1、增分强化练(二十二)1(2019泉州质检)在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABAD，ADBC，AB1，AD2BC，PD.(1)求证： 平面PBD平面PAC；(2)M为棱PB上异于B的点，且AMMC，求直线AM与平面MCD所成角的正弦值解析：(1)证明：在RtABC与RtABD中，因为， ，所以，ABCDAB90，即ABCDAB，所以ABDBCA.因为ABDCBD90，所以BCACBD90，所以ACBD.因为PD平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC，又BDPDD，所以AC平面PBD，又AC平面PAC, 所以平面PBD平面PAC. (2)过A作AEDP，因为PD平面ABCD，所以A
2、E平面ABCD，即AE，AB，AD两两相垂直，以A为原点，AB，AD，AE所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB1，AD2BC，PD，所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，0)，P(0，)，(1,0,0)，(1，)， 设，(0,1则(1，)，(，). 因为AMMC，所以0，即(1)()320，解得6220，0或.因为(0,1，所以.所以，即M.所以，设n(x0，y0，z0)为平面MCD的一个法向量，则，所以，所以取n， 设直线AM与平面MCD所成角为，所以sin |cos，n|，所以直线AM与平面MCD所成角的正弦值.2(2019济宁模拟)如图，在直角
3、梯形ABED中，ABDE，ABBE，且AB2DE2BE，点C是AB中点，现将ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置(1)求证：平面PBC平面PEB；(2)若PE与平面PBC所成的角为45，求平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值解析：(1)证明：ABDE，AB2DE，点C是AB中点，CBED，CBED，四边形BCDE为平行四边形，CDEB，又EBAB，CDAB，CDPC，CDBC，CD平面PBC，EB平面PBC，又EB平面PEB，平面PBC平面PEB.(2)由(1)知EB平面PBC，EPB即为PE与平面PBC所成的角，EPB45，EB平面PBC，EBPB，PBE为等腰直角三角形，EBPBB
4、CPC，故PBC为等边三角形，取BC的中点O，连结PO，则POBC，EB平面PBC，又EB平面EBCD，平面EBCD平面PBC，又PO平面PBC，PO平面EBCD，以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图，设BC2，则B(0,1,0)，E(2,1,0)，D(2，1,0)，P(0,0，)，从而(0,2,0)，(2,1，)，设平面PDE的一个法向量为m(x，y，z)，则由得，令z2得m(，0,2)，又平面PBC的一个法向量n(1,0,0)，则cosm，n，平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.3(2019高考全国卷)如图
5、，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值解析：(1)证明：如图，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C.又因为N为A1D的中点，所以NDA1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MNED.又MN平面C1DE，所以MN平面C1DE.(2)由已知可得DEDA，以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，A1
6、(2,0,4)，M(1，2)，N(1,0,2)，(0,0，4)，(1，2)，(1,0，2)，(0，0)设m(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m(，1,0)设n(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n(2,0，1)于是cosm，n，所以二面角AMA1N的正弦值为.4(2019高考全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值解析：(1)证明：由已知得，B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEB45，故AEAB，AA12AB.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，(1,0,0)，(1，1,1)，(0,0,2)设平面EBC的法向量为n(x1，y1，z1)，则即所以可取n(0，1，1)设平面ECC1的法向量为m(x2，y2，z2)，则即所以可取m(1,1,0)于是cosn，m.所以，二面角BECC1的正弦值为.
