1、第13章 选修4-5第一节绝对值不等式最新考纲1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)，|ab|ac|cb|(a，b，cR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)|x|a型不等式的解法：不等式a0a0a0|x|ax|xa或xaxR|x0R(2)|axb|c，|axb|c(
2、c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解；利用零点分段法求解；构造函数，利用函数的图像求解一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若|x|c的解集为R，则c0.()(2)不等式|x1|x2|2的解集为.()(3)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()(4)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1不等式1|x1|3的解集为()A(0,2)B(2,0)(2,4)C(4,0)D(4，2)(0,2)D原不等式
3、等价于1x13或3x11，0x2或4x1的解集；若x(0,1)时，不等式f(x)x成立，求a的取值范围解(1)原不等式可化为或解得x5或x.综上，原不等式的解集是.(2)当a1时，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)1的解集为.当x(0,1)时，|x1|ax1|x成立等价于当x(0,1)时，|ax1|0，|ax1|1的解集为，所以1，故0a2.综上，a的取值范围为(0,2解答例(2)第问时，求出|ax1|1的解集后，易错误的认为1，导致解题错误教师备选例题已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形的
4、面积大于6，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x1时，不等式化为3x20，解得x1；当x1时，不等式化为x20，解得1x2.所以f(x)1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)(2017全国卷)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值
5、范围解(1)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式化为x2x40，从而1x.所以f(x)g(x)的解集为.(2)当x1,1时，g(x)2，所以f(x)g(x)的解集包含1,1，等价于当x1,1时，f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范围为1,1考点2绝对值三角不等式的应用利用绝对值三角不等式求最值(或证明)(1)对绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时(2)对于求y|xa|xb|或y|xa|xb|型的最值问题利用绝对
6、值三角不等式更方便形如y|xa|xb|的函数只有最小值，形如y|xa|xb|的函数既有最大值又有最小值 (1)若对于实数x，y有|1x|2，|y1|1，求|2x3y1|的最大值解因为|2x3y1|2(x1)3(y1)|2|x1|3|y1|7，所以|2x3y1|的最大值为7.(2)若a2，xR，求证：|x1a|xa|3.证明因为|x1a|xa|(x1a)(xa)|2a1|，又a2，故|2a1|3，所以|x1a|xa|3成立逆向问题若|x1a|xa|3，求a的取值范围解|x1a|xa|2a1|，|2a1|3，2a13或2a13，a2或a1，即a的取值范围是(，12，)本例(2)的证明使用了放缩法，
7、即先证明|x1a|xa|2a1|，然后再证明|2a1|3.已知函数f(x)|2x1|，xR.(1)解不等式f(x)|x|1；(2)若对x，yR，有|xy1|，|2y1|，求证：f(x)1.解(1)f(x)|x|1，|2x1|x|1，即或或得x2或0x或无解故不等式f(x)|x|1的解集为x|0x2(2)证明：f(x)|2x1|2(xy1)(2y1)|2(xy1)|2y1|2|xy1|2y1|21.故不等式f(x)1得证考点3绝对值不等式的综合应用两招解不等式问题中的含参问题(1)问题转化把存在性问题转化为求最值问题，即f(x)a有解f(x)maxa.不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；不等
8、式的解集为的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)a恒成立af(x)max，f(x)a恒成立af(x)min.(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：利用绝对值的几何意义；利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|；利用零点分区间法(2019合肥模拟)已知函数f(x)|2x1|.(1)解关于x的不等式f(x)f(x1)1；(2)若关于x的不等式f(x)mf(x1)的解集不是空集，求m的取值范围解(1)f(x)f(x1)1|2x1|2x1|1，则或或解得x或x，即x，所以原不等式的解集为.(2)由条件知，不等式|2x1|2x1|m有解，则m(|2
9、x1|2x1|)min即可由于|2x1|2x1|12x|2x1|12x(2x1)|2，当且仅当(12x)(2x1)0，即x时等号成立，故m2.所以m的取值范围是(2，)本例第(2)问中不等式f(x)mf(x1)的解集不是空集，即不等式有解，是存在性问题，可转化为mf(x)f(x1)min.教师备选例题(2017全国卷)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围解(1)f(x)当x1时，f(x)1无解；当1x2时，由f(x)1，得2x11，解得1x2；当x2时，由f(x)1，解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1(2
10、)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|，且当x时，|x1|x2|x2x，故m的取值范围为.1.(2019洛阳模拟)已知函数f(x)|x5|.(1)解不等式：f(x)f(x2)3；(2)若a0，求证：f(ax)f(5a)af(x)解(1)不等式化为|x5|x3|3.当x3时，原不等式等价于2x5，即x3；当3x5时，原不等式等价于23，即3x5；当x5时，原不等式等价于2x83，即5x.综上，原不等式的解集为.(2)证明：由题意得f(ax)af(x)|ax5|a|x5|ax5|ax5a|ax5|ax5a|ax5ax5a|5a5|f(5a)所以f(ax)f(5a)af(x)成立2已知函数f(x)|xm|2x1|(mR)，若关于x的不等式f(x)|2x1|的解集为A，且A，求实数m的取值范围解A，当x时，不等式f(x)|2x1|恒成立，即|xm|2x1|2x1|在x上恒成立，|xm|2x12x1，即|xm|2在x上恒成立，2xm2，x2mx2在x上恒成立，(x2)maxm(x2)min，m0，故实数m的取值范围是.
