1、抛物线一、 单选题1已知抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，圆过，三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线方程为ABCD解：与轴交于，设两点，设圆的方程为，取，可得则方程与方程等价，则，则圆的方程为圆过，即，得圆的方程为，即，由圆系方程可知，圆经过圆与直线的交点，则圆被直线所截弦长为定值故选：2已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则A3B4或CD或解：当在的延长线时，过向准线作垂线，垂足为，根据已知条件，结合抛物线的定义得，当在之间时，过向准线作垂线，垂足为，根据已知条件，结合抛物线的定义得，故选：3已知抛物线的焦点为，过点作倾斜角为的直
2、线交抛物线于，两点，点，在抛物线准线上的射影分别是，若四边形的面积为，则该抛物线的方程为ABCD解：，抛物线的焦点为，准线方程为：，直线的倾斜角为，斜率，直线的方程为，代入，得：，则，令，则，四边形是直角梯形，抛物线的方程为，故选：4已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，点在第一象限，为坐标原点，则四边形面积最小时直线的方程是ABCD解：抛物线的焦点，设直线的方程为，联立，可得设，则，四边形的面积令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，即当时，四边形的面积最小，此时，直线的方程为故选：5在西游记中，凤仙郡太守生气时误推倒祭祀玉帝的贡桌，玉帝一怒之下下令凤仙郡三年不能下雨，于是孙悟空和猪
3、八戒上天庭去找玉帝理论，玉帝要求鸡要吃完米，狗要舔完面，火烧断了锁才能下雨孙悟空打量着形如圆锥的面山，让猪八戒从面山脚下出发经过的中点到，大致观察一下该面山，如图所示，若猪八戒经过的路线为一条抛物线，底面圆的面积为，为底面圆的一条直径，则该抛物线的焦点到准线的距离为ABCD解：如图，建立以为轴，过作平行以为轴的直角坐标系，设抛物线方程为，底面圆的面积为，所以，在中，又因为中点，故，故选：6已知抛物线，直线与交于，两点，若表示直线的斜率，则的最小值为A6B7C8D9解：由抛物线的方程，可得，所以抛物线的焦点为，所以直线的方程为经过点，设，由，得，成立，所以，所以，所以，因为直线的斜率，所以，令，
4、则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以所以的最小值为7，故选：7已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，且，线段的垂直平分线与轴的交点为，则AB2CD解：设，联立直线与抛物线方程，则的垂直平分线为，则点，则，故选：8已知抛物线的焦点为，过点斜率为的直线交该抛物线于，在第一象限），直线与圆交于点，在第一象限），为坐标原点，则与的面积之比为ABCD解：由抛物线的方程可得，则可得直线的方程为：，与抛物线方程联立可得：，解得，因为点在第一象限，所以，所以，又由圆的方程可得圆心为，半径，所以，因为三角形的面积为，又，四点共线，所以，所以，故选：二、 多选题9已知抛物线的准线方程为，焦点为，为坐标原点，是
5、上两点，则下列说法正确的是A点的坐标为B若，则的中点到轴距离的最小值为8C若直线过点，则以为直径的圆过点D若直线与的斜率之积为，则直线过点解：抛物线的准线方程为，的解析式为：，对于：准线方程为，故焦点，故正确；对于：设，则，整理得：，故，故中点为，当且仅当时“”成立，故错误；对于：设，则，则，的中点到的距离，故以为直径的圆不过点，故错误；对于，故，即，过，故正确故选：10已知抛物线的准线为，焦点为，原点为，过的直线交抛物线于点、，在第一象限，分别过、作准线的垂线于、，直线的倾斜角为则下列说法正确的是ABC、三点共线D以为直径的圆与轴相切解：设，由题意知，直线的方程为，且，将其与联立，消去得，即
6、，由解得，代入得，解得，即选项正确；把，分别代入中，可得，由选项可知，即选项错误；准线于，、三点共线，即选项正确；，线段的中点坐标为，线段的中点横坐标恰为的一半，以为直径的圆与轴相切，即选项正确故选：11已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的，两点，在线段上，点为在上的射影，下列命题正确的是A若，则B若，三点共线，则C若，则D对于任意直线，都有解：如图示：由题意的焦点为，准线，不妨设，联立，则，即，则，设，对于，则，整理得：，则，假设，则直线的斜率为1，即时，解方程，得，故，故错误；对于：点为在上的射影，则，三点共线时，有，解得：，故，故，故正确；对于：作于，由，得，故，故正确；
7、对于：由，而，由，得，解得：，故，故正确；故选：12已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为、，下列说法正确的是ABC直线的斜率为D线段中点的横坐标为1解：由准线上的点的坐标可得准线方程为，即，解得，所以不正确；所以抛物线的方程为；显然过点的切线的斜率存在且不为0，设过的切线方程为，联立，整理可得，则，可得，所以，所以与垂直，所以正确；设，则，抛物线的方程，即，所以，切线的方程为，即，将点代入可得，同理切线的方程为，所以直线的方程为，所以直线的斜率为，所以正确；中，因为直线的斜率为，所以，即线段的中点的横坐标为1，所以正确，故选：三、 填空题13已知为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足
8、若这样的点有且只有一个，则实数的值为解：设，由抛物线的性质，可得，由，得，把代入，可得：点有且只有一个，方程有两相等实数根则，整理得，解得故答案为：14已知为抛物线的焦点，过作斜率为的直线和抛物线交于，两点，延长，交抛物线于，两点，直线的斜率为若，则解：设过点作斜率为的直线方程为：，联立方程，消去可得：，设，设，则，同理，设所在的直线方程为，联立方程，消去得：，同理可得，则15已知圆，抛物线，抛物线焦点是，过点的直线与抛物线交于点、，与圆交于点、，点、在第一象限，则的最小值是解：由抛物线方程可得，当直线的斜率存在时，设的方程为，代入，整理得，设，又圆的半径等于1，因此，当且仅当，即时等号成立当直线的斜率不存在时，可求得综上，的最小值为22故答案为：2216已知点，为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，若，则的取值范围是 解：由题意知，设，直线的方程为，由，得，由，得，即，解得，又，即的取值范围是，故答案为：，
