1、第二讲学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. )1. 若ab，则必成立的不等关系是(D)A. a2b2B. 0D. ()aba2b2的条件是a、b同正；ab0；ablg(ab)0成立条件是ab1；因此(A)、(B)、(C)均不成立；b()a()b成立，故选D. 2. 若a、b、mR且ab，则下列各不等式中恒成立的是(A)A. 1B. C. 1D. 1解析，由ab知ab0，m0. 0，0a0，0ambm，1，1成立. 故选A. 3. 设alg2lg5，bex(x0)，则a与b的大小关
2、系是(B)A. abC. abD. ab解析alg2lg51，bex(x0)，故bb. 4. 用分析法证明不等式时的推理过程一定是(B)A. 正向、逆向均可进行正确的推理B. 只需能进行逆向推理C. 只需能进行正向推理D. 有时能正向推理，有时能逆向推理解析在用分析法证明不等式时，是从求证的不等式出发，逐步探索使结论成立的充分条件即可，故只需能进行逆向推理即可. 5. 要使成立，a、b应满足的条件是(D)A. abbB. ab0且abC. ab0且a0且ab或ab0且ab解析ab33ab0时，有，即ba. 当ab，即ba. 6. 设a、bR，且ab，P，Qab，则(A)A. PQB. PQC.
3、 P0，PQ. 7. 若ab0，下列各式中恒成立的是(B)A. B. C. abD. aabb解析利用不等式性质得，当ab0时，由此可知，C不恒成立. 当0ab时，可知aa0，则下列不等式不正确的是(B)A. |ab|abB. |ab|0，即a、b同号，所以|ab|ab成立，2ab|ab|成立，2也成立. 由于a、b可能相等. 所以|ab|0，b0D. a0，bb0，且ab1，若0cqB. pqC. pqD. pq解析ab1，plogclogclogc0. qp，故选B. 12. 若a0，b0，则p(ab)，qabba的大小关系是(A)A. pqB. pqC. pqD. p0，qabba0，a
4、b. 若ab，则1，0，1；若ab，则01，1；若ab，则1，0，1. 1，即1. p0，pq. 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填写在题中的横线上. )13. 设a5，则与的大小关系是_5，只需判断与2的大小 ，即比较()2与(2)2的大小，即a32a5与4(a4)的大小. 只需判断(a3)(a5)与(a4)2的大小，只需判断a28a15与a28a16的大小. 显然，a28a15a28a16，则2)的大小关系是_anbna0，cb0，即01,02时，()n()n()2()21. 即anbncn. 16. 请补全用分析法证明不等式“acbd”时的推论过程：要证明acb
5、d，_当acbd0时，不等式成立_，只要证(acbd)2(a2b2)(c2d2)，即要证：a2c22abcdb2d2a2c2a2d2b2c2b2d2，即要证a2d2b2c22abcd，_当acbd0，(adbc)20，a2d2b2c22abcd，所要证明的不等式成立_. 解析因为当acbd0时，命题显然成立，所以当acbd0时(adbc)20，a2d2b2c22abcd，命题成立. 三、解答题(本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )17. (本题满分12分)比较3(1x2x4)和(1xx2)2的大小. 解析3(1x2x4)(1xx2)23(1x2x4)(1x2
6、x42x2x22x3)33x23x41x2x42x2x22x32x42x322x2x3(x1)2(1x)2(x1)(x31)2(x1)2(x2x1)2(x1)2(x)20. 故3(1x2x4)(1xx2)2. 18. (本题满分12分)求证：1(nN*，且n2). 解析，11. 19. (本题满分12分)设a、b、c均为正实数，试证明不等式，并说明等号成立的条件. 解析因为a、b、c均为正实数，所以()，当且仅当ab时等号成立；()，当且仅当bc时等号成立；()，当且仅当ac时等号成立. 三个不等式相加，得，当且仅当abc时等号成立. 20. (本题满分12分)设各项均为正数的数列an的前n项
7、和为Sn，满足4Sna4n1，nN*，且a2，a5，a14构成等比数列. (1)证明：a2；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有0，a2. (2)当n2时，4Sn1a4(n1)1,4an4Sn4Sn1aa4, aa4an4(an2)2，an0，an1an2当n2时，an是公差d2的等差数列. a2，a5，a14构成等比数列，aa2a14即(a26)2a2(a224)，解得a23，由(1)可知，4a1a54，a11. a2a1312，an 是首项a11，公差d2的等差数列. 数列an的通项公式为an2n1. (3)(1)()()()(1)bc，求证. 解析abc，ab0，b
8、c0，ac0. (ac)()(ab)(bc)()224. . 22. (本题满分14分)已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1，an2的最小值记为Bn，dnAnBn. (1)若an为2,1,4,3,2,1,4,3，是一个周期为4的数列(即对任意nN*，an4an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dnd(n1,2,3)的充分必要条件为an是公差为d的等差数列；(3)证明：若a12，dn1(n1,2,3，)，则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1. 解析(1)d1d21，d3d43. (2)(充分性)因为an是公差为
9、d的等差数列，且d0，所以a1a2an. 因此Anan，Bnan1，dnanan1d(n1,2,3，). (必要性)因为dnd0(n1,2,3，)，所以AnBndnBn. 又因为anAn，an1Bn，所以anan1. 于是，Anan，Bnan1. 因此an1anBnAndnd，即an是公差为d的等差数列. (3)因为a12，d11，所以A1a12，B1A1d11. 故对任意n1，anB11. 假设an(n2)中存在大于2的项，设m为满足am2的最小正整数，则m2，并且对任意1k2. 于是，BmAmdm211，Bm1minam，Bm2. 故dm1Am1Bm1220，与dm11矛盾. 所以对于任意n1，有an2，即非负整数列an的各项只能为1或2. 因为对任意n1，an2a1，所以An2，故BnAndn211. 因此对于任意正整数n，存在m满足mn，且am1，即数列an有无穷多项为1.
