1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.3函数的单调性知识梳理1.增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2）或都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间.2.函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在
2、该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.点击双基1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是A.y=x+1 B.y=C.y=x24x+5D.y= 答案：B2.函数y=loga（x22x3），当x=2时，y0，则此函数的单调递减区间是A.（，3） B.（1，）C.（，1）D.（1，）解析：当x=2时，y=loga50，a1.由x22x3
3、0x3或x1，易见函数tx22x3在（，3）上递减，故函数y=loga（x22x3）（其中a1）也在（，3）上递减.答案：A3.（2003年北京朝阳区模拟题）函数y=log|x3|的单调递减区间是_.解析：令u=|x3|，则在（，3）上u为x的减函数，在（3，+）上u为x的增函数.又01，在区间（3，）上，y为x的减函数.答案：（3，+）4.有下列几个命题：函数y=2x2+x+1在（0，）上不是增函数；函数y=在（，1）（1，）上是减函数；函数y=的单调区间是2，+）；已知f（x）在R上是增函数，若a+b0，则有f（a）+f（b）f（a）+f（b）.其中正确命题的序号是_.解析：函数y=2x2
4、+x+1在（0，+）上是增函数，错；虽然（，1）、（1，）都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，错；要研究函数y=的单调区间，首先被开方数5+4xx20，解得1x5，由于2，+）不是上述区间的子区间，错；f（x）在R上是增函数，且ab，ba，f（a）f（b），f（b）f（a），f（a）+f（b）f（a）+f（b），因此是正确的.答案：典例剖析【例1】 如果二次函数f（x）=x2（a1）x+5在区间（，1）上是增函数，求f（2）的取值范围.剖析：由于f（2）=22（a1）2+5=2a+11，求f（2）的取值范围就是求一次函数y=2a+11的值域，当然就应先求其定义域.解：二次函
5、数f（x）在区间（，1）上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧，于是，解之得a2，故f（2）22+11=7，即f（2）7.【例2】 讨论函数f（x）=（a0）在x（1，1）上的单调性.解：设1x1x21，则f（x1）f（x2）=.1x1x21，x2x10，x1x2+10，（x121）（x221）0.又a0，f（x1）f（x2）0，函数f（x）在（1，1）上为减函数.【例3】 求函数y=x+的单调区间.剖析：求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法：（1）图象法；（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用
6、y=x与y=的单调性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f（x2）f（x1）的正负.解：首先确定定义域：x|x0，在（，0）和（0，+）两个区间上分别讨论.任取x1、x2（0，+）且x1x2，则f（x2）f（x1）=x2+x1=（x2x1）+=（x2x1）（1），要确定此式的正负只要确定1的正负即可.这样，又需要判断大于1，还是小于1.由于x1、x2的任意性，考虑到要将（0，+）分为（0，1）与（1，+）（这是本题的关键）.（1）当x1、x2（0，1）时，10，f（x2）f（x1）0，为减函数.（2）当x1、x2（1，+）时，10，f（x2）f（x1）0，为增函数.同理可求
7、（3）当x1、x2（1，0）时，为减函数；（4）当x1、x2（，1）时，为增函数.评述：解答本题易出现以下错误结论：f（x）在（1，0）（0，1）上是减函数，在（，1）（1，+）上是增函数，或说f（x）在（，0）（0，+）上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.深化拓展求函数y=x+（a0）的单调区间.提示：函数定义域x0，可先考虑在（0，+）上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在（，0）上的单调性.答案：在（，（，+）上是增函数，在（0，（，0）上是减函数.【例4】 定义在R上的函数y=f（x），
8、f（0）0，当x0时，f（x）1，且对任意的a、bR，有f（a+b）=f（a）f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的xR，恒有f（x）0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）f（2xx2）1，求x的取值范围.（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.又f（0）0，f（0）=1.（2）证明：当x0时，x0，f（0）=f（x）f（x）=1.f（x）=0.又x0时f（x）10，xR时，恒有f（x）0.（3）证明：设x1x2，则x2x10.f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1）f（x1）.x2x10，f（x2x1）1.又f（x1）0，f（x2x1）
9、f（x1）f（x1）.f（x2）f（x1）.f（x）是R上的增函数.（4）解：由f（x）f（2xx2）1，f（0）=1得f（3xx2）f（0）.又f（x）是R上的增函数，3xx20.0x3.评述：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f（x2x1）+x1”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.闯关训练夯实基础1.（2004年湖北，理7）函数f（x）=ax+loga（x+1）在0，1上的最大值与最小值的和为a，则a的值为A. B. C.2 D.4解析：f（x）是0，1上的增函数或减函数，故f（0）+f（1）=a，即1+a+loga2=aloga2=1，2=a1a=
10、.答案：B2.设函数f（x）=loga|x|在（，0）上单调递增，则f（a+1）与f（2）的大小关系是A.f（a+1）=f（2） B.f（a+1）f（2）C.f（a+1）f（2）D.不能确定解析：由f（x）=且f（x）在（，0）上单调递增，易得0a1.1a+12.又f（x）是偶函数，f（x）在（0，+）上单调递减.f（a+1）f（2）.答案：B3.函数y=loga（2ax）在0，1上是减函数，则a的取值范围是A.（0，1） B.（0，2）C.（1，2） D.（2，+）解析：题中隐含a0，2ax在0，1上是减函数.y=logau应为增函数，且u= 2ax在0，1上应恒大于零.1a2.答案：C4.
11、（文）如果函数f（x）=x2+2（a1）x+2在区间（，4上是减函数，那么实数a的取值范围是_.解析：对称轴x=1a，由1a4，得a3.答案：a3（理）（2003年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题）函数y=f（x）的图象与y=2x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（4xx2）的递增区间是_.解析：先求y=2x的反函数，为y=log2x，f（x）=log2x，f（4xx2）=log2（4xx2）.令u=4xx2，则u0，即4xx20.x（0，4）.又u=x2+4x的对称轴为x=2，且对数的底为21，y=f（4xx2）的递增区间为（0，2）.答案：（0，2）5.讨论函数f（x）=（a）在（2，
12、+）上的单调性.解：设x1、x2为区间（2，+）上的任意两个值，且x1x2，则f（x1）f（x2）=.x1（2，+），x2（2，+）且x1x2，x2x10，x1+20，x2+20.当12a0，即a时，f（x1）f（x2），该函数为减函数；当12a0，即a时，f（x1）f（x2），该函数为增函数.培养能力6.（2003年重庆市高三毕业班诊断性试题）已知函数f（x）=m（x+）的图象与函数h（x）=（x+）+2的图象关于点A（0，1）对称.（1）求m的值；（2）若g（x）=f（x）+在区间（0，2上为减函数，求实数a的取值范围.解：（1）设P（x，y）为函数h（x）图象上一点，点P关于A的对称点为
13、Q（x，y），则有x=x，且y=2y.点Q（x，y）在f（x）=m（x+）上，y=m（x+）.将x、y代入，得2y=m（x）.整理，得y=m（x+）+2.m=.（2）g（x）=（x+），设x1、x2（0，2，且x1x2，则g（x1）g（x2）=（x1x2）0对一切x1、x2（0，2恒成立.x1x2（1+a）0对一切x1、x2（0，2恒成立.由1+ax1x24，得a3.7.（2004年春季上海）已知函数f（x）=|xa|，g（x）=x2+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等.（1）求a的值；（2）求函数f（x）+g（x）的单调递增区间；（3）若n为正整数，证
14、明10f（n）（）g（n）4.（1）解：由题意，f（0）=g（0），|a|=1，又a0，所以a=1.（2）解：f（x）+g（x）=|x1|+x2+2x+1.当x1时，f（x）+g（x）=x2+3x，它在1，+）上单调递增；当x1时，f（x）+g（x）=x2+x+2，它在，1）上单调递增.（3）证明：设cn=10f（n）（）g（n），考查数列cn的变化规律：解不等式1，由cn0，上式化为10（）2n+31，解得n3.7.因nN*，得n4，于是c1c2c3c4.而c4c5c6，所以10f（n）（）g（n）10f（4）（）g（4）=103（）254.探究创新8.（2005年北京西城区模拟题）设aR，
15、函数f（x）=（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数.（1）判断f（x）在R上的单调性；（2）当1a0时，求f（x）在1，2上的最小值.解：（1）由已知（x）=ex（ax2+a+1）+ex2ax=ex（ax2+2axa1）.因为ex0，以下讨论函数g（x）=ax2+2axa1值的情况：当a=0时，g（x）=10，即（x）0，所以f（x）在R上是减函数.当a0时，g（x）=0的判别式=4a24（a2+a）=4a0，所以g（x）0，即（x）0，所以f（x）在R上是减函数.当a0时，g（x）=0有两个根x1，2=，并且，所以在区间（，）上，g（x）0，即（x）0，f（x）在此区间上是增函数；在区
16、间（，）上，g（x）0，即（x）0，f（x）在此区间上是减函数.在区间（，+）上，g（x）0，即（x）0，f（x）在此区间上是增函数.综上，当a0时，f（x）在R上是减函数；当a0时，f（x）在（，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+）上单调递增.（2）当1a0时，=1+1，=1+2，所以在区间1，2上，函数f（x）单调递减.所以函数f（x）在区间1，2上的最小值为f（2）=.评述：函数的最值和函数的单调性有紧密联系.判断较复杂函数的单调性，利用导函数的符号是基本方法.思悟小结1.函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的.有些函数在整个定义域内是单调的，如一次函数；而有些函数在定
17、义域内的部分区间上是增函数而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数；还有的函数是非单调的，如y=2.函数单调性定义中的x1、x2有三个特征：一是同属一个单调区间；二是任意性，即x1、x2是给定区间上的任意两个值，“任意”二字绝不能丢掉，更不可随意以两个特殊值替换；三是有大小，通常规定x1x2.三者缺一不可.3.在解决与函数单调性有关的问题时，通常有定义法、图象法、复合函数判断法，但最基本的方法是定义法，几乎所有的与单调性有关的问题都可用定义法来解决.4.讨论函数的单调性必须在定义域内进行.教师下载中心教学点睛1.本节的重点是函数单调性的有关概念，难点是利用概念证明或判断函数的单调性.复习本节
18、时，老师最好引导学生总结出证明函数单调性的一般步骤：1设值；2作差；3变形；4定号；5结论.2.教学过程中应要求学生准确理解、把握单调性定义中“任意”的含意，函数单调性的重要作用在于化归，要重视运用函数的单调性将问题化归转化，培养化归意识.3.讨论复合函数单调性的根据：设y=f（u），u=g（x），xa，b，um，n都是单调函数，则y=fg（x）在a，b上也是单调函数.（1）若y=f（u）是m，n上的增函数，则y=fg（x）与u=g（x）的增减性相同；（2）若y=f（u）是m，n上的减函数，则y=fg（x）的增减性与u=g（x）的增减性相反.拓展题例【例1】 设函数f（x）（ab0），求f（x
19、）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性.解：函数f（x）的定义域为（，b）（b，），任取x1、x2（，b）且x1x2，则f（x1）f（x2）.ab0，x2x10，（x1b）（x2b）0，f（x1）f（x2）0，即f（x）在（，b）上是减函数.同理可证f（x）在（b，）上也是减函数.函数f（x）=在（，b）与（b，）上均为减函数.【例2】 已知f（x）是定义在1，1上的奇函数，且f（1）=1，若a、b1，1，a+b0时，有0.判断函数f（x）在1，1上是增函数还是减函数，并证明你的结论.解：任取x1、x21，1，且x1x2，则x21，1.又f（x）是奇函数，于是f（x1）f（x2）=f（x1）+f（x2）=（x1x2）.据已知0，x1x20，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）.f（x）在1，1上是增函数.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m- 10 - 版权所有高考资源网
