1、第二十四章 圆专题训练(八)与圆的切线有关的 计算与证明 1.如图，AP为O的切线，P为切点，若A20，C，D为圆周上两点，且PDC60，则OBC等于()A.55 B.60 C.65 D.70C2.如图，在ABC中，AB10，AC8，BC6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是()A.6B.2 13 1C.9D.16 C【点拨】：如图，设O与AC相切于点E，连接OE，作OP1BC垂足为P1交O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1OQ1，AB10，AC8，BC6，AB2AC2BC2，C90，OP1B
2、90，OP1AC，AOOB，P1CP1B，OP1AC4，P1Q1最小值为OP1OQ11；当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，P2Q2最大值538.PQ长的最大值与最小值的和是9.3.如图，ABC中，C90，AC3，AB5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的O和AB，BC均相切，则O的半径为 .67 【点拨】：过点O作OEAB于点E，OFBC于点F.AB，BC是O的切线，点E，F是切点，OE，OF是O的半径，OEOF.在ABC中，C90，AC3，AB5，由勾股定理，得BC4；又D是BC边的中点，SABDSACD，又SABDSABOSBOD，12ABOE1
3、2BDOF12CDAC，即 5OE2OE23，解得 OE67O 的半径是67.4.如图，PA，PB是O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交O于点D.(1)求证：PO平分APC；(2)连接DB，若C30，求证：DBAC.解：(1)连接OB，PA，PB是O的切线，PO平分APC；(2)OAAP，OBBP，CAPOBP90，C30，APC60，PO平分APC，OPC30，POB60，又ODOB，ODB是等边三角形，OBD60，DBPOBPOBD30，DBPC，DBAC.5.如图，直角ABC内接于O，点D是直角ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过
4、点C作ECPAED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交O于点F.(1)求证：PC是O的切线；(2)若PC3，PF1，求AB的长.解：(1)连接OC，PDAB，ADE90，ECPAED，又EADACO，PCOECPACOAEDEAD90，PCOC，PC是O切线；(2)设O的半径为x，则OCx，OP1x,PC3，且OCPC,32x2(1x)2，解得x4，AB2x8.6.如图，在RtABC中，C90，以BC为直径的O交AB于点D，切线DE交AC于点E.(1)求证：AADE；(2)若AD16，DE10，求BC的长.(1)证明：连接OD，DE是切线，ODE90，ADEBDO90，ACB90，AB90，
5、ODOB，BBDO，ADEA.(2)连接CD.ADEA，AEDE，BC是O的直径，ACB90，EC是O的切线，EDEC，AEEC，DE10，AC2DE20，在RtADC中，DC 20216212，设 BDx，在 RtBDC 中，BC2x2122，在 RtABC 中，BC2(x16)2202，x2122(x16)2202，解得 x9，BC 12292 15.7.如图，在RtABC中，C90，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.(1)求证：AC是O的切线；(2)若OB10，CD8，求BE的长.(1)证明：连接OD，BD为ABC平分线，12，OBOD，1
6、3，23，ODBC，C90，ODA90，AC为圆O的切线；(2)解：过O作OGBC，连接OE，四边形ODCG为矩形，GCODOB10，OGCD8，在RtOBG中，利用勾股定理得：BG6，OGBE，OBOE，BE2BG12.8.如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，CD是O的切线，ADCD于点D，E是AB延长线上一点，CE交O于点F，连接OC，AC.(1)求证：AC平分DAO.(2)若DAO105，E30求OCE的度数；若O的半径为，求线段EF的长.2 2 解：(1)CD是O的切线，OCCD，ADCD，ADOC，DACOCA，OCOA，OCAOAC，OACDAC，AC平分DAO；(2)ADOC
7、，EOCDAO105，E30，OCE45；作 OGCE 于点 G，则 CGFGOG，OC2 2，OCE45，CGOG2，FG2，在 RtOGE 中，E30，GE2 3，EFGEFG2 32.9.如图，O是ABC的外接圆，且ABAC，点D在弧BC上运动，过点D作DEBC，DE交AB的延长线于点E，连接AD，BD.(1)求证：ADBE；(2)当点D运动到什么位置时，DE是O的切线？请说明理由.(3)当AB5，BC6时，求O的半径.(1)证明：在ABC中，ABAC，ABCC.DEBC，ABCE，EC，又ADBC，ADBE；(2)解：当点D是弧BC的中点时，DE是O的切线(如图1).理由是：当点D是弧BC的中点时，ABAC，AD是BC的垂直平分线，AD是直径，ADBC，AD过圆心O，又DEBC，ADED.DE是O的切线；(3)解：过点 A 作 AFBC 于 F，连接 BO(如图 2)，则点 F 是 BC 的中点，BF12BC3，连接 OF，则 OFBC(垂径定理)，A，O，F 三点共线，AB5，AF4；设O 的半径为 r，在RtOBF 中，OF4r，OBr，BF3，r232(4r)2解得 r258，O 的半径是258.
