1、第四章 平面向量 第2节 平面向量基本定理及坐标表示考纲了然于胸1了解平面向量的基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件要点梳理1.平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个_的向量，那么该平面内的任一向量a，_的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组_，记为e1，e2a1e1a2e2叫作向量a关于基底e1，e2的分解式不平行存在唯一基底质疑探究 已知两个不共线的向量 e1，e2 为平面内所有向量的一组基底，可以表示出平面向量 a，b，
2、那么一定能用 a，b 作为平面内所有向量的一组基底吗？为什么？提示：不一定，用不共线向量 e1，e2 表示的向量 a，b 可能共线，也可能不共线，当 a 与 b 共线时不能，如 ae132e2，b2e13e2.2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|x21y21.(2)向量坐标的求法一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)，|AB|x2x12y2y12.3平面向量共线的坐标表示设
3、a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.ab x1y2x2y10.小题查验1下面结论正确的个数为()(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底(2)在ABC 中，向量AB，BC的夹角为ABC.(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成x1x2y1y2.(5)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则 12，12.()A0 B1 C4 D5解析 仅有(5)正确答案 B2(2015新课标卷)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC(4，3)，则向量BC()A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)解析 A
4、B(3,1)，BCACAB(4，3)(3,1)(7，4)，故选 A.答案 A3(2016宁德质检)设向量 a(2,1)，b(1，y)，若 ab，则 y 的值为()A2 B2 C.12D12解析 由 ab，得 2y1，解得 y12.故选 D.答案 D4在ABCD 中，AC 为一条对角线，AB(2,4)，AC(1,3)，则向量BD 的坐标为_解析 ABBCAC，BCACAB(1，1)，BD AD ABBCAB(3，5)答案(3，5)5e1，e2 是不共线向量，且 ae13e2，b4e12e2，c3e112e2，若 b，c 为一组基底，则 a_.解析 设 a1b2c，则e13e21(4e12e2)2
5、(3e112e2)，即e13e2(4132)e1(21122)e2，41321，211223，解得1 1182 727a 118b 727c.答案 118b 727c考点一 平面向量基本定理的应用(基础型考点自主练透)方法链接(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决题组集训1如果 e1，e2 是平面 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()Ae1 与 e1e2 Be12e2 与
6、 e12e2Ce1e2 与 e1e2De13e2 与 6e22e1解析 选项 A 中，设 e1e2e1，则1，10，无解；选项 B 中，设 e12e2(e12e2)，则1，22，无解；选项 C中，设 e1e2(e1e2)，则1，1，无解；选项 D 中，e13e212(6e22e1)，所以两向量是共线向量答案 D2(2015高考北京卷)在ABC 中，点 M，N 满足AM 2MC，BNNC.若MN xAByAC，则 x_；y_.解析 MN MC CN 13AC12CB13AC12(ABAC)12AB16AC，x12，y16答案 12 163已知点 G 为ABC 的重心，过 G 作直线与 AB、AC
7、 两边分别交于 M、N 两点，且AM xAB，ANyAC，则1x1y的值为_解析 根据题意知 G 为三角形的重心，故AG 13(ABAC)，MG AG AM 13(ABAC)xAB(13x)AB13AC，GN ANAG yACAG yAC13(ABAC)(y13)AC13AB，由于MG 与GN 共线，根据共线向量定理知MG GN(13x)AB13AC(y13)AC13AB，AB，AC不共线，13x1313y1313x1313y13xy3xy0，两边同除以 xy 得1x1y3.答案 3考点二 向量坐标的基本运算(重点型考点师生共研)方法链接平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量
8、加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解题组集训1已知平面向量 a(1,1)，b(1，1)，则向量12a32b()A(2，1)B(2,1)C(1,0)D(1,2)解析 12a(12，12)，32b(32，32)，故12a32b(1,2)答案 D2(2016昆明一中摸底)已知点 M(5，6)和向量 a(1，2)，若MN 3a，则点 N 的坐标为()A(2,0)B(3,6)C(6,2)D(2,0)解析 MN 3a3(1，2)(3,6)，设 N(x，y)，则MN(x5，y6)(3
9、,6)，所以x53，y66，即x2，y0，选 A.答案 A3已知平行四边形的三个顶点分别是 A(4,2)，B(5,7)，C(3,4)，则第四个顶点 D 的坐标是_解析 设顶点 D(x，y)若平行四边形为 ABCD，则由AB(1,5)，DC(3x,4y)，得3x1，4y5，所以x4，y1；若平行四边形为 ACBD，则由AC(7,2)，DB(5x,7y)，得5x7，7y2，所以x12，y5.若平行四边形为 ABDC，则由AB(1,5)，CD(x3，y4)，得x31，y45，所以x2，y9.综上所述，第四个顶点 D 的坐标为(4，1)或(12,5)或(2,9)答案(4，1)或(12,5)或(2,9)
10、考点三 平面向量共线的坐标表示(深化型考点全面发掘)一题多变【例】平面内给定三个向量 a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足 ambnc 的实数 m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数 k.解(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以m4n3，2mn2，得m59，n89.(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得 2(34k)(5)(2k)0.k1613.发散 1 在本例条件下，若 d 满足(dc)(ab)，且|dc|5，求 d.解 设 d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由题意得4x42y10，x42y125，得x3，y1 或x5，
11、y3.d(3，1)或 d(5,3)发散 2 在本例条件下，若 manb 与 a2b 共线，求mn的值解 manb(3mn,2m2n)，a2b(5，2)，由题意得2(3mn)5(2m2n)0.mn12.发散 3 若本例条件变为：已知 A(3,2)，B(1,2)，C(4,1)，判断 A，B，C 三点能否共线解 AB(4,0)，AC(1，1)，4(1)010，AB，AC不共线A，B，C 三点不共线类题通法1向量共线的两种表示形式设 a(x1，y1)，b(x2，y2)：abab(b0)；abx1y2x2y10.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用.2两向量共线的充要条件的作
12、用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值易错警示 7 忽视平面向量基本定理的使用条件致误典例 已知OA a，OB b，OC c，OD d，OE e，设tR，如果 3ac,2bd，et(ab)，那么 t 为何值时，C，D，E 三点在一条直线上？易错分析 本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当 a，b共线时，t 可为任意实数这个解正解 由题设，知CD dc2b3a，CE ecx(t3)atb，C，D，E 三点在一条直线
13、上的充要条件是存在实数k，使得CEkCD，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.若 a，b 共线，则 t 可为任意实数；若 a，b 不共线，则有t33k0，2kt0，解之得 t65.综上，可知 a，b 共线时，t 可为任意实数；a，b 不共线时，t65.防范措施 平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石，在解题中有至关重要的作用，在使用时一定要注意两个基向量不共线这个条件课堂小结【方法与技巧】1平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键2平面向量共线的坐标表示(1)两向量平行的充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是ab，这与x1y2x2y10在本质上是没有差异的，只是形式上不同(2)三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定【失误与防范】1要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况2若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以应表示为 x1y2x2y10.课时活页作业(二十五)点击图标进入 谢谢观看！
