1、63.2平面向量的正交分解及坐标表示63.3平面向量加、减运算的坐标表示新课程标准解读核心素养1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示数学抽象2.会用坐标表示平面向量的加、减运算数学运算如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2.问题这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？知识点一平面向量坐标的相关概念1在直角坐标平面内，O为原点，向量的坐标与点A的坐标有什么关系？提示：设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标2向量的坐标与向量终点的坐标一致吗？提示：向量的起点为原点时，向量的坐标与向
2、量终点的坐标一致；否则不一致3如果axiyj，那么能不能说向量a的坐标为(x，y)，即a(x，y)?提示：不能因为i，j不一定是与x轴，y轴方向相同的两个单位向量在平面直角坐标系中，若i，j是与x轴，y轴正方向相同的单位向量，且a2i6j，b5j，c4i，则向量a，b，c的坐标分别是_，_，_答案：(2，6)(0，5)(4，0)知识点二平面向量的坐标运算若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：(1)ab(x1x2，y1y2)；(2)ab(x1x2，y1y2)，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；(3)向量坐标的几何意义：如图所示，在平面直角坐标系中，若A(x1，y1)
3、，则(x1，y1)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同()(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关()(4)点的坐标与向量的坐标相同()答案：(1)(2)(3)(4)2已知向量a(1，2)，b(3，1)，则ba()A(2，1)B(2，1)C(2，0) D(4，3)答案：B3已知(1，2)，A(3，4)，则B点坐标是_解析：设B点的坐标为(x，y)，则(x3，y4)(1，2)解得B点的坐标是(4，6)答案：(4，6)
4、平面向量的坐标表示例1(链接教科书第29页例3)(1)已知向量a在射线yx(x0)上，且起点为坐标原点O，又|a|，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，则向量a的坐标为()A(1, 1)B(1，1)C(，) D(，)(2)如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是_(填序号)向量a可以表示为aminj；只有当a的起点在原点时a(x，y)；若a，则终点A的坐标就是向量a的坐标解析(1)由题意，a(cos 45)i(sin 45)jij(1，1)(2)由平面向量的基本定理知，有且只有
5、一对实数m，n，使得aminj，所以正确当a时，均有a(x，y)，所以错，正确答案(1)A(2)求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标；(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标 跟踪训练1如图，向量a，b，c的坐标分别是_，_，_解析：将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a4i0j，a(4，0)，b0i6j，b(0，6)，c2i5j，c(2，5)答案：(4，0)(0，6)(2，5)2已知O是坐标原点，点A在第一象限，|4，xOA60，(1)求向量的坐标；(2)若B(，1)
6、，求的坐标解：(1)设点A(x，y)，则x4cos 602，y4sin 606，即A(2， 6)，(2， 6)(2)B(，1)，(，1)，则(2， 6)(， 1)(， 7).平面向量的坐标运算例2(链接教科书第29页例4)(1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4) B(7，4)C(1，4) D(1，4)(2)若ab(3，4)，ab(5，2)，则向量a_，向量b_解析(1)法一：设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，即x4，y2，故C(4，2)，则(7，4)故选A.法二：因为(3，1)，所以(7，4)，故选A.(2)ab(3，4)，ab(5，2)由，得a(
7、3，4)(5，2)(1，1)；由，得b(3，4)(5，2)(4，3)答案(1)A(2)(1，1)(4，3)平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行；(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算；(3)求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标 跟踪训练已知A(1，2)，B(2，1)，C(3，2)和D(2，3)，试用坐标来表示.解：(3，5)，(4，2)，(5，1)，(3，5)(4，2)(5，1)(12，8).平面向量坐标运算的应用例3(链接教科书第30页例5)已知点A(2，3)，B(5，4)，(5，7)若(R)，试求为何值时：(1)点P在第一、三象限的角平分线上；(2)点P在第三象限内解设点P的坐标为(x，y)，则(x，y)(2，3)(x2，y3)，(5，4)(2，3)(5，7)(3，1)(5，7)(35，17)，且与不共线，则(1)若点P在第一、三象限角平分线上，则5547，.(2)若点P在第三象限内，则0，(x2x1)0，点A位于第四象限答案：四
