1、4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用【选题明细表】 知识点、方法题号两圆位置关系的判断1、9两圆相交问题6、7、8、10两圆相切问题3、4综合应用问题2、5、11、12基础巩固1.(2015吉林白山市一中期末)圆x2+y2=1和x2+y2-6y+5=0的位置关系为(A)(A)外切(B)内切(C)相离(D)内含解析:方程x2+y2-6y+5=0化为x2+(y-3)2=4,所以两圆的圆心为C1(0,0),C2(0,3),半径为r1=1,r2=2,而|C1C2|=3=r1+r2.则两圆相外切,故选A.2.已知点A,B分别在两圆x2+(y-1)2=1与(x-2)2+(y-5)2=9
2、上,则A,B两点之间的最短距离为(C)(A)2 (B)2-2 (C)2-4 (D)2解析:两圆心之间的距离为=24=r1+r2,所以两圆相离,所以A、B两点之间的最短距离为2-4,故选C.3.两圆(x-a)2+(y-b)2=c2和(x-b)2+(y-a)2=c2相切,则(B)(A)(a-b)2=c2(B)(a-b)2=2c2(C)(a+b)2=c2(D)(a+b)2=2c2解析:两圆半径相等,故两圆外切,圆心距d=|b-a|=2|c|,所以(b-a)2=2c2,即(a-b)2=2c2,故选B.4.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为(D)(A)(x-4)2+
3、(y-6)2=6 (B)(x4)2+(y-6)2=6(C)(x-4)2+(y-6)2=36 (D)(x4)2+(y-6)2=36解析:由题意知,半径为6的圆与x轴相切,且圆心在x轴上方.设所求圆的圆心坐标为(a,b),则b=6,再由=5,可以解得a=4,故所求圆的方程为(x4)2+(y-6)2=36.故选D.5.一辆货车宽2米,要经过一个半径为米的半圆形隧道,则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度不得超过(B)(A)2.4米(B)3米(C)3.6米(D)2.0米解析:以半圆直径所在直线为x轴,过圆心且与x轴垂直的直线为y轴,建立如图所示坐标系.由半圆的半径为可知,半圆所在的圆的方程为x2+y2
4、=10(y0),由图可知当车恰好在隧道中间行走时车篷可达到最高.此时x=1或x=-1,代入x2+y2=10,得y=3(负值舍去).故选B.6.经过两圆x2+y2=9和(x+4)2+(y+3)2=8的交点的直线方程为.解析:由两圆相减,得4x+3y+13=0,所以过两圆交点的直线方程为4x+3y+13=0.答案:4x+3y+13=07.两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的值为.解析:由题意知,线段AB的中点在直线x-y+c=0上,且kAB=-1,即m=5,又点(,1)在该直线上,所以-1+c=0,所以c=-2,所以m+c=3.答案:38.求圆心
5、在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程.解:法一由得 或即两圆的交点坐标为A(-1,-1),B(3,3).设所求圆的圆心坐标C为(a,a-4),由题意可知CA=CB,即=,解得a=3,所以C(3,-1),所以CA=4,所以,所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.法二设经过两已知圆的交点的圆的方程为x2+y2-4x-6+(x2+y2-4y-6)=0,则其圆心坐标为(,).因为所求圆的圆心在直线x-y-4=0上,所以-4=0,解得=-.所以所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-6=0.能力提升9.圆C1:x2+y2+2x+8y
6、-8=0与圆C2:x2+y2-4x+4y-2=0的位置关系是(A)(A)相交(B)外切(C)内切(D)相离解析:因为圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x+4y-2=0分别化为C1:(x+1)2+(y+4)2=25,C2:(x-2)2+(y+2)2=10.所以两圆心坐标分别为C1(-1,-4),C2(2,-2).半径分别为5,.因为C1C2=5-,所以两圆相交,故选A.10.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0的公共弦长为2,则a=.解析:由已知,两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y=,圆心(0,0)到直线的距离d=1,解得a=1.答案:111.如
7、图,已知一艘海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25 km的圆形区域.一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A处出发,径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿,速度为28 km/h.问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续时间多长?(要求用坐标法)解:如图,以O为原点,东西方向为x轴建立直角坐标系,则A(40,0),B(0,30),圆O方程为x2+y2=252,直线AB方程:+=1,即3x+4y-120=0,设O到AB距离为d,则d=240).根据题意,得解得a=b=1,r=2,故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.(2)因为四边形PAMB的面积S=SPAM+SPBM=|AM|PA|+|BM|PB|,又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,而|PA|=,即S=2.因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,所以|PM|min=3,所以四边形PAMB面积的最小值为S=2=2=2.
