1、第二课时 抛物线的方程及性质的应用(习题课)与抛物线有关的轨迹问题例 1 设点 P(x，y)(y0)为平面直角坐标系 Oxy 内的一个动点(其中 O 为坐标原点)，点 P 到定点 M0，12 的距离比点 P 到 x 轴的距离大12.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)若直线 l：ykx1 与点 P 的轨迹相交于 A，B 两点，且|AB|2 6，求实数 k 的值解(1)过点 P 作 x 轴的垂线垂足为点 N，则|PN|y，由题意知|PM|PN|12，x2y122y12，化简得 x22y.故点 P 的轨迹方程为 x22y.(2)由题意设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立ykx1，x22y，消
2、去 y 化简得 x22kx20，x1x22k，x1x22.|AB|1k2（x1x2）24x1x2 1k2 4k282 6，k43k240，又 k20，k21，k1.求与抛物线有关的轨迹的方法及步骤(1)方法：直接法、定义法、代入法(相关点法)及参数法；(2)步骤：建系建立适当的坐标系；设点设轨迹上的任一点 P(x，y)；列式列出动点 P 所满足的关系式；代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x，y 的方程式，并化简；证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 跟踪训练1若动点 P 与定点 F(1，1)和直线 l：3xy40 的距离相等，则动点 P 的轨迹是()A椭圆 B双曲线
3、C抛物线D直线解析：选 D 法一：设动点 P 的坐标为(x，y)则（x1）2（y1）2|3xy4|10.整理，得 x29y24x12y6xy40，即(x3y2)20，x3y20.所以动点 P 的轨迹为直线 法二：显然定点 F(1，1)在直线 l：3xy40 上，则与定点 F 和直线 l 距离相等的动点 P 的轨迹是过 F 点且与直线 l 垂直的一条直线2若动圆 M 与圆 C：(x2)2y21 外切，又与直线 x10 相切，求动圆圆心的轨迹方程解：设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R，由已知可得定圆圆心为 C(2，0)，半径 r1.因为两圆外切，所以|MC|R1.又动圆 M 与已知直线 x10
4、 相切，所以圆心 M 到直线 x10 的距离 dR.所以|MC|d1.即动点 M 到定点 C(2，0)的距离等于它到定直线 x20 的距离 由抛物线的定义可知，点 M 的轨迹是以 C 为焦点，x20 为准线的抛物线，且p22，p4，故其方程为 y28x.与抛物线有关的定点(定值)问题角度一 定点问题例 2 已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F(1，0)，O 为坐标原点，A，B 是抛物线C 上异于 O 的两点(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线 OA，OB 的斜率之积为12，求证：直线 AB 过定点解(1)因为抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为(1，0)，所以p21，所以 p2
5、.所以抛物线 C 的方程为 y24x.(2)证明：当直线 AB 的斜率不存在时，设 At24，t，Bt24，t，因为直线 OA，OB 的斜率之积为12，所以tt24tt2412，化简得 t232.所以 A(8，t)，B(8，t)，此时直线 AB 的方程为 x8.当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 ykxb(k0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程y24x，ykxb，消去 x 化简得 ky24y4b0.根据根与系数的关系得 yAyB4bk，因为直线 OA，OB 的斜率之积为12，所以yAxAyBxB12，即 xAxB2yAyB0，即y2A4 y2B4 2yAyB0，解得 yAyB
6、0(舍去)或 yAyB32，所以 yAyB4bk 32，即 b8k，所以 ykx8k，即 yk(x8)，综上所述，直线 AB 过 x 轴上一定点(8，0)求与抛物线有关的定点问题的步骤 角度二 定值问题例 3 已知抛物线 C：y22px(p0)，过点(2，0)的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，且 OA OB2.(1)求抛物线 C 的方程；(2)点 M 坐标为(2，0)，直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2，求证：1k11k2为定值解(1)设 l 的方程为 xmy2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由xmy2，y22px，得y22pmy20.所以 y1y2
7、2pm，y1y24p.所以 OA OBx1x2y1y2y212py222py1y244p2，所以 p12，所以抛物线 C 的方程为 y2x.(2)证明：因为 M 坐标为(2，0)，所以1k11k2x12y1 x22y2 x1y2x2y12（y1y2）y1y2 y21y2y22y12（y1y2）y1y2（y1y22）（y1y2）y1y2，由(1)可得 y1y2m，y1y22，所以1k11k20 为定值求与抛物线有关的定值问题的步骤 跟踪训练1已知抛物线 y28x 的顶点为 O，点 A，B 在抛物线上，且 OAOB，求证：直线AB 经过一个定点证明：设直线 OA 的斜率为 k，则直线 OB 的斜率
8、为1k，直线 OA 的方程为 ykx，由ykx，y28x，得 A8k2，8k，同理可得 B(8k2，8k)，于是直线 AB 的方程为 y8k8k8k8k28k2(x8k2)，整理可得 yk1k2(x8)，因此直线 AB 经过定点(8，0)2.如图，已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 P(2，0)的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线 AF，BF 分别与抛物线交于点 M，N.(1)求 y1y2 的值；(2)连接 MN，记直线 MN 的斜率为 k1，直线 AB 的斜率为 k2，证明：k1k2为定值解：(1)依题意，设 AB 的方程为 xmy2，代入 y24x，得 y2
9、4my80，从而 y1y28.(2)证明：设 M(x3，y3)，N(x4，y4)，k1k2y3y4x3x4x1x2y1y2y3y4y234y244y214y224y1y2y1y2y3y4，设直线 AM 的方程为 xny1，代入 y24x，消去 x 得 y24ny40，所以 y1y34，同理 y2y44，k1k2y1y2y3y4 y1y24y1 4y2y1y24，由(1)知 y1y28，所以k1k22 为定值.与抛物线有关的最值(范围)问题角度一 最值问题例 4 如图，已知直线 l：y2x4 交抛物线 y24x 于 A，B 两点，试在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P，使PAB 的面积最大，并
10、求出这个最大面积解 由y2x4，y24x，解得x4，y4或x1，y2.由题图可知，A(4，4)，B(1，2)，则|AB|3 5.设 P(x0，y0)为抛物线 AOB 这段曲线上一点，d 为点 P 到直线AB 的距离，则 d|2x0y04|5 15y202y04 12 5|(y01)29|.2y04，(y01)294，DAB 的面积 S 的取值范围为(4，)答案(4，)解决抛物线中的范围问题应考虑的五个方面(1)利用抛物线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等
11、式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围 跟踪训练1设直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是()A(1，3)B(1，4)C(2，3)D(2，4)解析：选 D 当直线 l 的斜率不存在时，这样的直线 l 恰有 2 条，即 x5r，所以 0r2，又 y204x0，即 r2412，所以 0r4，又 0r2，所以 2r0.SAOB
12、122aa24 16，解得 a4，AOB 为等腰直角三角形，AOB90.2已知定点 F(1，0)，动点 P 在 y 轴上运动，点 M 在 x 轴上，且PM PF0，延长MP 到点 N，使得|PM|PN|，则点 N 的轨迹方程是_解析：由于|PM|PN|，则 P 为 MN 的中点设 N(x，y)，则 M(x，0)，P0，y2，由PM PF0，得x，y2 1，y2 0，所以(x)1y2 y2 0，则 y24x，即点 N 的轨迹方程是 y24x.答案：y24x3已知动点 P 在 y 轴的右侧，且点 P 到 y 轴的距离比它到点 F(1，0)的距离小 1.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)设
13、斜率为1 且不过点 M(1，2)的直线交 C 于 A，B 两点，直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k20.解：(1)依题意动点 P 的轨迹是抛物线(除原点)，其焦点为 F(1，0)，准线为 x1，设其方程为 y22px(p0)，则p21，解得 p2，所以动点 P 的轨迹 C 的方程是 y24x(x0)(2)证明：设直线 AB：yxb(b3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由y24x，yxb，得 yy24b，即 y24y4b0，1616b0，所以 b1，y1y24，因为 x1y214，x2y224，所以 k1k2y22y2241y12y2141 4（y22）y2244（y12）y214 4y224y12 4（y12y22）（y22）（y12）0.因此 k1k20.
