1、第二讲 数列求和及综合应用【知识回顾】1.常用的拆项公式(其中nN*)11_.n n111 112().n nkk nnk13_.2n1 2n111nn1111()2 2n12n1 nnn 1nn 1nn 2nn 21114ad,_()a aaa111_().a aaa11115.n n1 n22 n n1n1 n216_.nn117_(nkn).nnk若等差数列的公差为则；1d12dn1n 1k2.常见的求和方法(1)公式法求和:适合求等差数列或等比数列的前n项和.对等比数列利用公式法求和时,一定注意公比q是否取1.(2)错位相减法 主要用于求数列anbn的前n项和,其中an,bn分别是等差
2、数列和等比数列.(3)裂项相消法 把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部分从而计 算和的方法,适用于求通项为 的数列的前n项和.nn 11a a(4)分组求和法 一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分,分别求和,然后再合并.【易错提醒】1.裂项求和的系数出错:裂项时,把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.2.求通项公式忽略验证第一项致误:利用 an=忽略n2的限定,忘记第一项单独求解与检验.1nn 1S,n1SS,n2，3.求项数致误:错位相减法求和时,易漏掉减数式的最后一项.【考题回访】1.(2016浙江高考)如图,点列An,Bn分
3、别在某锐 角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*(PQ表示点P与Q不 重合).若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则()A.Sn是等差数列 B.是等差数列 C.dn是等差数列 D.是等差数列 2nS2nd【解析】选A.先求出三角形的面积,再利用等差数列的定义判断数列是否为等差数列.作A1C1,A2C2,A3C3,AnCn,垂直于直线B1Bn,垂足分别为C1,C2,C3,Cn,则A1C1A2C2AnCn,因为|AnAn+1|=|An+1An+2|,所以|CnCn+1|=|Cn+1Cn
4、+2|,设|A1C1|=a,|A2C2|=b,|B1B2|=c,则|A3C3|=2b-a,|AnCn|=(n-1)b-(n-2)a(n3),所以Sn=c(n-1)b-(n-2)a=c(b-a)n+(2a-b),所以Sn+1-Sn=c(b-a)(n+1)+(2a-b)-(b-a)n-(2a-b)=c(b-a),又S1=ac,S2=bc,S3=c(2b-a),S2-S1=c(b-a),S3-S2=c(b-a),所以数列Sn是等差数列.1212121212121212122.(2016浙江高考)设数列an的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,则a1=_,S5=_.【解析】由题意
5、得,a1+a2=4,a2=2a1+1,解得a1=1,a2=3,再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2),所以an+1-an=2an,an+1=3an,又a2=3a1,所以an+1=3an(n1),S5=121.答案:1 121 51 31 3热点考向一 求数列的通项公式 命题解读:主要考查等差数列与等比数列的定义、有关性质以及逻辑推理和各种变形能力,一直是高考的重点和热点.以选择题、填空题、解答题为主.【典例1】(1)(2016武汉一模)已知数列an中,a1=3,满足 ,则数列an的通项公式为_.(2)(2016全国卷)已知各项都为正数的数列an 满足a1=1,-(2an+1-1
6、)an-2an+1=0.求a2,a3.求an的通项公式.nn 1n2a11aa2na【解题导引】(1)将 变形,构造等差数列求解.(2)将a1=1代入递推关系式求得a2,将a2的值代入递推关系式可求得a3;将已知的递推关系式进行因式分解,由题设条件可判断数列an为等比数列,由此可求得数列an的通项公式.nn 1n2a11aa【规范解答】(1)由 ,得 =2,所以数列 是首项为 ,公差为2的等差数列.所以 =+(n-1)2=2n-,所以an=.答案:an=nn 1n2a11aan 1n11aan1a13n1a135336n536n5(2)由题意可得a2=,a3=.由 -(2an+1-1)an-2
7、an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1).因为an的各项都为正数,所以 故an是首项为1,公比为 的等比数列,因此an=12142nan 1na1.a2 12n11.2【母题变式】1.本例(1)改为:若数列an的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=3Sn(n1),求a6的值.【解析】因为an+1=3Sn,所以an=3Sn-1(n2),两式相减得,an+1-an=3an,即 =4(n2),所以数列a2,a3,a4,构成以a2=3S1=3a1=3为首项,以4为公比的等比数列,所以a6=a244=344=768.n 1naa2.本例(1)改为:已知数列an中,a1=1,an=2an
8、-1+1(n2),求数列an的通项公式.【解析】由an=2an-1+1(n2)得an+1=2(an-1+1),即 =2,所以数列an+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=2n,所以an=2n-1.nn 1a1a1【规律方法】求通项的常用方法(1)归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳猜想法.(2)已知Sn与an的关系,利用an=求an.1nn 1S,n1SS,n2，(3)累加法:数列递推关系形如an+1=an+f(n),其中数列f(n)前n项和可求,这种类型的数列求通项公式时,常用累加法(叠加法).(4)累乘法:数列递推关系形如an+1=g(n)an,其中数列g
9、(n)前n项积可求,此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法).(5)构造法:递推关系形如an+1=pan+q(p,q为常数)可化为an+1+(p1)的形式,利用 是以p为公比的等比数列求解.递推关系形如an+1=(p为非零常数)可化为 的形式.nqqp(a)p 1p 1nqap 1nnpaapn 1n111aap【题组过关】1.(2016合肥一模)已知正项数列an满足a1=1,(n+2)-(n+1)+anan+1=0,则它的通项an=()2n 1a 2na12n1A.B.C.D.nn1n12【解析】选B.由(n+2)-(n+1)+anan+1=0,可得(n+2)=n+1,又因为an0,所以 又
10、a1=1,则an=a1 2n 1a 2na2n 1n 1nnaa()aan 1nan1.an2nn 1n 1n 2aaaa21aann 1221.n1n3n1 2.(2016银川一模)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(nN*).(1)证明:数列an是等比数列.(2)若数列bn满足bn+1=an+bn(nN*),且b1=2,求数列bn的通项公式.【解析】(1)依题意Sn=4an-3(nN*),当n=1时,a1=4a1-3,解得a1=1.因为Sn=4an-3,则Sn-1=4an-1-3(n2),所以当n2时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,整理得an=an-1.又a1=1
11、,所以an是首项为1,公比为 的等比数列.4343(2)由(1)知an=由bn+1=an+bn(nN*),得bn+1-bn=可得bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(bn-bn-1)n 14()3，n 14().3=2+=3 -1(n2).当n=1时也满足,所以数列bn的通项公式为bn=3 -1(nN*).n 14()3n 141()3413n 14()3【加固训练】1.(2016三亚二模)已知数列an的前n项和为Sn,且a1=a2=1,若nSn+(n+2)an为等差数列,则an=()n 1n 1nn 1nn12n1n1A.B.C.D.221212【解析】选A.设bn=nSn+(n+2
12、)an,则数列bn为等差数 列.由b1=4,b2=8,可得bn=4n,则bn=nSn+(n+2)an=4n,即Sn+an=4.当n2时,Sn-Sn-1+an-an-1=0,所以 an=an-1,即2 ,所以数列 是以 为公比,1为首项的等比数列,则 即an=2(1)n2(1)n2(1)n-12 n1nn1n1nn 1aann1nn 1aann1nan12n 1na1n2()，n 1n.2 2.(2016三亚一模)设Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=_.【解析】设等比数列an的公比为q(q0),依题意得a2=a1q=q,a3=a1q2=q2,S1
13、=a1=1,S2=1+q,S3=1+q+q2.又3S1,2S2,S3成等差数列,所以4S2=3S1+S3,即4(1+q)=3+1+q+q2,所以q=3(q=0舍去),所以an=a1qn-1=3n-1.答案:3n-1 3.(2016成都一模)已知数列an满足:=n2(n1,nN*).(1)求a1,a2及a2 016.(2)求数列an的通项公式.123n1111aaaa【解析】(1)由 =n2(n1,nN*),得a1=1,a2=,=2 0152,=2 0162,由-,得 =2 0162-2 0152=4 031,所以a2 016=123n1111aaaa1312320151111aaaa12320
14、161111aaaa20161a1.4 031(2)由 =n2(n1,nN*),得 =(n-1)2(n2,nN*),两式相减得 =n2-(n-1)2=2n-1(n2,nN*),所以an=(n2,nN*).当n=1时,a1=1也满足上式,所以an=(nN*).123n1111aaaa123n-11111aaaan1a12n112n1热点考向二 求数列的前n项和 命题解读:试题一般设置两个问题,其中第一问考查等差、等比数列的基本运算,属于保分题;第二问的区分度较大,一般与数列的求和有关,方法较灵活,主要是错位相减、裂项相消等方法.以解答题的形式出现,属于中、高档题目.命题角度一 裂项相消求和【典例
15、2】(2015全国卷)Sn为数列an的前n项 和.已知an0,+2an=4Sn+3.(1)求an的通项公式.(2)设bn=,求数列bn的前n项和.2nann 11a a【解题导引】(1)由 +2an=4Sn+3及an+1=Sn+1-Sn确定an的通项公式.(2)由(1)及bn=利用裂项法求和.2nann 11a a【规范解答】(1)由 +2an=4Sn+3,可知 +2an+1=4Sn+1+3.可得 -+2(an+1-an)=4an+1,即 2(an+1+an)=-=(an+1+an)(an+1-an).2na2n+1a2n+1a2na2n+1a2na由于an0,可得an+1-an=2.又 +2
16、a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去),a1=3.所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为 an=2n+1.21a(2)由an=2n+1可知bn=设数列bn的前n项和为Tn,则 Tn=b1+b2+bn nn 111111().a a2n1 2n32 2n12n31111111()()()235572n12n3n.3 2n3命题角度二 错位相减求和【典例3】(2016山东高考)已知数列an的前n项 和Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且an=bn+bn+1.(1)求数列bn的通项公式.(2)令cn=求数列cn的前n项和Tn.n 1nnna1,b2【解题导引】解答本题第(2)问,可拆
17、解成两个小题:若cn=求的前n项和为Tn,求Tn.n 1nnna1,b2【解析】(1)由题意知,当n2时,an=Sn-Sn-1=6n+5.当n=1时,a1=S1=11=6n+5.所以an=6n+5.设数列bn的公差为d,则a1=2b1+d=11,a2=b2+b2+d=2b1+3d=17.解得b1=4,d=3,所以bn=4+(n-1)3=3n+1.(2)由(1)知,cn=3(n+1)2n+1.所以Tn=c1+c2+cn n 1n(6n6)3n323n 134n 2n3 2 23 2(n1)2,2T3 2 23 2(n1)2,两式相减:-Tn=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2 =
18、-3n2n+2.所以Tn=3n2n+2.nn 24(12)3 4n1212【规律方法】1.分组求和中的分组策略(1)根据等差、等比数列分组.(2)根据正号、负号分组.2.裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差.(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多.3.错位相减法的关注点(1)适用题型:等差数列an与等比数列bn对应项相乘(anbn)型数列求和.(2)步骤:求和时先乘以数列bn的公比;把两个和的形式错位相减;整理结果形式.【变式训练】(2016漳州二模)已知数列an的前 n项和是Sn,且Sn+an=1(nN*).(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=log4(1-Sn+1)(n
19、N*),Tn=求使Tn 成立的最小的正整数n的值.131223nn 1111b bb bb b，1 0072 016【解析】(1)当n=1时,a1=S1,由S1+a1=1a1=,当n2时,Sn+an=1,Sn-1+an-1=1,-,得an+an-an-1=0,133413131313即an=an-1,所以an是以 为首项,为公比的等比数列.故an=143414n 1n3 11()3()(nN*).4 44(2)由(1)知1-Sn+1=an+1=,bn=log4(1-Sn+1)=log4 =-(n+1),n 11()413n 11()4nn 11111,b bn1 n2n1n2故使Tn 成立的最
20、小的正整数n的值为2014.n1223nn 1111Tb bb bb b111111()()()2334n1n211,2n2111 007n2 014,2n22 0161 0072 016【加固训练】(2016惠州一模)设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，nN*.(1)求a2的值.(2)求数列an的通项公式.(3)证明：对一切正整数n，有 2nn 12S12annn3312n1117.aaa4【解析】(1)由题意，得2S1=a2-1-，又S1=a1=1，所以a2=4.(2)当n2时，2Sn=nan+1-n3-n2-n，2Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1)，两
21、式相减得 2an=nan+1-(n-1)an-n2-n，整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1)，132313231323即 =1，又 =1，故数列 是首项为 =1，公差为1的等差数列，所以 =1+(n-1)1=n，所以an=n2，所以数列an的通项公式为an=n2，nN*.n 1naan1n 21aa21nan1a1nan(3)=所以对一切正整数n，有 1111142 33 4n(n1)222123n111111111aaaa434n 1111111142334n1n51171742n4n4，12n1117.aaa4热点考向三 与数列求和有关的综合问题 命题解读:数列的综合应用主要体现
22、在以下两点:(1)以等差、等比数列的知识为纽带,在数列与函数、方程、不等式的交汇处命题,主要考查利用函数观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质.(2)数列与解析几何交汇的命题,往往会遇到递推数列,通常以解析几何作为试题的背景,从解析几何的内容入手,导出相关的数列关系,再进一步地解答相关的问题.试题难度大都在中等偏上,有时会以压轴题的形式出现.【典例4】(1)(2016哈尔滨一模)设nN*,an是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标,设 bn=,则数列bn前n项和Sn=_.n2an(2)(2016枣庄一模)已知数列an的前n项和为Sn,数 列bn的前n项和为T
23、n,且有Sn=1-an(nN*),点(an,bn)在直线y=nx上.求Tn;试比较Tn和2-的大小,并说明理由.2nn2【解题导引】(1)根据导数的几何意义求出曲线的切线方程,从而得出数列bn的通项公式,利用裂项法求数列bn前n项和.(2)【题目拆解】本题第问可拆成三个小题:求an的通项公式;求bn的通项公式;求Tn.【规范解答】(1)y=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线的斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1),令y=0,解得切线与x轴交点的横坐 标an=,则bn=,所以 Sn=答案:1n1n1n11n n1111111n(1)()()
24、1.223nn1n1n1 nn1(2)当n=1时,a1=S1=1-a1,解得a1=.当n2时,an=Sn-Sn-1=(1-an)-(1-an-1),则有2an=an-1,即 所以数列an是以a1=为首项,为公比的等比数列.所以an=(nN*).12nn 1a1a2，1212n1()2因为点(an,bn)在直线y=nx上,所以bn=nan=nn.2n123nn234n 1n123nn 1nn12n 1nnn123nT22221123nT2222211111nT22222211111nnn22T12.122222212，由得，所以 令Bn=2-,则Tn-Bn=所以当n=1时,T1-B10,所以T1
25、0,所以TnBn.2nn22nnn2n222nnn2n1nn222，综上所述,当n=1时,Tn2-.2nn22nn22nn2【规律方法】数列与函数交汇问题的常见类型及解法(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.(2)已知数列条件,需构造函数,利用函数知识解决问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形.另外,解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解.【题组过关】1.(2016枣庄一模)已知函数f(x)满足f(x+1)=+f(x)(xR),且f(1)=,则数列f(n)(nN*)前20项 的和为()A.305
26、B.315 C.325 D.335 3252【解析】选D.因为f(1)=,f(2)=+,f(3)=+,f(n)=+f(n-1),所以f(n)是以 为首项,为公差的等差数列.所以S20=52325252523232323220 20 15320335.222 2.(2016烟台二模)已知数列an的前n项和为Sn，点 在直线y=上.数列bn满足bn+2-2bn+1+bn=0(nN*)，且b3=11，前9项和为153.(1)求数列an，bn的通项公式.(2)设cn=，求数列cn的前n项和Tn.nS(n)n，111x22nn3(2a11)(2b1)【解析】(1)由题意，得 即Sn=故当n2时，有an=
27、Sn-Sn-1 当n=1时，a1=S1=6，且n+5=6，所以an=n+5(nN*).nS111nn22，2111nn.2222111111(nn)(n1)(n1)n5.2222又由题意知bn+2-2bn+1+bn=0，即bn+2-bn+1=bn+1-bn(nN*)，所以bn为等差数列，于是 由b3=11，得b7=23，d=3，因此bn=b3+3(n-3)=3n+2，即bn=3n+2(nN*).19379(bb)9(bb)153.2223 1173(2)cn=所以Tn=c1+c2+cn nn33(2a11)(2b1)2(n5)112(3n2)11111().(2n1)(2n1)2 2n12n1
28、11n(1).22n12n111111111(1)()()()2335572n12n1【加固训练】1.设等差数列an的前n项和为Sn,若S10=0,S15=25,则当nSn取最小值时,n=()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选C.设等差数列an的公差为d,由题意得 解得a1=-3,d=,所以Sn=-3n+即nSn=1110 9d10a0215 14d15a252，232n n12n10n233，32n10n3，令f(n)=则f(n)=n2-,令f(n)=n2-0,得n ,令f(n)=n2-0,得0n0)，以点(n，f(n)为切点作函数图象的切线ln(nN*)，直线x=n+1与函数y=f(x)图象及切线ln分别相交于An，Bn，记an=|AnBn|.(1)求切线ln的方程及数列an的通项公式.(2)设数列nan的前n项和为Sn，求证：Sn0)求导，得f(x)=1-，则切线ln的方程为：即y=.易知 由an=|AnBn|知an=1x21x211y(n)(1)(xn)nn，212(1)xnnn1A(n1n1)n1，n2n1B(n1n1)n，221n11|.n1nn(n1)(2)因为nan=所以Sn=a1+2a2+nan=111n(n1)nn1，111111111.223nn1n1
