1、第五节椭 圆1椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.当2a|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；当2a|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；当2ab0)1(ab0)性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2
2、b焦距|F1F2|2c离心率e(0，1)a，b，c的关系a2b2c21.e与：因为e，所以离心率e越大，则越小，椭圆就越扁；离心率e越小，则越大，椭圆就越圆2点与椭圆的位置关系：已知点P(x0，y0)，椭圆1(ab0)，则(1)点P(x0，y0)在椭圆内1；(2)点P(x0，y0)在椭圆上1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外1.3设椭圆1(ab0)上任意一点P(x，y)，则当x0时，|OP|有最小值b，这时，P为短轴端点；当xa时，|OP|有最大值a，这时，P为长轴端点4若点P是椭圆1(ab0)上任意一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，且F1PF2，则SPF1F2b2tan .5过椭圆1(ab
3、0)的焦点F作x轴的垂线，交椭圆于A，B，则|AB|.6椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，P(x0，y0)是椭圆上任意一点，则|PF1|aex0，|PF2|aex0.7若P为椭圆1(ab0)上任意一点，则ac|PF|ac.1(基础知识：椭圆的概念)下列说法中正确的个数是()平面内到两定点距离之和为常数是动点的轨迹是椭圆的必要不充分条件；椭圆的离心率越大，椭圆越接近圆；若方程1表示椭圆，则(5k)(k3)0；椭圆的离心率e(0，1).A1 B2C3 D0答案：B2(基础知识：椭圆的定义)已知椭圆1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为()A2 B3C5 D
4、7答案：D3(基本方法：椭圆的方程)过点A(3，2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的方程为()A1 B1C1 D1答案：A4(基本能力：椭圆的离心率)已知椭圆1(m0)的离心率e，则m的值为_答案：3或5(基本应用：椭圆的性质)已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_答案：或题型一椭圆的定义及应用 1已知圆C1：(x4)2y2169，圆C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A1 B1C1 D1解析：设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)16，M的轨迹是以C
5、1，C2为焦点的椭圆，且2a16，2c8，故所求的轨迹方程为1.答案：D2(2021河南郑州第二次质量检测)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为12，则椭圆C的标准方程为()Ay21 B1C1 D1解析：由椭圆的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以AF1B的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a12，所以a3.因为椭圆的离心率e，所以c2，所以b2a2c25，所以椭圆C的方程为1.答案：D3设点P为椭圆C：1(a2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且F1PF260，则PF1F2的面
6、积为_解析：由题意知，c.又F1PF260，|F1P|PF2|2a，|F1F2|2，|F1F2|2(|F1P|PF2|)22|F1P|PF2|2|F1P|PF2|cos 604a23|F1P|PF2|4a216，|F1P|PF2|，SPF1F2|F1P|PF2|sin 60.答案：4已知F是椭圆5x29y245的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|PF|的最大值为_，最小值为_解析：椭圆方程可化为1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，|AF1|，|PA|PF|PA|PF1|6.又|AF1|PA|PF1|AF1|(当且仅当P，A，F1共线时等号成立)，|PA|PF|
7、6，|PA|PF|6.答案：665已知动圆M过定点A(3，0)并且与定圆B：(x3)2y264相切，则动圆圆心M的轨迹方程为_解析：因为点A在圆B内，所以过点A的圆与圆B只能内切，因为定圆圆心坐标为B(3，0)，所以|AB|6.所以|BM|8|MA|，即|MB|MA|8|AB|，所以动点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，即a4，c3.故b27.所以椭圆方程为1.答案：1方法总结 椭圆定义应用技巧思路应用解读求方程条件转化后满足椭圆定义，直接求轨迹方程求焦点三角形求焦点三角形周长或面积，根据椭圆定义、正、余弦定理，其中|PF1|PF2|2a.平方是常用技巧求最值利用|PF1|PF2|2a为定值，利
8、用基本不等式求|PF1|PF2|最值或利用三角形求最值如ac、ac 题型二椭圆的标准方程及应用 典例剖析典例(1)(2020福建宁德模拟)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A1 B1C1 D1解析：设椭圆的标准方程为1(ab0).由点P(2，)在椭圆上知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，又c2a2b2，联立解得a28，b26，故椭圆方程为1.答案：A(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的
9、方程为_解析：设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn).由解得m，n.椭圆方程为1.答案：1(3)已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率，求椭圆C2的方程解析：法一(待定系数法)：由已知可设椭圆C2的方程为1(a2)，其离心率为，故，解得a4，故椭圆C2的方程为1.法二(椭圆系法)：因椭圆C2与C1有相同的离心率，且焦点在y轴上，故设C2：x2k(k0)，即1.又222，故k4，故椭圆C2的方程为1.答案：1方法总结求椭圆标准方程的方法方法解读适合题型定义法根据题目的条件，判断是否满足椭圆的定义，若满足，求出相应的a，b，c的值，即可求得方程涉及两焦点的距
10、离问题待定系数法(1)如果已知椭圆的中心在原点，且确定焦点所在位置，可设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程；(2)当焦点位置不确定时，可以分类讨论，也可以设椭圆方程为mx2ny21(mn0)能够明确椭圆的焦点位置椭圆系法根据共同特征设出椭圆的标准方程，再根据其他条件确定方程：与1有相同离心率的椭圆为(0)或(0)；与1有共同焦点的椭圆为1(ab0)具有某共同特征的椭圆求标准方程对点训练1(2021四川成都模拟)与椭圆1有相同离心率且经过点(2，)的椭圆方程为_解析：因为e，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为1(mn0)，则1，从而
11、，.又1，所以m28，n26.所以所求椭圆方程为1.若焦点在y轴上，设方程为1(hk0)，则1，且，解得h2，k2.故所求椭圆方程为1，即1.答案：1或12已知中心在坐标原点的椭圆过点A(3，0)，且离心率e，则椭圆的标准方程为_解析：若焦点在x轴上，则a3.由e得c，b2a2c2954，所以椭圆方程为1.若焦点在y轴上，则b3，a2c29，又离心率e，解得a2，所以椭圆方程是1，即1.答案：1或1题型三椭圆的几何性质典例剖析类型 1求离心率(范围) 例1(1)已知椭圆C：1的一个焦点为(2，0)，则椭圆C的离心率为()A BC D解析：a24228，a2，e.答案：C(2)设椭圆C：1(ab
12、0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足0，|FB|FA|2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是()A BC D1，1)解析：设椭圆左焦点为F，连接AF、BF(图略).由椭圆的对称性可知，四边形AFBF为平行四边形，又0，即FAFB，故平行四边形AFBF为矩形，所以|AB|FF|2c.设|AF|n，|AF|m，则在RtAFF中，mn2a，m2n24c2，得mn2b2，得，令t，得t.又由|FB|FA|2|FB|得12，则t1，2，t，又，则可得e，即离心率的取值范围是.答案：A(3)(2021陕西西安检测)已知P为椭圆1(ab0)上一点，F1、F2是其左、右焦点，F1PF2
13、取最大值时cos F1PF2，则椭圆的离心率为_解析：易知F1PF2取最大值时，点P为椭圆1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a24c2，即ac，所以椭圆的离心率e.答案：类型 2有关最值及范围 例2(1)已知点P(0，1)，椭圆y2m(m1)上两点A，B满足2，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得即x12x2，y132y2.因为点A，B在椭圆上，所以得y2m，所以xm(32y2)2m2m(m5)244，所以当m5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.答案：5(2)(2021山东烟台模拟)已知F(2，0)为椭圆1(ab0)的右焦点，过F
14、且垂直于x轴的弦长为6，若A(2，)，点M为椭圆上任一点，则|MF|MA|的最大值为_解析：设椭圆的左焦点为F，由椭圆的右焦点为F(2，0)，得c2，又过F且垂直于x轴的弦长为6，即6，则3，解得a4，所以|MF|MA|8|MF|MA|8|MA|MF|，当M，A，F三点共线时，|MA|MF|取得最大值，(|MA|MF|)max|AF|，所以|MF|MA|的最大值为8.答案：8方法总结1求椭圆离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由e21直接求解(2)列出含有a，b，c的方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解2椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几
15、何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到一个图形(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb，0eb0)的左、右焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|5|PF2|，且cos F1PF2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于A，B两点，点Q，若|AQ|BQ|，求k的取值范围解析：(1)由题意设|PF1|r1，|PF2|r2，则3r15r2.又r1r22a，联立，解得r1a，r2a.在PF1F2中，由余弦定理得cos F1PF2，解得a24.因为c1，所以b2a2c23，于是椭圆C的标准
16、方程为1.(2)由消去y并整理，得(34k2)x28kmx4m2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，且(8km)24(34k2)(4m212)48(34k2m2)0.设线段AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，图略则x0，y0kx0m.因为|AQ|BQ|，所以ABQM.又Q，M为线段AB的中点，所以k0，直线QM的斜率存在，所以kkQMk1，解得m.把代入，得34k2，解得k.即k的取值范围为.方法总结1解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点
17、差法”解决，往往会更简单2设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| |x1x2|或|AB| |y1y2|(k为直线斜率，k0).提醒利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式对点训练已知P(1，1)为椭圆1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为_解析：法一：易知此弦所在直线的斜率存在，设其方程为y1k(x1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y，得(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，x1x2.又x1x22，2，解得k.经检验，k满足题意故此弦所在的直
18、线方程为y1(x1)，即x2y30.法二：易知此弦所在直线的斜率存在，设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，得0.x1x22，y1y22，y1y20，k.经检验，k满足题意此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.答案：x2y30(2019高考全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()Ay21 B1C1 D1解析：设椭圆的标准方程为1(ab0).由椭圆的定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF1|AF2|a，点A是椭圆的短轴端点，如图所示不妨设A(0，b)，由F2(1，0)，得B.由点B在椭圆上，得1，解得a23，b2a2c22.椭圆C的方程为1.答案：B已知F1(c，0)，F2(c，0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，P在椭圆上且满足，则此椭圆离心率的取值范围是()ABC D解析：设P(x，y)，则1，y2b2x2，axa，(cx，y)，(cx，y).所以x2c2y2x2b2c2x2b2c2.因为axa，所以b2c2b2.所以b2c2c2b2.所以2c2a23c2.所以.答案：B
