1、第四章 平面向量 第3节 平面向量的数量积及应用考纲了然于胸1理解平面向量数量积的含义及物理意义；2了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积 的运算；4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系要点梳理1向量的夹角(1)定义已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，如图所示，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，也可记作a，b.(2)范围向量夹角 的范围是0，a 与 b 同向时，夹角 0；a与 b 反向时，夹角.(3)垂直关系如果非零向量 a 与 b 的夹角是 90，我们说 a 与 b 垂直，记作 ab.2平面向量的
2、数量积(1)数量积的定义已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为，则向量 a 与 b的数量积是数量|a|b|cos，记作 ab，即 ab|a|b|cos.(2)向量的投影设 为 a 与 b 的夹角，则向量 a 在 b 方向上的投影是|a|cos；向量 b 在 a 方向上的投影是|b|cos.(3)数量积的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积.3平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量 a、b 的夹角.向量表示坐标表示数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2模|a|aa|a|x21
3、y21夹角cos ab|a|b|cos x1x2y1y2x21y21 x22y22向量表示坐标表示ab 的充要条件ab0 x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|(当且仅当 ab时等号成立)|x1x2y1y2|x21y21 x22y224平面向量数量积的运算律已知向量 a、b、c 和实数，则：(1)交换律：abba；(2)结合律：(a)b(ab)a(b)；(3)分配律：(ab)cacbc.质疑探究：对于非零向量 a、b、c.(1)若 acbc，则 ab 吗？(2)(ab)ca(bc)恒成立吗？提示：(1)不一定有 ab，因为 acbcc(ab)0，即c 与 ab 垂直，但不
4、一定有 ab.因此向量数量积不满足消去律(2)因为(ab)c 与向量c共线，(bc)a与向量a 共线所以(ab)c与 a(bc)不一定相等，即向量的数量积不满足结合律5向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹角等问题6平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的_相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，这是力 F 与位移 s 的数量积即WFs|F|s|cos(为 F 与 s 的夹角)加法和减法小题查验1下面结论正确的个数有()(1)向量在另一个向
5、量方向上的投影为数量，而不是向量(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量(3)由 ab0 可得 a 0或 b 0.(4)(ab)ca(bc)(5)两个向量的夹角的范围是0，2A1 B2 C3 D5解析 结论(1)、(2)正确答案 B2(2015高考山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则BD CD()A32a2B34a2C.34a2D.32a2解析 ABCD 为菱形，B60，边长为 a|BD|3a，BD 与CD 夹角为 30，BD CD|BD|CD|cos 30 3aa 32 32a2答案 D3已知|a|4，|b|3，a 与 b 的夹角为 120
6、，则 b 在 a 方向上的投影为()A2 B.32C2 D32解析 b 在 a 方向上的投影为|b|cos 12032.故选 D.答案 D4设向量 a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|_.解析 ac(1,2m)(2，m)(3,3m)(ac)b，(ac)b(3,3m)(m1,1)6m30，m12.a(1，1)，|a|2.答案 25已知向量 a、b 满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则 a 与 b 的夹角为_解析 由(a2b)(ab)6 得 a22b2ab6.|a|1，|b|2，1222212cosa，b6，cosa，b12.a，b0，a，b3.答案 3
7、考点一 平面向量的数量积的运算(基础型考点自主练透)方法链接向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 ab|a|ba，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2.提醒(1)在向量数量积的运算中，若 abac(a 0)，则不一定得到 bc.(2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c 不一定等于 a(bc)题组集训1(2016南昌市模拟)已知向量 e1(cos 4，sin 3)，e2(2sin 4，4cos 3)，则 e1e2_.解析 由向量数量积公式得
8、e1e2cos 42sin 4sin 64cos 3 22 21222.答案 22(2016昆明市调研)已知向量 a，b 的夹角为 120，且|a|1，|b|2，则向量 ab 在向量 ab 方向上的投影是_解析 依题意得(ab)(ab)a2b23，(ab)2a2b22ab3，即|ab|3，向量 ab 在向量 ab 方向上的投影是abab|ab|33 3.答案 34(2016石家庄市质检)在矩形 ABCD 中，AB2，BC1，E 为 BC 的中点，若 F 为该矩形内(含边界)任意一点，则AEAF的最大值为_解析 如图，以 A 为坐标原点，AB所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则E(2，12)
9、，设 F(x，y)，则0 x20y1，AEAF2x12y，令 z2x12y，当 z2x12y 过点(2,1)时，AEAF取最大值92.答案 92考点二 平面向量数量积的性质(高频型考点多角探明)考情聚焦平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直角度一 平面向量的模1已知平面向量 a，b 的夹角为6，且|a|3，|b|2，在ABC 中，AB2a2b，AC2a6b，D 为 BC 中点，则|AD|等于()A2 B4 C6 D8解析 因为AD 12(ABAC)12(2a2
10、b2a6b)2a2b，所以|AD|24(ab)24(a22bab2)4(322 3cos64)4，则|AD|2.答案 A2(2014北京高考)已知向量 a，b 满足|a|1，b(2,1)，且 ab 0(R)，则|_.解析|a|1，可令 a(cos，sin)，ab 0.cos 20，sin 10，即cos 2，sin 1.由 sin2cos21 得 25，得|5.答案 5角度二 平面向量的夹角3向量 a，b 均为非零向量，(a2b)a，(b2a)b，则a，b 的夹角为()A.6 B.3 C.23 D.56解析(a2b)a|a|22ab0，(b2a)b|b|22ab0，所以|a|2|b|2，即|a
11、|b|，故|a|22ab|a|22|a|2cos a，b0，可得 cosa，b12，又因为 0a，b，所以a，b3.答案 B4(2014江西高考)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为，且cos 13，向量 a3e12e2 与 b3e1e2 的夹角为，则 cos _.解析 因为 a2(3e12e2)29232cos 49，所以|a|3，b2(3e1e2)29231cos 18，所以|b|2 2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e219e1e22e2299111328，所以 cos ab|a|b|832 22 23.答案 2 23角度三 平面向量的垂直5(2014重庆高考)已知向量 a(k,
12、3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数 k()A92B0 C3 D.152解析 因为 2a3b(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得 k3，选 C.答案 C6在直角三角形 ABC 中，已知AB(2,3)，AC(1，k)，则 k 的值为_解析 当 A90时，ABAC，ABAC0.213k0，解得 k23.当 B90时，ABBC，又BCACAB(1，k)(2,3)(1，k3)，ABBC2(1)3(k3)0，解得 k113.当 C90时，ACBC，1(1)k(k3)0，即 k23k10.k3 132.答案 23或113 或3 132.通关锦囊平面
13、向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos ab|a|b|，要注意 0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2 或|a|aa.|ab|ab2 a22abb2.若 a(x，y)，则|a|x2y2.题组集训1(2016石家庄质检)已知向量 a、b 的夹角为 45，且|a|1，|2ab|10，则|b|()A3 2B2 2C.2D1解析 因为 a、b 的夹角为 45，且|a|1，|2ab|10，所以 4a24abb210，即|b|22 2|b|60，解得|b|3 2或|b|2(舍)，
14、故选 A.答案 A2(2016武汉调研)已知向量 a，b，满足|a|3，|b|2 3，且 a(ab)，则 a 与 b 的夹角为()A.2B.23C.34D.56解析 a(ab)a(ab)a2ab|a|2|a|b|cosa，b0，故 cosa，b 96 3 32，故所求夹角为56.答案 D考点三 数量积的综合应用(重点型考点师生共研)【例】(1)已知向量 a，b 是夹角为 60的两个单位向量，向量 ab(R)与向量 a2b 垂直，则实数 的值为()A1 B1 C2 D0(2)(2016郑州市质检)在ABC 中，若AB 2ABACBABCCACB，则ABC 是()A等边三角形B锐角三角形C钝角三角
15、形D直角三角形解析(1)由题意可知 ab|a|b|cos 6012，而(ab)(a2b)，故(ab)(a2b)0，即 a2ab2ab2b20，从而可得 12120，即 0.(2)依题意得AB 2AB(ACCB)CACBAB 2CACB，所以CACB0，CACB，ABC 是直角三角形，故选 D.答案(1)D(2)D【名师说“法”】(1)若a，b为非零向量，则abab0；若非零向量a(x1，y)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径(3)向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可用来解
16、决几何中的线线垂直问题跟踪训练(1)(2016荆州质检)已知向量 a 与 b 的夹角是23，且|a|1，|b|4，若(2ab)a，则实数 _.(2)(2016厦门质检)已知点 O，N，P 在ABC 所在的平面内，且|OA|OB|OC|，NANBNC 0，PAPBPBPCPCPA，则点 O，N，P 依次是ABC 的()A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心解析(1)若 a(2ab)，则 a(2ab)0，即 2|a|2|a|b|cos23 0，214(12)0，1.(2)因为|OA|OB|OC|，所以点 O 到三角形的三个顶点的距离相等，所以 O 为三角形 ABC
17、 的外心；由NA NB NC 0，得NA NB NC CN，由中线的性质可知点 N 在三角形 AB 边的中线上，同理可得点 N 在其他边的中线上，所以点 N 为三角形 ABC 的重心；由PAPBPBPCPCPA，得PAPBPBPCPBCA0，则点 P 在 AC 边的垂线上，同理可得点 P 在其他边的垂线上，所以点 P 为三角形ABC 的垂心答案(1)1(2)C易错警示 8 数量积的正负与向量夹角关系不清典例(2016江西省七校联考)已知 a(3,2)，b(2，1)，若向量 ab 与 ab 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是_正解 依题意，(ab)(ab)a2b2(21)ab0，即 421840
18、，由此解得 9 654或 9 654.注意到当 ab 与 ab 同向共线时，1，(ab)(a b)0.因此，所求的实数 的取值范围是 9 654或 9 654且 1.答案 9 654或 9 654且 1易错分析 此题易忽略 1 时，有 ab 与 a b 同向防范措施 向量数量积正负与向量夹角是钝角、锐角不等价，如：mn0 时，其m，n可为锐角，也可为 0，mn0，其m，n可为钝角，也可为.此类题要考虑 m 与 n 共线情况课堂小结【方法与技巧】1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2
19、，将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧4向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题5以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法6向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题【失误与防范】1(1)0 与实数 0 的区别：0a 00，a(a)00，a00 0；(2)0 的方向是任意的，并非没有方向，0 与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系2ab0 不能推出 a 0或 b 0，因为 ab0 时，有可能 ab.3abac(a 0)不能推出 bc，即消去律不成立4注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价5注意向量共线和两直线平行的关系；两向量 a，b 夹角为锐角和 ab0 不等价课时活页作业(二十六)点击图标进入 谢谢观看！
