1、第2课时一元二次不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点).2.理解三个“二次”之间的关系.3.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点).1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养.2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.1分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式0(0)(其中a，b，c，d为常数)法一：或法二：(axb)(cxd)0(0)0(0)法一：或法二：k(其中k为非零实数)先移项通分转化为上述两种形式思考1：0与(x3)(x2)0等价吗？将0变形为(x3)(x2)0，有什么好处？提示：等价；
2、好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式2(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件不等式ax2bxc0ax2bxc0b0，c0a0(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法设二次函数yax2bxc若ax2bxck恒成立ymaxk若ax2bxck恒成立ymink3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)(3)解不等式(或求函数最值)(4)回扣实际问题思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一
3、元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解1若集合Ax|12x13，B，则AB等于()Ax|1x0Bx|0x1Cx|0x2 Dx|0x1BAx|1x1，Bx|0x2，ABx|0x12不等式5的解集是_原不等式0解得00，y0，x40，y40，xy300，整理得yx40，将y40x代入xy300，整理得x240x3000，解得10x30.分式不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)0；(2)1.解(1)0(x3)(x2)02x3，原不等式的解集为x|2x3(2)1，10，0，即0.此不等式等价于(x4)0且x0，解得x或x4，原不等式的解
4、集为.1对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零2对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解1解下列不等式：(1)0；(2)3.即知原不等式的解集为x|x1或x3(2)不等式3可改写为30，即0.可将这个不等式转化成2(x1)(x1)0，解得1x1.所以，原不等式的解集为x|1x1一元二次不等式的应用【例2】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)为了减轻农民负担，制定积极的收
5、购政策根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.思路点拨将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(12x%)吨，“原计划的78%”即为2 400m8%78%.解设税率调低后“税收总收入”为y元y2 400m(12x%)(8x)%m(x242x400)(0x8)依题意，得y2 400m8%78%，即m(x242x400)2 400m8%78%，整理，得x242x880，解得44x2.根据x的实际意义，知x的范围为0x2.求解一元二次
6、不等式应用问题的步骤2某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围解设花卉带的宽度为x m(0x600)，则中间草坪的长为(8002x)m，宽为(6002x)m.根据题意可得(8002x)(6002x)800600，整理得x2700x6001000，即(x600)(x100)0，所以00恒成立，如何求实数a的取值范围？提示：若a0，显然y0不能对一切xR都成立所以a0，此时只有二次函数yax22x2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题
7、意，则解得a.2若函数yx2ax3对3x1上恒有x2ax30成立，如何求a的范围？提示：要使x2ax30在3x1上恒成立，则必使函数yx2ax3在3x1上的图象在x轴的下方，由y的图象可知，此时a应满足即解得a2.故当a2时，有f(x)0在3x1上恒成立3若函数yx22(a2)x4对任意3a1时，y0恒成立，如何求x的取值范围？提示：由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数f(x)转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令y2xax24x4.要使对任意3a1，y0恒成立，只需满足即因为x22x40的解集是空集，所以不存在实数x，使函数yx22(a2)x4对任意3a1，y0恒
8、成立【例3】已知yx2ax3a，若2x2，x2ax3a0恒成立，求a的取值范围思路点拨对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解解设函数yx2ax3a在2x2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则(1)当对称轴x4时，g(a)(2)2(2)a3a73a0，解得a，与a4矛盾，不符合题意(2)当22，即4a4时，g(a)3a0，解得6a2，此时4a2.(3)当2，即a4时，g(a)222a3a7a0，解得a7，此时7a0的解集为R”，求a的取值范围解法一：不等式x22xa230的解集为R，函数yx22xa23的图象应在x轴上方，44(a23)2或
9、a0的解集为R，则a满足ymina240，解得a2或a0，得a2x22x3，即a2(x1)24，要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于(x1)24的最大值，即a24，故a2或a0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0时，b0，c0；当a0时，2不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0时，b0，cf(x)恒成立af(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则af(x)恒成立a1的解集为xax2bxc(a0)恒成立时，可转化为求解yax2bxc的最小值，从而求出m的范围()提示(1)1100x|0xax2bxc(a0)恒成立转化为mymax，故(2)错答案(
10、1)(2)2不等式0的解集为_x|4x1原式可转化为(x1)(x2)2(x3)(x4)0，根据数轴穿根法，解集为4x1.3对于任意实数x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则实数a的取值范围是_2a2当a20，即a2时，40恒成立；当a20，即a2时，则有解得2a2.综上，实数a的取值范围是2a2.4某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？解设每盏台灯售价x元，则x15，并且日销售收入为x302(x15)，由题意知，当x15时，有x302(x15)400，解得：15x20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为15x20.
