1、考点一 运用导数解决函数的极值问题 常考常新型考点多角探明 第二课时 导数与函数的极值、最值函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题常见的命题角度有：(1)知图判断函数极值；(2)已知函数求极值；(3)已知极值求参数解析：由图可知，当 x2 时，f(x)0；当2x1 时，f(x)0；当 1x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0.由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大值，在 x2 处取得极小值答案：D角度二：已知函数求极值2已知函数 f(x)xaln x(aR)(1)当 a2 时，求曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程
2、；(2)求函数 f(x)的极值解：由题意知函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1ax.(1)当 a2 时，f(x)x2ln x，f(x)12x(x0)，因为 f(1)1，f(1)1，所以曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程为 y1(x1)，即 xy20.(2)由 f(x)1axxax，x0 知：当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值；当 a0 时，由 f(x)0，解得 xa.又当 x(0，a)时，f(x)0；当 x(a，)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大值综上，当 a0
3、时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值解析：x2是函数f(x)x33ax2的极小值点，即x2是f(x)3x23a0 的根，将 x2 代入得 a4，所以函数解析式为 f(x)x312x2，则由 3x2120，得 x2，故函数在(2,2)上是减函数，在(，2)，(2，)上是增函数，由此可知当 x2 时函数 f(x)取得极大值 f(2)18答案：D4若函数 f(x)13ax3ax2(2a3)x1 在 R 上存在极值，则实数 a 的取值范围是_解析：由题意知，f(x)ax22ax2a3，因为函数 f(x)13ax3ax2(2a3)x1 在
4、R 上存在极值，所以 f(x)0 有两个不等实根，其判别式 4a24a(2a3)0，所以 0a3，故实数 a 的取值范围为(0,3)答案：(0,3)考点二 运用导数解决函数的最值问题 重点保分型考点师生共研(2015大连双基测试)已知函数 f(x)xaex(a0)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)求函数 f(x)在1,2上的最大值解：(1)f(x)xaex(a0)，则 f(x)1aex.令1aex0，则 xln 1a.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x，ln1aln1aln 1a，f(x)0f(x)极大值 故函数 f(x)的单调递增区间为，ln1a；单调递减区间为ln
5、1a，.(2)当 ln1a2，即 0a1e2时，f(x)maxf(2)2ae2；当 1ln 1a2，即1e2a1e时，f(x)maxf ln1a 1aln1a1a；当 ln1a1，即 a1e时，f(x)maxf(1)1ae.设函数 f(x)aln xbx2(x0)，若函数 f(x)在 x1 处与直线 y12相切，(1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f(x)在1e，e 上的最大值解：(1)f(x)ax2bx，函数 f(x)在 x1 处与直线 y12相切，f1a2b0，f1b12，解得a1，b12.(2)由(1)得 f(x)ln x12x2，则 f(x)1xx1x2x，当1exe 时，令 f
6、(x)0 得1ex1；令 f(x)0，得 1xe，f(x)在1e，1 上单调递增，在1，e 上单调递减，f(x)maxf(1)12.已知函数 f(x)ax2x3ln x，其中 a 为常数(1)当函数 f(x)的图象在点23，f 23 处的切线的斜率为 1 时，求函数 f(x)在32，3 上的最小值；(2)若函数 f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求 a的取值范围解：(1)f(x)a 2x23x，f23 a1，故 f(x)x2x3ln x，则 f(x)x1x2x2.由 f(x)0 得 x1 或 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x3232，22(2,3)3f(
7、x)0f(x)13ln 2 从而在32，3 上，f(x)有最小值，且最小值为 f(2)13ln 2.(2)f(x)a 2x23xax23x2x2(x0)，由题设可得方程 ax23x20 有两个不等的正实根，不妨设这两个根为 x1，x2，并令 h(x)ax23x2，则98a0，x1x23a0，x1x22a0或98a0，32a 0，h00，解得 0a98.故所求 a 的取值范围为0，98.已知函数 f(x)x3ax2bxc，曲线 yf(x)在点 x1 处的切线为 l：3xy10，若 x23时，yf(x)有极值(1)求 a，b，c 的值；(2)求 yf(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由 f
8、(x)x3ax2bxc，得 f(x)3x22axb.当 x1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2ab0，当 x23时，yf(x)有极值，则 f23 0，可得 4a3b40，由，解得 a2，b4.由于切点的横坐标为 1，所以 f(1)4.所以 1abc4，得 c5.(2)由(1)可得 f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令 f(x)0，解得 x12，x223.当 x 变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：x3(3，2)22，232323，11f(x)00f(x)8 13 9527 4所以 yf(x)在3,1上的最大值为 13，最小值为9527.结 束 “课后三维演练”见“课时跟踪检测(十五)”(单击进入电子文档)
