1、第三节圆的方程1圆的定义、方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)半径：r一般方程x2y2DxEyF0条件：D2E24F0圆心：半径：r_2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)点M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2；(2)点M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2；(3)点M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.1方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件：AC0，B0，且D2E24AF0.2以A(x1，y1)，B(x2，y2)
2、为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.1(基础知识：圆的一般方程与标准方程的互化)圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2，3) B(2，3)C(2，3) D(2，3)答案：D2(基本方法：求圆的方程)过点A(1，1)，B(1，1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24答案：C3(基本方法：求圆的方程)AOB中，A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则AOB外接圆的方程为_答案：x2y24x3y04(基础知识：二元二次方程表示圆的条件)x2y2ax2ay2a2a10表
3、示圆，则a的取值范围是_答案：5(基本能力：数形结合)半径为3，圆心的横、纵坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为_答案：(x3)2(y3)29或(x3)2(y3)29题型一求圆的方程 典例剖析典例(1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)24解析：根据题意可设圆的方程为x2(yb)21，因为圆过点A(1，2)，所以12(2b)21，解得b2，所以所求圆的方程为x2(y2)21.答案：A(2)在平面直角坐标系xOy中，以点A(1，0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，求半径
4、最大的圆的标准方程解析：因为直线与圆相切，所以半径等于圆心到直线的距离，r，因为1m22m，所以1，所以r，所以半径最大的圆的标准方程为(x1)2y22.方法总结求圆的方程的方法方法解读适合题型几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程，常用的几何性质如下：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线题设条件中有明显的几何特征待定系数法(1)根据条件设出圆的方程，一般地，若题目中有与圆心和半径有关的信息，选择标准方程(xa)2(yb)2r2，若已知圆上三点坐标(或三点坐标易求
5、)，选择一般方程x2y2DxEyF0；(2)由题目给出的条件，列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程题设条件中有明显的代数特征对点训练1(母题变式)将本例(1)改为圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()Ax2y210y0 Bx2y210y0Cx2y210x0 Dx2y210x0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，可设圆的方程为x2(yr)2r2，则32(r1)2r2，解得r5，可得圆的方程为x2y210y0.答案：B2(母题变式)本例(2)改为：在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，0)作直线mx
6、y2m10(mR)的垂线，垂足为B，以A，B的连线段为直径的所有圆中，半径最大的圆的一般方程为_解析：因为直线mxy2m10(mR)过定点C(2，1)，所以直径AB的最大值为|AC|，所以所求半径最大的圆的标准方程为，化为一般方程为x2y23xy20.答案：x2y23xy203圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的方程为_解析：法一(几何法)：设点C为圆心，因为点C在直线x2y30上，所以可设点C的坐标为(2a3，a).又该圆经过A，B两点，所以|CA|CB|，即，解得a2，所以圆心C的坐标为(1，2)，半径r，故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.法二(待定系数法
7、)：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得解得a1，b2，r210，故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.法三(待定系数法)：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则圆心坐标为，由题意得解得D2，E4，F5.故所求圆的方程为x2y22x4y50.答案：(x1)2(y2)210题型二与圆有关的轨迹问题 典例剖析类型 1直接法求与圆有关的轨迹方程 例1已知点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，则点M的轨迹方程为_解析：设点M(x，y)，由题意得，整理得x2y22x30.答案：x2y22x30类型 2相关点(代入法)求轨迹方程 例2设定点M(3，4)，动点N在圆x
8、2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程解析：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分，所以，整理得又点N(x0，y0)在圆x2y24上，所以(x3)2(y4)24.所以点P的轨迹是以(3，4)为圆心，2为半径的圆，直线OM与轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，所以点P的轨迹为(x3)2(y4)24，除去两点和.方法总结与圆有关的轨迹问题的四种求法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解的方法；(2)定义法：根据圆的定义列方程求解的方法；(3)几何法：利用圆的几何性质，得出方
9、程的方法；(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式的方法题组突破1(2020内蒙古模拟)已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程解析：(1)由x2y26x50得(x3)2y24，所以圆C1的圆心坐标为(3，0).(2)设M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1MAB，所以kC1MkAB1，当x3时可得1，整理得y2，又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立设直线l的方程为ykx，与x2y26x50联立，消去y得，(1k2)x26x50.令其
10、判别式(6)24(1k2)50，得k2，此时方程为x26x50，解上式得x，因此x3.所以线段AB的中点M的轨迹的方程为y2.2已知RtABC的斜边为AB，且A(1，0)，B(3，0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程解析：(1)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，且BC，AC斜率均存在，所以kACkBC1，又kAC，kBC，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0).法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|AB|2.由圆的定义知，动点C的轨
11、迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0).(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x，y，所以x02x3，y02y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0).题型三与圆有关的最值 典例剖析典例已知实数x，y满足x2y24x10.(1)求的最大值与最小值；(2)求yx的最大值、最小值；(3)求x2y2的最大值、
12、最小值解析：(1)原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.如图所示，当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，如图所示，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)如图所示，x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心(2，0)到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最
13、小值是(2)274.方法总结与圆有关的最值问题的几何转化法(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题对点训练已知A(0，2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是_解析：因为圆C：x2y24x2y0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r的圆设点A(0，2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)，故解得故A(4，2).连接AC交圆C于Q(图略)，由对称性可知|PA|PQ|AP|PQ|AQ|A
14、C|r2.答案：21(2020高考全国卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2xy30的距离为()A BC D解析：由题意可知圆心在第一象限，设为(a，b).圆与两坐标轴均相切，ab，且半径ra，圆的标准方程为(xa)2(ya)2a2.点(2，1)在圆上，(2a)2(1a)2a2，a26a50，解得a1或a5.当a1时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线2xy30的距离d；当a5时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线2xy30的距离d.综上，圆心到直线2xy30的距离为.答案：B2(2020高考全国卷)已知M：x2y22x2y20，直线l：2xy20，P为l上的动点过点P作
15、M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|AB|最小时，直线AB的方程为()A2xy10 B2xy10C2xy10 D2xy10解析：M：(x1)2(y1)24，则圆心M(1，1)，M的半径为2.如图所示，由题意可知PMAB，S四边形PAMB|PM|AB|PA|AM|2|PA|，|PM|AB|4|PA|4.当|PM|AB|最小时，|PM|最小，此时PMl.故直线PM的方程为y1(x1)，即x2y10.由得P(1，0).又PA与M相切，直线PA的方程为x1(在M中，1x1)，PAx轴，PAMA，A(1，1).又直线AB与l平行，设直线AB的方程为2xym0，将A(1，1)的坐标代入2xym0，得m1.直线AB的方程为2xy10.答案：D若x，yR，且x，则的取值范围是_解析：xx2y21(x0)，此方程表示圆的一半，如图，设P(x，y)是此曲线上的点，则表示过点P(x，y)，Q(1，2)两点直线的斜率设切线QA的斜率为k，则它的方程为y2k(x1).从而由1，解得k.又kBQ3，所求范围是.答案：
