点为(2，0)，(2，0)，一个顶点是(1，0)，则C的方程为.【解析】依据双曲线标准方程用待定系数法确定a，b的值.由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，且c 2，a1，则b2c2a
17、21，所以双曲线C的方程为x2y21.x2y217.已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)和椭圆 x216y291有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为.【解析】由x216y29 1，知c 169 7，焦点F1(7，0)，F2(7，0)，且椭圆的离心率e 74.x24 y23 1又双曲线x2a2y2b21与椭圆 x216y29 1有相同的焦点.a2b2(7)27，双曲线的离心率eca 7a，7a 2 74，则a2.从而b2c2a27223.故所求的双曲线的方程为x24 y23 1.8.已知抛物线C1的顶点是双曲线C2：x24ky24的中心，而焦点是双曲线的左顶点
18、.(1)当k1时，求抛物线C1的方程；(2)若双曲线的离心率e62，求双曲线的渐近线方程.【解析】(1)k1，C2：x24 y21，a2，F1(2，0)设抛物线C1的方程为y22px(p0)，则 p2 2，p4，y28x.(2)依题意，得a24，b21k，c241k，c2a232，所以41k432，1k2，k12，C2：x24 y221，所以渐近线方程为y 22 x.9.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0).(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围.【解析】
19、(1)设双曲线C的方程为x2a2y2b21(a0，b0).由已知得：a 3，c2，再由a2b2c2得b21，双曲线C的方程为x23 y21.(2)联立ykxmx23 y21 整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，13k2012（m213k2）0，可得m23k21且k213.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0).则x1x2 6km13k2，x0 x1x22 3km13k2，y0kx0mm13k2.由题意，ABMN，kABm13k213km13k21k(k0，m0).整理得3k24m1.将代入，得m24m0，m4.又3k24m10(k0)，即m14.m的取值范围是14，0(4，).
