1、专题强化训练1(2019台州市高三期末考试)在正项数列an中，已知a11，且满足an12an(nN*)(1)求a2，a3；(2)证明：an()n1.解：(1)因为在正项数列an中，a11，且满足an12an(nN*)，所以a221，a32.(2)证明：当n1时，由已知a11()111，不等式成立；假设当nk时，不等式成立，即ak()k1，因为f(x)2x在(0，)上是增函数，所以ak12ak2()k1()k()k()k()k，因为k1，所以2()k3230，所以ak1()k，即当nk1时，不等式也成立根据知不等式对任何nN*都成立2(2019嘉兴调研)已知Sn为各项均为正数的数列an的前n项和
2、，a1(0，2)，a3an26Sn.(1)求an的通项公式；(2)设bn，数列bn的前n项和为Tn，若对任意的nN*，t4Tn恒成立，求实数t的最大值解：(1)当n1时，由a3an26Sn，得a3a126a1，即a3a120.又a1(0，2)，解得a11.由a3an26Sn，可知a3an126Sn1.两式相减，得aa3(an1an)6an1，即(an1an)(an1an3)0.由于an0，可得an1an30，即an1an3，所以an是首项为1，公差为3的等差数列，所以an13(n1)3n2.(2)由an3n2 ，可得bn，Tnb1b2bn.因为Tn随着n的增大而增大，所以数列Tn是递增数列，所
3、以t4TnTnT1t1，所以实数t的最大值是1.3(2019金华模拟)已知数列an满足a1，an1an2an11(nN*)，令bnan1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求证：c1c2cnn.解：(1)因为an1an2an11(nN*)，bnan1，即anbn1.所以(bn11)(bn1)2(bn11)1，化为：1，所以数列是等差数列，首项为2，公差为1.所以2(n1)1n，所以bn.(2)证明：由(1)可得：anbn11.所以cn1，因为n2时，2n22n11，所以，所以c1c2cnnn7且kN*时，证明：对任意nN*都有成立解：(1)由f1(1)a11得a11，由f2(1)a1a
4、22，得a23，又因为f3(1)a1a2a33，所以a35.(2)由题意得：fn(1)a1a2a3(1)nan(1)nn，fn1(1)a1a2a3(1)n1an1(1)n1(n1)，n2，两式相减得：(1)nan(1)nn(1)n1(n1)(1)n(2n1)，得当n2时，an2n1，又a11符合，所以an2n1(nN*)(3)证明：令bnn，则S，所以2S.(*)当x0，y0时，xy2，2，所以(xy)4，所以，当且仅当xy时等号成立，上述(*)式中，k7，n0，n1，n2，nk1全为正，所以2S，所以S22，得证7(2019宁波市诺丁汉大学附中高三期中考试)已知数列an满足a13，an1a2
5、an，nN*，设bnlog2(an1)(1)求an的通项公式；(2)求证：1n(n2)；(3)若2cnbn，求证：2()n3.解：(1)由an1a2an，则an11a2an1(an1)2，由a13，则an0，两边取对数得到log2(an11)log2(an1)22 log2(an1)，即bn12bn.又b1log2(a11)20，所以bn是以2为公比的等比数列即bn2n.又因为bnlog2(an1)，所以an22n1.(2)证明：用数学归纳法证明：当n2时，左边为12右边，此时不等式成立；假设当nk(k2，kN*)时，不等式成立，则当nk1时，左边1kkk1右边，所以当nk1时，不等式成立综上
6、可得：对一切nN*，n2，命题成立(3)证明：由2cnbn得cnn，所以()n()n(1)n，首先(1)nCCCCC2，其次因为C(k2)，所以(1)nCCCCC，11133，当n1时显然成立所以得证8数列an满足a1，an(n2，nN)(1)试判断数列是否为等比数列，并说明理由；(2)设bnansin，数列bn的前n项和为Tn，求证：对任意的nN*，Tn.解：(1)an(1)n，所以(1)n2(1)n所以(1)n(2)，所以为公比是2的等比数列(2)证明：(1)13，由(1)可得(1)n(2)n13(2)n1，所以an.而sin(1)n1，所以bnansin，所以bn，当n3时，Tnb1b2bn(b1b2).因为bn为正项数列，所以T1T2T3Tn，所以nN*，Tn.
