1、第53讲 椭圆【学习目标】掌握椭圆的定义、标准方程及几何性质，熟悉参数 a，b，c，e 的几何意义及离心率 e 的求法，能够处理部分椭圆综合问题.【基础检测】1.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，离心率等于12，则 C 的方程是()A.x23 y24 1 B.x24 y231C.x24 y22 1 D.x24 y23 1【解析】设椭圆方程为x2a2y2b21，半焦距为 c，则c1，ca12c1，a2b23，故答案为 D.D2椭圆x29 y24k1 的离心率为45，则 k 的值为()A21 B21C1925或 21 D.1925或 21C【解析】若a29，b24k，则c5k，由
2、ca45，即 5k345，得k1925；若a24k，b29，则ck5，由ca45，即k54k45，解得k21.3.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F1(1，0)，且点 P(0，1)在 C1 上.则椭圆 C1 的方程为.【解析】因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(1，0)，所以 c1.将点 P(0，1)代入椭圆方程x2a2y2b21，得 1b21，即 b1，所以 a2b2c22.所以椭圆 C1 的方程为x22 y21.x22 y214.设 AB 是椭圆的长轴，点 C 在椭圆上，且CBA4，若 AB4，BC 2，则椭圆的两个焦点之间的距离为.【解
3、析】设椭圆的标准方程为x2a2y2b21，由题意知，2a4，a2，CBA4，BC2，点C的坐标为C(1，1)，因点C在椭圆上，14 1b21，b243，c2a2b244383，c2 63，则椭圆的两个焦点之间的距离为4 63.4 635.过椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若13k12，则椭圆的离心率的取值范围是.12，23【解析】如图所示：|AF2|ac，|BF2|a2c2a，ktanBAF2|BF2|AF2|a2c2aac a2c2a（ac），又 13 k 12，13 a2c2a（ac）12，13 1 e
4、 12，解得12eb0)，焦点 F1(c，0)，F2(c，0)其中 c_(2)y2a2x2b21(ab0)，焦点_，其中 c_|F1F2|2222xy+=1ab22a-bF1(0，c)，F2(0，c)22a-b3椭圆的几何性质(以x2a2y2b21(ab0)为例)(1)范围：_(2)对称轴：x 轴，y 轴，对称中心：O(0，0)(3)顶点：长轴端点：A1(a，0)，A2(a，0)，短轴端点：B1(0，b)，B2(0，b)；长轴长|A1A2|2a，短轴长|B1B2|2b.(4)离心率 e_，0eb0)上一点P(3，4)，F1，F2为椭圆的两焦点且PF1PF2，则椭圆方程为()A.x220y215
5、1 B.x245y2201C.x215y2101 D.x245y2151B(3)求焦点在坐标轴上，且经过A(3，2)和B(2 3，1)两点的椭圆的标准方程.【解析】(1)由题可知：|AB|AC|6，而|BC|20，n0，mn)，由题目所给条件求出m，n即可.二、椭圆的几何性质例2(1)已知P是椭圆 x24 y21上一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，若F1PF260，则F1PF2的面积是.33(2)设F是椭圆 x2a2 y2b2 1(ab0)的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆x2y2b2相切，当直线PF的倾斜角为23 时，此椭圆的离心率是()A.2 77B.2 55C.22D.32A
6、【解析】(1)由题设|PF1|PF2|4.在F1PF2中，由余弦定理得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|24312.由2得|PF1|PF2|43.故SF1PF212|PF1|PF2|sin 60 33.(2)依题意得，sin23 bc 32，椭圆的离心率ecacc2b211bc211342 77.【点评】(1)椭圆中F1PF2往往称为“焦点三角形”，利用定义可求周长，利用定义和余弦定理求|PF1|PF2|，通过整体代入可求其面积，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1|PF2|P
7、F1|PF2|22，|PF1|ac.(2)求椭圆的离心率其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值，或特殊位置，求出离心率.三、椭圆的综合应用例3如图，已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：(x2)2y2r2(r0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程；(2)求TM TN 的最小值，并求此时圆T的方程.【解析】(1)依题意，得a2，又eca 32，c 3，b a2c21；故椭圆C的方程为x24 y21.(2)方法一：点M
8、与点N关于x轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，y1)，不妨设y10.由于点M在椭圆C上，所以y211x214.(*)由已知T(2，0)，则 TM(x12，y1)，TN(x12，y1)，TM TN(x12，y1)(x12，y1)(x12)2y21(x12)21x214 54x214x1354x18521515.由于2x12，故当x185时，TM TN 取得最小值为15.由(*)式，y135，故M85，35，又点M在圆T上，代入圆的方程得到r21325.故圆T的方程为：(x2)2y21325.方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M(2cos，sin)，N(2cos，sin)，由已知T(2，0)
9、，则1cos 0，n0)，或设为Ax2By21(A0，B0).(2015陕西)如图，椭圆E：x2a2 y2b2 1(ab0)经过点A(0，1)，且离心率为 22.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.【解析】由题设知ca 22，b1，结合a2b2c2，解得a 2.所以椭圆E的方程为x22 y21.(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入x22 y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0.由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x
10、24k（k1）12k2，x1x22k（k2）12k2.从而直线AP，AQ的斜率之和kAPkAQy11x1 y21x2 kx12kx1 kx22kx22k(2k)1x1 1x22k(2k)x1x2x1x2 2k(2k)4k（k1）2k（k2）2k2(k1)2.1.“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C【解析】当mn0时，0 1m b0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为 33，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点.若AF1B的周长为4 3，则C的方程为()A.x23 y22 1 B.x23 y21
11、C.x212y28 1 D.x212y24 1A【解析】利用椭圆的定义及性质列式求解.由e 33 得ca 33.又AF1B的周长为4 3，由椭圆定义，得4a4 3，得a 3，代入得c1，b2a2c22，故椭圆C的方程为x23 y22 1.3.椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.14B.12 C.2 D.4【解析】由已知，长轴长为21m，短轴长为2，21m22，1m4，m14，选A.A4.设椭圆C：x2a2 y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A.36B.13C.12D.33【解析
12、】由题可得|PF1|2|PF2|，而|PF1|PF2|2a，则|PF2|23a，而|PF2|b2a，23ab2a，则23a2b2a2c2，则ca 33.D5.已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF45，则C的离心率为()A.35B.57C.45D.67B【解析】设椭圆的右焦点为F1，三角形ABF中由余弦定理可解得|AF|6，所以ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|c5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|AF1|8，所以2a14，a7，所以离心率e57.6
13、.已知点F1、F2分别是椭圆x2a2 y2b21(ab0)的左、右焦点，点P是椭圆上的一个动点，若使得满足PF1F2是直角三角形的动点P恰好有6个，则该椭圆的离心率为()A.12B.22 C.32D.33【解析】当直角顶点分别是F1、F2时，动点P各有2个；那么当直角顶点是P时，动点P应恰好有2个，此时以|F1F2|为直径的圆应与椭圆恰好有2个公共点(即上下顶点)从而bc，e 22.B7.椭圆x2a2y25 1(a为定值，且a5)的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是.23【解析】利用椭圆定义及FAB周长的最大值求a，设椭圆的右焦点为F，如图
14、，由椭圆定义知，|AF|AF|BF|BF|2a，又FAB的周长为|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a，当且仅当AB过右焦点F时等号成立.此时4a12，则a3.故椭圆方程为x29 y25 1，所以c2，所以eca23.8.已知椭圆C：x29 y24 1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_.【解析】利用三角形的中位线结合椭圆的定义求解.椭圆x29 y24 1中，a3.如图，设MN的中点为D，则|DF1|DF2|2a6.D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，|BN|2|DF2|，|AN|2|DF1|，|AN|BN|2
15、(|DF1|DF2|)12.129.设点M(m，0)在椭圆C：x216y2121的长轴上，点P是椭圆上任意一点.当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【解析】设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x216y2121，故4x4.因为MP xm，y，所以MP 2(xm)2y2(xm)2121x216 14x22mxm21214(x4m)2123m2.因为当MP 最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x4时，MP 2取得最小值.而x 4，4，故有4m4，解得m1.又点M在椭圆的长轴上，即4m4.故实数m的取值范围是m1，4.10.在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，
16、2)且斜率为k的直线l与椭圆x22 y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OP OQ 与AB 共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由.【解析】(1)由已知条件，直线l的方程为ykx2，代入椭圆方程得x22(kx 2)21.整理得12k2 x22 2kx10.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k2412k2 4k220，解得k22，即k的取值范围为，22 22，.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 OP OQ(x1x2，y1y2)，由方程，x1x2 4 2k12k2.又y1y2k(x1x2)2 2.而A(2，0)，B(0，1)，AB(2，1).所以 OP OQ 与 AB 共线等价于x1x22(y1y2)，将代入上式，解得k 22.由(1)知k 22，故没有符合题意的常数k.
