1、4.万有引力理论的成就 知识导图 核心素养物理观念：球体体积、密度公式、万有引力定律和向心力公式科学思维：(1)万有引力提供向心力(2)计算天体的质量和密度的方法科学探究：探究求天体质量的方法及探索未知天体科学态度与责任：万有引力定律在天体问题中的应用.知识点一 天体质量的计算阅读教材第 4142 页“科学真是迷人”及第 42 页“计算天体的质量”部分，回答下列问题1地球质量的计算(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力(2)关系式：mg.GMmR2(3)结果：M，只要知道，g、R、G 的值，就可计算出地球的质量(4)推广：若已知星体体表重力加速度 g，
2、球体半径 R，引力常量 G 就可计算该星体的质量gR2G若忽略地球自转的影响，在地球表面上质量为 m 的物体所受的重力 mg 等于地球对物体的引力，即 mgGMmR2，所以有 MgR2G，只要测出 G，便可“称量”地球的质量2太阳质量的计算(1)思路：质量为 m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力(2)关系式：GMmr2.(3)结论：M.只要知道行星绕太阳运动的周期 T 和半径 r 就可以计算出太阳的质量(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期 T 和卫星与行星之间的距离 r，可计算行星的质量 M，公式是 M.m42T2 r42r3GT242r3GT2知识点二 发现未
3、知天体阅读教材第 4243 页“发现未知天体”部分，回答下列问题1已发现天体的轨道推算18 世纪，人们观测到太阳系第七颗行星天王星的轨道和用万有引力定律计算出来的轨道有一些偏差2未知天体的发现根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出未知天体的轨道，如就是这样发现的3哈雷彗星的回归1705 年，英国天文学家哈雷根据计算出了一颗著名彗星的轨道并正确预言了它的回归，这就是哈雷彗星海王星万有引力定律【活学活用】(1)在不考虑地球自转的影响时，地面上的物体的重力等于地球对该物体的万有引力()(2)知道引力常量 G、地球的公转周期和轨道半径，就可以求出太阳质量()(3)知道引力常量 G、地球的公转
4、周期和轨道半径，就可以求出地球质量()(4)知道引力常量 G、地球的半径和地球表面的重力加速度，就可以求出地球质量()(5)被称为“笔尖下发现的行星”的是海王星()学习任务一 天体质量和密度的计算探究点 如图所示是月球绕地球运动的情景(1)天体实际做何运动？而我们通常可以看作什么运动？(2)根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种方法？(3)应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是什么？(4)以月球绕地球运行为例，请你应用天体运动的动力学方程万有引力充当向心力，写出所有可能的表达式(5)根据上面的推导，月球绕地球运动的动力学方程有多个，如：Fmv2r、Fm2r，Fm42rT2，我们通常选择
5、哪个方程来计算地球的质量？为什么？提示：(1)天体实际运动是沿椭圆轨道的，而我们在通常情况下可以将其看作匀速圆周运动(2)一般有三种方法，即anv2r；an2r；an42T2 r.(3)根据环绕天体运动的情况，求出向心加速度，然后根据万有引力充当向心力，进而列方程求解(4)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为 T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即GM地m月r2m 月r2T2，可求得地球质量 M 地42r3GT2.若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径 r 和月球运行的线速度 v，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得 GM地m月r2m 月v2r.解得地球的
6、质量为 M 地rv2G.若已知月球运行的线速度 v 和运行周期 T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得GM地m月r2m 月r2T2，v2rT，联立以上两式解得 M 地 v3T2G.(5)由于天文观测中月球绕地球运动的线速度 v、角速度 不易观测，但月球绕地球运动的周期 T 比较容易观测出来，所以我们应该用 Fmr42T2 来计算地球质量1天体质量的计算(1)重力加速度法若已知天体(如地球)的半径 R 及其表面的重力加速度 g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的万有引力，得mgGMmR2，解得天体的质量为 MgR2G，g、R 是天体自身的参量，所
7、以该方法俗称“自力更生法”(2)环绕法借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”常见的情况如下：万有引力提供向心力中心天体的质量说明 GMmr2 mv2rMrv2GGMmr2 m2rM2r3GGMmr2 m42T2rM42r3GT2r 为行星(或卫星)的轨道半径，v、T 为行星(或卫星)绕中心天体运动的线速度、角速度和周期“环绕法”求得的是中心天体的质量，而不能求绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)的质量2.天体密度的计算若天体的半径为 R，则天体的密度 M43R3，将 M42r3GT2 代入上式可得 3r3GT2R3.特殊情况，当卫星环绕天体表面运动时，
8、卫星的轨道半径 r可认为等于天体半径 R，则 3GT2.点拨：(1)计算天体质量的方法不仅适用于计算地球和太阳的质量，也适用于其他星体(2)注意区分 R、r、h 的意义，一般情况下，R 指中心天体的半径，r 指行星(或卫星)的轨道半径，h 指行星(或卫星)距离中心天体表面的高度，rRh.不同环绕天体与中心天体的距离r和绕中心天体运转的周期T 都是各不相同的但由不同环绕天体的 r、T 计算出来的中心天体质量必须是一样的！【例 1】木星是绕太阳公转的行星之一，而木星的周围又有卫星绕木星公转如果要通过观测求得木星的质量，需要测量哪些量？试推导用这些量表示的木星质量的计算式【解析】需测量木星卫星的轨道
9、半径 r 和周期 T.设木星质量为 M、卫星质量为 m.根据万有引力定律和牛顿第二定律得：GMmr2 mr42T2，所以M42r3GT2.【答案】见解析拓展 若人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度为 v，周期为 T，球半径为 R，引力常量为 G.求：(1)该卫星离地面的高度(2)地球的质量和密度解析：(1)由 v2RhT得 hvT2R(2)由 GMmRh2m2T2(Rh)又 RhvT2，得 M42T2G(Rh)3 v3T2G又 M43R3，可得 3v3T82GR3答案：(1)hvT2R(2)M v3T2G 3v3T82GR3点拨：天体密度的计算可以说是天体质量计算的延伸，它可以借助于天体质
10、量的计算，也可以用自己特有的规律进行运算【例 2】(多选)2011 年 7 月在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星，某同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较下列计算火星密度的式子，正确的是(引力常量 G 已知，忽略火星自转的影响)()A 3g02Gd Bg0T23d C 3GT2 D6Md3【解析】由 MV，V43d23，得 6Md3，D 正确；由 GMmd22mg0，MV，V43d23，联立解得 3g02Gd，A 正确；根据近地卫星的周期与中心天体密度的关系 3GT2可知，C 正确【答案】ACD点拨：抓住要点，建立物理模型，利用环绕天体的相关物理
11、量可计算出中心天体的质量变式训练 1(多选)下列几组数据中能算出地球质量的是(引力常量 G 已知)()A地球绕太阳运行的周期 T 和地球中心离太阳中心的距离rB月球绕地球运行的周期 T 和地球的半径 RC月球绕地球运行的角速度 和轨道半径 rD月球绕地球运行的周期 T 和轨道半径 r解析：已知地球绕太阳运行的周期 T 和地球中心离太阳中心的距离 r，根据 Gm太m地r2m 地r2T2，不能算出地球质量，可计算出太阳的质量已知月球绕地球运行的周期 T 和月球绕地球运行的轨道半径 r，根据 Gm地m月r2m 月r2T2，可计算出地球的质量利用月球绕地球运行的周期 T 和地球的半径 R，不能算出地球
12、的质量已知月球绕地球运动的角速度 和轨道半径 r，根据 Gm地m月r2m 月r2，可计算出地球的质量综上，能算出地球质量的是 C、D 两项答案：CD学习任务二 天体运动各物理量与轨道半径的关系1掌握一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型2记住两组公式(1)GMmr2 mv2r m2rm42T2 rman(2)mgGMmR2(g 为星体表面处的重力加速度)即 GMR2g，该公式通常被称黄金代换3四个重要结论：设质量为 m 的天体绕另一质量为 M 的中心天体做半径为 r 的匀速圆周运动(1)由 GMmr2 mv2r 得 vGMr，r 越大，天体的 v 越小(2)由 GMmr2
13、 m2r 得 GMr3，r 越大，天体的 越小(3)由 GMmr2 m2T2r 得 T2 r3GM，r 越大，天体的 T 越大(4)由 GMmr2 ma 得 aGMr2，r 越大，天体的 a 越小4总结 8 个字：越高越慢，一定全定r 火r 地，v 火v 地，火 地，a 火T 地越高越慢由四个重要推论中 v、T、a 的表达式可知 r 一定，v、T、a 就全定了，即一定全定【例 3】如图所示，a、b、c 是环绕地球圆形轨道上运行的 3 颗人造卫星，它们的质量关系是 mambmc，则下列说法正确的是()Ab、c 的线速度大小相等，且大于 a 的线速度Bb、c 的周期相等，且小于 a 的周期Cb、c
14、 的向心加速度大小相等，且大于 a 的向心加速度Db 所需向心力最小【解析】A 错：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设卫星的质量为 m、轨道半径为 r、地球质量为 M，根据GMmr2mv2r 得：vGMr，因为 ravbvc.B 错：根据GMmr2 m2T2r 得：T42r3GM，因为 rarbrc，所以 TaTbTc.C 错：根据GMmr2 ma 得：aGMr2，因为 raabac.D 对：根据 FGMmr2，因为 rarbrc，mambmc，所以 b 所需向心力最小【答案】D变式训练 2 2019全国卷，15金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速
15、度大小分别为 a金、a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为 v 金、v 地、v 火已知它们的轨道半径 R 金R 地a 地a 火 Ba 火a 地a 金Cv 地v 火v 金 Dv 火v 地v 金解析：本题考查万有引力定律和匀速圆周运动，体现了物理模型建构、科学推理等核心素养行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即 GMmR2ma 向mv2R，解得 a 向GMR2，vGMR，由于 R 金R 地a 地a 火，v 金v 地v 火，选项 A 正确答案：A点拨：若已知量或待求量中涉及 v 或 或 T，则应考虑从 GMmr2 mv2r m2rm42T2 r 中选择相应公式应用涉及绕同一个中心天体做
16、匀速圆周运动的行星或卫星的计算问题时，若已知量或待求量中涉及重力加速度 g，则应考虑黄金代换式 gR2GMmgGMmR2 的应用1.2019杭州检测若太阳质量为 M，某行星绕太阳公转周期为 T，轨道可视为半径为 r 的圆已知万有引力常量为 G，则描述该行星运动的上述物理量满足()AGM42r3T2 BGM42r2T2CGM42r2T3 DGM4r3T2解析：行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供向心力，有 GMmr2 m42T2 r，所以 GM42r3T2，选项 A 正确答案：A2小行星绕恒星运动，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运
17、动则经过足够长的时间后，小行星运动的()A半径变大B速率变大C角速度变大 D加速度变大解析：因恒星质量 M 减小，所以万有引力减小，不足以提供行星所需向心力，行星将做离心运动，半径 R 变大，A 项正确，再由 vGMR，GMR3，aGMR2 可知，速率、角速度、加速度均变小，故 B、C、D 均错误答案：A3(多选)下列说法正确的是()A海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的B天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道发现的C天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用D以上说法都不对解析：海王星是人们先根据万有引力定律计算出轨道，然后又被
18、天文工作者观察到的天王星是人们通过望远镜观察发现的天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道引起了人们的思考，推测天王星外面存在其他行星综上所述，选项 A、C 正确答案：AC4.(多选)澳大利亚科学家近日宣布，在离地球约 14 光年的“红矮星 Wolf 1061”周围发现了三颗行星 b、c、d，它们的公转周期分别是 5 天、18 天、67 天，公转轨道可视为圆，如图所示已知引力常量为 G.下列说法正确的是()A可求出 b、c 的公转半径之比B可求出 c、d 的向心加速度之比C若已知 c 的公转半径，可求出“红矮星”的质量D若已知 c 的公转半径，可求出“红矮星”的密度解析：行星 b、c
19、 的周期分别为 5 天、18 天，均做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律R3T2k，可以求出轨道半径之比，A 正确行星 c、d 的周期分别为 18 天、67 天，同上可以求出轨道半径之比，根据万有引力提供向心力，有 GMmr2 ma，解得 aGMr2，故可以求出 c、d 的向心加速度之比，B 正确已知 c 的公转半径和周期，根据牛顿第二定律有 GMmr2 m42T2，解得 M42r3GT2，故可以求出“红矮星”的质量，但不知道“红矮星”的体积，无法求出“红矮星”的密度，C 正确，D 错误答案：ABC52019湖南长沙长郡中学检测“嫦娥五号”探测器预计在 2019 年发射升空，自动完成月面样品采集后从月球起飞，返回地球，带回约 2 kg 月球样品某同学得到了一些信息，如表格中的数据所示，则地球和月球的密度之比为()地球和月球的半径之比4地球表面和月球表面的重力加速度之比6A.23 B.32C4 D6解析：在星球表面有：GMmR2 mg，则 MgR2GMVgR2G4R33 3g4GR，则地月g地g月R月R地32选项 B 正确答案：B
