1、高考大题规范答题示范课(四)立体几何类解答题【命题方向】1.空间线线、线面、面面平行与垂直的确认与应用问题，常以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体.主要考查利用线面、面面平行与垂直的判定与性质定理证明空间的平行与垂直关系.2.根据空间点、线、面的位置与数量关系，确定或应用几何体的体积，利用体积转化法求解.3.确定或应用空间的线线角、线面角、面面角.一般需建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【典型例题】(12分)(2016全国卷)如图，菱形ABCD的对角线AC 与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的 位置，O
2、D=.5410(1)证明：DH平面ABCD.(2)求二面角B-DA-C的正弦值.【题目拆解】本题可拆解成以下几个小问题：(1)证明DHEF；证明DHOH.(2)根据(1)建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求相关向量的坐标；求两平面ABD与ACD法向量的夹角的余弦值；求二面角B-DA-C的正弦值.【标准答案】(1)由已知得ACBD，AD=CD，1分 得分点 又由AE=CF得 故ACEF.1分 得分点 因此EFHD，从而EFDH.1分 得分点 AECF,ADCD由AB=5，AC=6得DO=BO=4.由EFAC得 所以OH=1，DH=DH=3，1分 得分点 于是DH2+OH2=32+12=
3、10=DO2，故DHOH.1分 得分点 OHAE1.DOAD422ABAO又DHEF，而OHEF=H，所以DH平面ABCD.1分 得分点(2)如图，以H为坐标原点，HF的方向为 x轴正方向，建立空间直角坐标系H-xyz，则H(0，0，0)，A(-3，-1，0)，B(0，-5，0)，C(3，-1，0)，D(0，0，3).=(3，-4，0)，=(6，0，0)，=(3，1，3).2分 得分点 ABACAD设m=(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，则 所以可取m=(4，3，-5).1分 得分点 111113x4y0AB03xy3z0AD0，即，mm设n=(x2，y2，z2)是平面ACD的法向量，
4、则 所以可取n=(0，-3，1).1分 得分点 于是cos=1分 得分点 22226x0AC03xy3z0AD0，即，nn147 5.255010 m nm nsin=因此二面角B-DA-C的正弦值是 1分 得分点 2 95.252 95.25【评分细则】第(1)问踩分点说明(针对得分点)：由菱形的性质得到ACBD，AD=CD得1分；由已知判断出ACEF，并证明EFDH各得1分；由此推得OH=1，DH=3，并用勾股定理逆定理证得DHOH，各得1分；由线面垂直的判定定理得DH平面ABCD得1分.第(2)问踩分点说明(针对得分点)：建立正确的空间直角坐标系并写出相关点的坐标得1分，进而求出相关向量
5、的坐标，再得1分；正确求出两个平面的法向量各得1分；正确求出两法向量夹角的余弦值得1分；正确得到二面角的正弦值得1分.【高考状元满分心得】1.写全得分步骤：在立体几何类解答题中，对于证明与 计算过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以 对于得分点步骤一定要写.如第(1)问中的ACBD，AD=CD，ACEF；第(2)问中的 的坐标，及两平面 法向量的坐标.AB AC AD，2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，立体几何解答题的第(2)问建系，要用到第(1)问中的垂直关系时，可以直接用，有时不用第(1)问的结果无法建系，如本题即是在第(1)问的基础上建系.3.写明得分关键：对于解题过程中
6、的关键点，有则给分，无则没分.所以在解立体几何类解答题时，一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出判断DH平面ABCD的三个条件，写不全则不能得全分，如OH EF=H一定要有，否则要扣1分；第(2)问中不写出cos=这个公式，而直接得出余弦值，则 要扣1分.m nm n【跟踪训练】(12分)(2016全国卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，AFD=90，且二面角D-AF-E与二面角 C-BE-F都是60.(1)证明：平面ABEF平面EFDC.(2)求二面角E-BC-A的余弦值.【题目拆解】本题可化整为零，拆解成以下几个小问题：求证AF面
7、EFDC.建立空间直角坐标系，求平面BEC和平面ABC的法向量.求平面BEC和平面ABC法向量夹角的余弦值.【规范解答】(1)因为ABEF为正方形，所以AFEF.因为AFD=90，所以AFDF.因为DFEF=F，所以AF面EFDC，AF面ABEF，所以平面ABEF平面EFDC.(2)由(1)知 DFE=CEF=60.因为ABEF，AB平面EFDC，EF平面EFDC，所以EF平面ABCD，AB平面ABCD.因为面ABCD面EFDC=CD，所以ABCD，所以CDEF，所以四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，如图建立坐标系，设FD=a，E(0，0，0)，B(0，2a，0)，C A(2a，2a，0)，=(0，2a，0)，=(-2a，0，0).设平面BEC的法向量为m=(x1，y1，z1).EBa3BC2aa22(，)，ABa30a22(，)，令x1=，则 m=(，0，-1).设平面ABC的法向量为n=(x2，y2，z2)，11112a y0EB0a3x2aya z0BC022，即，mm32222a3BC0 x2ayaz022AB0.2ax0.，即nn11y0z1，3令y2=，则 n=(0，4).设二面角E-BC-A的大小为.cos=所以二面角E-BC-A的余弦值为 .22x0z4，3342 19193 13 16，m nm n2 1919
