1、增分强化练(三十二)1已知椭圆C:1(ab0)的右焦点F为抛物线y24x的焦点,P,Q是椭圆C上的两个动点,且线段PQ长度的最大值为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若OPOQ,求OPQ面积的最小值解析:(1)y24x的焦点为(1,0),椭圆C的右焦点F为(1,0),即c1,又|PQ|的最大值为4,因此|PQ|2a4,a24,b2a2c2413,所以椭圆C的标准方程为1.(2)当P,Q为椭圆顶点时,易得OPQ的面积为2,当P,Q不是椭圆顶点时,设直线OP的方程为ykx(k0),由,得x2,所以|OP| ,由OPOQ,得直线OQ的方程为:yx,所以|OQ| ,所以SOPQ|OP|OQ|6 6
2、6 ,k224,当且仅当k21时等号成立,所以0,所以SOPQb0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,点P(,)满足120.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M,N两点,设O为坐标原点,直线OM,直线l,直线ON的斜率分别为k1,k,k2,且k1,k,k2成等比数列,求k1k2的值解析:(1)依题意F1(c,0),12c230,即c,e,a2,b2a2c21,椭圆C的方程为y21.(2)设直线l的方程为yk(x),M(x1,y1),N(x2,y2),由,得(14k2)x28k2x4(3k21)0,则x1x2,x1x2,k1,k,k2成等比数列,k1k
3、2k2,则(x1x2)3,即,解得k2,故k1k2.3已知抛物线C:y22px(0p0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2n,y1y2t,则kPAkPB.由题意,得y1y2(y1y2)11,即y1y2(y1y2)0,将代入得tn0,即tn.所以l:xn(y1)显然l过定点(0,1)4已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2,长轴的长为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设过点F1的直线l与椭圆C交于E,D两点,试问:在x轴上是否存在定点M,使得直线ME,MD的斜率之积为定值?若存在,求出该定值及定点M的坐标;若不存在,请说明理由解析:(1)因为椭圆C的焦距为
4、2,长轴的长为4,所以2c2,2a4,解得c1,a2,所以b2a2c23,所以椭圆C的标准方程为1.(2)设E(x1,y1),D(x2,y2),M(m,0)易知F1(1,0),当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为yk(x1)联立方程,得得(4k23)x28k2x4k2120,则x1x2,x1x2.又y1y2k2(x11)(x21)k2(x1x2x1x21)k2(1),直线ME,MD的斜率kME,kMD,则kMEkMD.要使直线ME,MD的斜率之积为定值,需3m2120,解得m2.当m2时,kMEkMD;当m2时,kMEkMD.当直线l的斜率不存在时,不妨设E(1,),D(1,),此时,当m2时,M(2,0),kMEkMD;当m2时,M(2,0),kMEkMD.综上,在x轴上存在两个定点M,使得直线ME,MD的斜率之积为定值当定点M的坐标为(2,0)时,直线ME,MD的斜率之积为定值;当定点M的坐标为(2,0)时,直线ME,MD的斜率之积为定值.