1、专题四函数、不等式中的恒成立问题1(2019年天津)已知aR，设函数f(x)若关于x的不等式f(x)0在R上恒成立，则a的取值范围为()A0,1 B0,2C0，e D1，e2(2016年河北衡水调研)设过曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)ax2cos x上一点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为()A1,2 B(1,2) C2,1 D(2,1)3当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3 B.C6，2 D4，34设0a1，函数f(x)x，g(x)xln x，若对任意的x1，x21，e，都有f(x
2、1)g(x2)成立，则实数a的取值范围是_5已知函数f(x)axln xx2.(1)若a1，求函数f(x)的极值；(2)若a1，x1(1,2)，x2(1,2)，使得f(x1)xmx2mx(m0)，求实数m的取值范围6设函数f(x)aln x(aR)(1)若函数f(x)在区间1，e(e2.718 28为自然对数的底数)上有唯一的零点，求实数a的取值范围；(2)若在1，e(e2.718 28为自然对数的底数)上存在一点x0，使得f(x0)x0成立，求实数a的取值范围7已知函数f(x)axln x1.(1)讨论函数f(x)零点的个数；(2)对任意的x0, f(x)xe2x恒成立，求实数a的取值范围8
3、已知函数f(x)ax2(2a1)x2ln x(aR)(1)若曲线yf(x)在x1和x4处的切线相互平行，求a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)设g(x)x22x，对任意的x1(0,2，均存在x2(0,2，使得f(x1)0恒成立；当a1时，f(x)minf(a)2aa20，0a1时，由f(x)xaln x0恒成立，即a恒成立设g(x)，则g(x).令g(x)0，得xe，且当1xe时，g(x)e时，g(x)0，当xe时，g(x)有最小值为e，ae.综上0ae，故选C.2A解析：由题意，得x1R，x2R，使得(e1)(a2sin x2)1，即函数y的值域为函数ya2sin x2的值域的子集
4、，从而(0,1)a2，a2，即a20，a211a2.故选A.3C解析：不等式ax3x24x30变形为ax3x24x3.当x0时，03，故实数a的取值范围是R；当x(0,1时，a恒成立，记f(x)，f(x)0成立，故函数f(x)单调递增，f(x)maxf(1)6，故a6；当x2,0)时，a恒成立，记f(x)，f(x)，当x2，1)时，f(x)0.故f(x)minf(1)2，故a2；综上所述，实数a的取值范围是6，24，1解析：f(x)1，当0a1，且x1，e时，f(x)0，f(x)在区间1，e上是增函数f(x1)minf(1)1a2.又g(x)1(x0)，易求g(x)0，g(x)在区间1，e上是
5、增函数，g(x2)maxg(e)e1.由条件知只需f(x1)ming(x2)max.即1a2e1，a2e2.a.a1.5解：(1)依题意，f(x)xln xx2，则f(x)12x.x(0，)，当x(0,1)时，f(x)0.故当x1时，f(x)有极小值，极小值为f(1)0，无极大值(2)当a1时，f(x)xln xx2.x1(1,2)，x2(1,2)，使得f(x1)xmx2mx(m0)，故ln x1x1mxmx2.设h(x)ln xx在(1,2)上的值域为A，函数g(x)mx3mx在(1,2)上的值域为B，当x(1,2)时，h(x)10，即函数h(x)在(1,2)上单调递减，故h(x)(ln 2
6、2，1)g(x)mx2mm(x1)(x1)当m01，故ln 22，即mln 23；当m0时，g(x)在(1,2)上单调递增，此时g(x)的值域为B，AB，又m01，故ln 22，故m(ln 22)3ln 2.综上所述，实数m的取值范围为.6解：(1)f(x)x，其中x1，e当a1时，f(x)0恒成立，f(x)单调递增，又f(1)0，函数f(x)在区间1，e上有唯一的零点，符合题意；当ae2时，f(x)0恒成立，f(x)单调递减，又f(1)0，函数f(x)在区间1，e上有唯一的零点，符合题意；当1ae2时，1x时，f(x)0，f(x)单调递减，又f(1)0，f()f(1)0，函数f(x)在区间1
7、，上有唯一的零点，当0，f(x)单调递增，当f(e)0时符合题意，即a时，函数f(x)在区间1，上有唯一的零点；a的取值范围是.(2)在1，e上存在一点x0，使得f(x0)x0成立，等价于x0aln x00在1，e上有解，即函数g(x)xaln x在1，e上的最小值小于零g(x)1，当a1e时，即ae1时，g(x)在1，e上单调递减，g(x)的最小值为g(e)，由g(e)ea，e1，a； 当a11时，即a0时，g(x)在1，e上单调递增，g(x)的最小值为g(1)，由g(1)11a0可得a2；当1a1e时，即0ae1时，可得g(x)的最小值为g(a1)，0ln(a1)1，0aln(a1)2，g(1a)0)，依题意f(1)f(4)，解得a.(2)f(x)(x0)，当a0时， 函数f(x)单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，)；当0a时， 函数f(x)单调递增区间为和(2，)，单调递减区间为.(3)依题意有f(x)maxg(x)max0，由(2)知当a时， 函数f(x)在区间(0,2单调递增， f(x)maxf(2)2a2(2a1)2ln 2ln 21，ln 21时， 函数f(x)单调递增区间为和(2，)，单调递减区间为，f(x)maxf22ln a.故实数a的取值范围为aln 21.
